馬鈴兒　蔣守成

【教學目標】

1.讓學生經(jīng)歷用一一列舉的策略解決簡單實際問題的過程，體驗一一列舉的關(guān)鍵就是通過有序列舉，以及不遺漏、不重復的列舉找到符合要求的所有答案。

2.讓學生在對解決簡單實際問題過程的反思和交流中，感受“一一列舉”的價值，進一步發(fā)展思維的條理性和嚴密性。

3.讓學生進一步積累解決問題的經(jīng)驗，增強解決問題的策略意識，并獲得解決問題的成功體驗，提高學好數(shù)學的信心。

【教學重難點】

讓學生感知列舉的基本思考過程和方法，初步積累運用策略解決問題的經(jīng)驗，增強解決問題的策略意識，獲得解決問題的成功體驗。

【教學過程】

一、談話導入

王大叔想買一些1米長的木條圍一個長方形花圃，這根木條的單價是由2、3、4三個數(shù)字組成的兩位小數(shù)。你能把想到的價格按從小到大的順序來說一說嗎？

師：為什么這位同學這么快就找到所有答案？他有什么竅門嗎？

師：像這樣將事物按一定順序一一羅列出來，在數(shù)學上叫作一一列舉，是解決問題常用的策略。今天我們就來研究一一列舉。

二、教學案例

1.提出問題

（1）師：王大叔以每根3.24元的價格買了22根，王大叔打算用這22根1米長的木條圍一個長方形花圃，我們來看看他遇到了什么樣的問題？

生：怎樣圍面積最大。

師：根據(jù)題中的條件“用22根1米長的木條圍一個長方形花圃”和“怎樣圍面積最大”，你能想到什么？

生1：周長是22米。

生2：長+寬=11米。

生3：可以圍成大小不同的長方形。

師：其實根據(jù)22根1米長的木條，我們還可以想到長和寬都是整米數(shù)。

（2）師：你們準備怎樣解決這個問題？

生：先求出長方形長和寬的和，再列舉出長和寬求出的面積各是多少，選擇面積最大的圍法就可以了。

師：幾位同學說的解決方案都有一定的道理。

2.探究方法

（1）提出開放問題：師：你能幫王大叔找出所有不同的圍法嗎？一起來看看我們的活動要求。請一位聲音響亮的同學讀一讀我們的活動要求。

①想一想：有幾種不同的圍法？

②寫一寫：把你想到的方法寫在表格中。

③算一算：哪一種圍法面積最大？

④說一說：和你的同桌說一說你的想法。

師：要求明確了沒有？請同學們把第一張作業(yè)紙上的表格填寫完整。（學生獨立操作）

（2）收集典型資源：①列舉不全;②列舉全但無序;③列舉全有序（長從大到小的順序）;④有重復的;⑤列舉全有序（長從小到大的順序）。

（3）資源結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)、交流序列展開。

第一層次，同步出現(xiàn)：①列舉不全;②列舉全但無序;③列舉全有序

①號作業(yè)

長/米 10 8 7

寬/米 1 3 4

面積/平方米 10 24 28

②號作業(yè)

長/米 10 8 6 7 9

寬/米 1 3 5 4 2

面積/平方米 10 24 30 28 18

③號作業(yè)

長/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

師：老師發(fā)現(xiàn)你們列舉的情況大致有這樣幾種，我們來看，這是一種情況，我們稱為（1）號，以下兩種我們依次稱為（2）號、（3）號，請同學們依次來評價一下他們列舉得怎么樣，從（1）號開始。

生1：（1）號找得不全，少了，應該有5種。（若沒有再說：有不同意見嗎？還有別的評價嗎？）

生2：（2）號同學找得有點亂，沒有按順序找。

生3：（3）號同學找得比較好，有順序。

師：通過比較，我們發(fā)現(xiàn)：（1）號作業(yè)找得有遺漏，（2）號作業(yè)沒有按順序找，（3）號作業(yè)找得有順序?？磥碛行蛩伎际且环N好的方法。

第二層次，同步出現(xiàn)：③列舉全有序;和④有重復的

③號作業(yè)

長/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

④號作業(yè)

長/米 10 9 8 7 6 5

寬/米 1 2 3 4 5 6

面積/平方米 10 18 24 28 30 30

師：老師還找了這樣一種作業(yè)情況，我們稱之為（4）號，與（3）號比一比，你有什么想說的。

生：④號作業(yè)最后兩種重復了。

師：最后兩種是否重復呢？我們一起來看一個小實驗。

出示：

（1）

（2）

師：第一個長方形的長是6，寬是5，第二個長方形的長是5，寬是6。[第二個長方形旋轉(zhuǎn)90度，再與（1）圖重合。]

