遲國(guó)泰，張亞京，丁士杰

(大連理工大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，遼寧 大連 116024)

1 引言

貸款組合優(yōu)化配置模型本質(zhì)上是在綜合考慮貸款收益和貸款風(fēng)險(xiǎn)條件下，求解一組恰當(dāng)?shù)馁J款配置比例[1]。而商業(yè)銀行中小概率的極端損失是不可避免的，因此研究考慮商業(yè)銀行尾部風(fēng)險(xiǎn)的貸款配置問(wèn)題具有重要意義。

在VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面，VaR (Value at Risk)是指在給定置信水平下貸款組合在一定時(shí)間內(nèi)可能發(fā)生的最大損失[2]。劉艷萍等[3]通過(guò)約束貸款組合的VaR進(jìn)行貸款配置?？锖２ǖ萚4]利用VaR建立了港口物流質(zhì)押貸款組合模型。Lwin等[5]提出了MODE-GL演化算法求解均值-VaR的投資模型。

在CVaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面，Artzner等[2]提出了CVaR(Conditional VaR)條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量，CVaR是指資產(chǎn)組合損失大于給定VaR的條件下，資產(chǎn)組合的平均損失值，滿足次可加性、凸性、一致性。Rockafellar和Uryasev[6]給出了將CVaR投資組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型求解的方法。Andersson等[7]以CVaR最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行資產(chǎn)配置。Alexander等[8]提出了一種基于平滑技術(shù)的方法實(shí)現(xiàn)CVaR的仿真。Najafi和Mushakhian[9]通過(guò)隨機(jī)均值-半方差-CVaR方法構(gòu)建了投資組合模型。Gao Jianjun等[10]通過(guò)LMP和CVaR建立了投資組合模型。

在譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面的研究，Acerbi[11]提出了譜風(fēng)險(xiǎn)。Acerbi和Prospero[12]給出了譜風(fēng)險(xiǎn)在投資組合中的規(guī)劃求解方式。Cotter和Dowd[13]比較了多種數(shù)值積分方法估算譜風(fēng)險(xiǎn)的精度。Adam等[14]對(duì)比了扭曲風(fēng)險(xiǎn)、譜風(fēng)險(xiǎn)在投資組合中的優(yōu)劣。Lim[15]通過(guò)施加不同參數(shù)值的譜風(fēng)險(xiǎn)約束來(lái)解決誤差敏感問(wèn)題。韓萱和楊永愉[16]將風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與反映投資者心理的效用函數(shù)相結(jié)合構(gòu)造了混合型譜風(fēng)險(xiǎn)。Abad和Iyengar[17]通過(guò)迭代梯度算法解決了多個(gè)譜風(fēng)險(xiǎn)約束的投資組合問(wèn)題。刁訓(xùn)娣等[18]將極值理論與譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法相結(jié)合進(jìn)行資產(chǎn)配置。

在蒙特卡洛模擬應(yīng)用于資產(chǎn)配置方面，歷史數(shù)據(jù)往往較少或者較難獲得，不足以可靠地估計(jì)貸款可能造成的風(fēng)險(xiǎn)，因此許多研究采用蒙特卡洛方法進(jìn)行貸款收益或損失的模擬與仿真。馬志衛(wèi)和劉應(yīng)宗[19]將貸款看做投資項(xiàng)目，以投資項(xiàng)目的財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率和波動(dòng)反映貸款收益和風(fēng)險(xiǎn)，并以蒙特卡洛進(jìn)行收益模擬，結(jié)合無(wú)差異曲線與有效前沿進(jìn)行貸款配置。司繼文等[20]通過(guò)蒙特卡洛模生成股票收益情景，并利用CVaR和混合整數(shù)規(guī)劃進(jìn)行貸款配置。

上述研究不足在于：一是VaR僅將信用風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)化為單一分位點(diǎn)，但也因此不能充分考慮超出分位點(diǎn)的下方風(fēng)險(xiǎn)值分布；CVaR同等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)的大小，并沒(méi)有給不同損失賦以不同厭惡權(quán)重。二是現(xiàn)有譜風(fēng)險(xiǎn)研究并沒(méi)有將譜風(fēng)險(xiǎn)與貸款信用風(fēng)險(xiǎn)相結(jié)合，僅單一考慮了尾部風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有兼顧信用風(fēng)險(xiǎn)。

針對(duì)上述存在問(wèn)