師：同學們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這兩種長方形是完全一樣的。

師：是的，所以這位同學找得有重復。

師：請（3）號作業(yè)的xx同學說一說你是怎樣列舉的，好嗎？

生：根據(jù)長加寬的和等于11米，長就從10米想起，相應的寬就是1米，然后長依次減1，寬依次加1，直到找到長是6米，寬是5米。（是這樣想的同學舉手）

（1）師：老師發(fā)現(xiàn)有許多同學也是這樣列舉的，你們是怎么想到長可以從10米找起的？

生：因為長加寬的和是11米，長最大就是10米，所以長應該從10米想起。

（2）師：如果先確定寬，要從幾米開始列舉？

生：因為寬是比較短的一條邊，所以寬可以從1米想起。

師：是的，要做到有序列舉，一定要有一個思考的方向，在這里，就是要想到，長從幾米開始想起或?qū)拸膸酌组_始想起。

（3）師：按照這樣的順序，為什么找到長6米、寬5米就結(jié)束了，不接著往下找呢？

生：再往下找就重復了。

師：有順序地找，當找到有重復時，就說明找全了。

第三層次，同步出現(xiàn)：③列舉全有序（長從大到小的順序）;⑤列舉也全有序（長從小到大的順序）;

③號作業(yè)

長/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

⑤號作業(yè)

長/米 6 7 8 9 10

寬/米 5 4 3 2 1

面積/平方米 30 28 24 18 10

師：這兒還有一種不同的列舉情況，我們稱之為（5）號作業(yè)，比較（4）號和（5）號，你覺得他們思考的方向有什么不同？（4號往下降，5號往上升，可引導4號的長是從10米開始找起。）

生：這里的長是從6米開始找起的。

師：有序列舉一定要有一個思考的方向，在這兒長從6米開始想起，也是一種好方法。

（4）思維自主完善

師：跟前面的列舉作業(yè)比較一下，（3）、（5）號作業(yè)好在哪里？

生1：有順序，沒有重復的。

生2：沒有遺漏。

（板書）有序、不重復、不遺漏。

師：是的，列舉時要做到有序思考，不重復，不遺漏。

師：接下來我們從長最長是10米開始找起，一起來一一列舉，你們說老師填表。（學生說教師板書）

師：觀察我們填寫的表格，哪種圍法面積最大？

生：長6米、寬5米的長方形。

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：請同學們仔細觀察這張表格里的數(shù)據(jù)，比較這些長方形的長、寬和面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：長和寬相差越小，面積就越大。

生2：長和寬相差越大，面積就越小。

師：在這個變化中哪個量始終沒有變呢？

生：周長沒有變化。

師：按照這樣說的順序，誰能把剛才的發(fā)現(xiàn)完整地說一下。

課件出示：在（? ?）情況下，長和寬（? ? ），面積（? ? ）。

生：周長一定，長和寬越接近，面積就越大;長和寬相差越大，面積就越小。

師：我們來驗證一下這個規(guī)律。（課件演示圍成的長方形面積變化情況。）

師：在周長一定的情況下，從前往后看，長和寬相差越小，面積越大;從后往前看，長和寬相差越大，面積越小。

師：看來有序列舉不僅能幫助我們找到所求的答案，還能讓我們發(fā)現(xiàn)一些隱藏的規(guī)律，真是一舉兩得。

4.回顧反思

（1）師：我們幫王大叔解決了問題“怎樣圍面積最大”，你有什么體會？

生1：有些實際問題可以通過列舉來解決。

生2：有序列舉，不重復，不遺漏。

生3：要對列舉出的結(jié)果進行比較，做出選擇。

師：剛才幾位同學說得非常好。

（2）師：請同學們回憶一下，剛才我們是怎么解決這個問題的？

生1：先找到長方形長和寬的和是11。

師：那就是“分析數(shù)量關(guān)系”。

生2：再一一列舉。

師：也就是運用解題策略。

生3：最后找到面積最大的圍法。

師：找出問題答案。

師：剛才我們就是按照：分析數(shù)量關(guān)系——運用解題策略——找出問題答案這三個步驟解決了這個問題。（逐一板書）

三、鞏固練習

練習1：長方形花圃建成了，王大叔準備坐公交車到城里去采購一些花木回來栽種。公交車每隔一段相等的時間就發(fā)出一班車，已經(jīng)知道上午8：00、8：40、9：20和10：00發(fā)出四班車。

師：你了解了哪些信息？

師：假如王大叔15：10到了公交站，他最早什么時間能坐上下一班車？

生：（嘗試解答后，并展示兩種方法。）

師：這是××同學列舉的，請你說一說你是怎樣想的，好嗎？（是這樣列舉的同學舉手）

師：這是××同學列舉的，請你說一說你是怎樣想的，好嗎？（是這樣列舉的同學舉手）為什么可以從10：40開始寫？

10：40 11：20 12：00 12：40 13：20 14：00 14：40 15：20

師：這兩種方法你們更喜歡哪一種方法？

生1：我喜歡第二種方法，因為寫得少。

生2：我也喜歡第二種方法，看上去更簡潔，沒有第一種復雜。我們做題就是要選擇簡潔的方法，才能提高我們做題的效率。

師：是的，我們要學會選擇更簡潔的方法來解決問題。

練習2：采購完花木就到了用餐時間，王大叔于是進入一家快餐店。

麗華快餐某天晚餐供應的葷菜有3種，素菜有4種，王大叔想選1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配？

師：一共有多少種不同的搭配？一看就是我們在四年級已經(jīng)學習過的搭配規(guī)律，誰能口答出結(jié)果？并說一說你是怎么算出來的？

生：（直接口答。）

師：你能把這12種搭配方法一一列舉出來嗎，讓別人一目了然？請大家完成第3張作業(yè)紙。

生獨立作業(yè)，并收集三種列舉方法，并同步出示：

方法一：文字記錄

方法二：字母記錄

方法三：連線

師：老師發(fā)現(xiàn)你們列舉方法大致有以下三種，我們分別也稱之為（1）號、（2）、號、（3）號。我們請這三位同學依次說一說是怎樣想的，好嗎？你最喜歡哪一種？

師：三種方法都是一一列舉，正是應用了一一列舉的策略，才使得12種搭配方法顯得有序，不重復，不遺漏。

四、全課總結(jié)

1.師：通過今天這節(jié)課的學習，你有什么新的收獲？

生1：我知道一一列舉的策略可以解決一些實際問題。

生2：列舉時要有序，不重復，不遺漏。

生3：我知道了解決這類問題的思考過程：分析數(shù)量關(guān)系—運用解題策略找到問題答案。

2.師：在以前的學習中，我們曾運用一一列舉的策略解決過哪些問題？

師：同學們一下子想不起來，沒關(guān)系，老師這兒收集了一些實例，我們一起來看一看。課件顯示：一年級的時候?qū)W習過一組一組地寫10的分成，三年級時有序地列舉出周長是20厘米的長方形和正方形，今天學習了如何一一列舉。今后的學習中也會遇到許多一一列舉的問題，相信經(jīng)過今天的學習，同學們一定能更靈活地運用。

機動：王大叔又遇到了新的問題，你能幫他解決嗎？用一些木條圍成面積是20平方米的長方形花圃，怎樣圍最省木料呢？留給同學們課后研究。

【總評】

馬老師執(zhí)教的“解決問題的策略”是蘇教版教材獨有的板塊，這節(jié)課的內(nèi)容是蘇教版五年級上冊的內(nèi)容，它是在學生已經(jīng)學會用列表和畫圖來解決問題，對這兩種策略解決問題的價值已經(jīng)有了體驗和認識的基礎(chǔ)上展開教學的。解決問題的策略不能直接從外部輸入，只能在方法的實施過程中獲得意識與感受。

教學中馬老師將本節(jié)課分成四個板塊：1.創(chuàng)設(shè)情境，導入新課;2.理解題意，形成思路;3. 嘗試列舉，感知策略;4.拓展應用，豐富體驗。本節(jié)課始終圍繞著王大叔買木條的情境，在列舉時，考慮到學生的實際情況，在此環(huán)節(jié)中出示表格讓學生獨立操作。討論交流時，主要分兩個層次進行，首先出示：遺漏的、全無序的、全有序的三種典型性資源，之后出示全有序和重復的，讓學生進行評價，在交流中讓學生初步感受到列舉要有序，不重復，不遺漏。其次出示：全有序（兩種）。讓學生說一說思考過程，幫助學生理解列舉的思路，學習列舉的方法，在找的過程中體會一一列舉的價值?；仡櫡此紩r，首先讓學生回顧解題的過程，談一談學習體會。由此明確，列舉是解決這個問題的基本策略，列舉時要按順序思考，努力做到不重復、不遺漏，對列舉的結(jié)果還要做進一步的比較，才能找到符合要求的答案。其次讓學生回憶剛才是怎么解決這個問題的，總結(jié)出解決問題的思路：分析數(shù)量關(guān)系——運用解題策略——找出問題答案。對解決問題的回顧，能使列舉的策略意義得以凸顯，也有利于學生初步掌握列舉的具體思考方法。

好的策略教學需要好的教學策略，策略的教學需長期滲透，逐漸豐富，形成策略。要教好“解決問題的策略”，必須把握四點：滲透性策略、過程性策略、融合性策略、整體性策略。

作者簡介：

馬鈴兒，中小學二級教師，常州市蔣守成名師工作室成員，曾獲金壇區(qū)小學數(shù)學評優(yōu)課競賽二等獎。

蔣守成，江蘇省小學數(shù)學特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，江蘇省教科研先進個人，江蘇省鄉(xiāng)村骨干教師培育站主持人，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，常州市中青年專業(yè)技術(shù)拔尖人才，常州市教育領(lǐng)軍人才，金壇市首屆名教師，《小學生數(shù)學報》兼職編輯，常州市金壇區(qū)朝陽小學校長。多年來，他始終堅持站在兒童的立場去研究兒童，連續(xù)主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”規(guī)劃立項課題和重點資助課題，獲江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎，出版了1—6年級數(shù)學讀本《走進你知道嗎》，出版了主題思維叢書《圖形王國》等四本，在研究中他提出了小學數(shù)學主題拓展教學的主張，《江蘇教育》《生活教育》《學校管理》《江蘇教育報》《小學教學設(shè)計》《江蘇教育新時空》等媒體進行了研究成果的推廣和專題報道，他應邀到上海、北京、浙江、山東、河南、河北、湖南、湖北、內(nèi)蒙古等22個省市自治區(qū)上數(shù)學研究課、做專題報告。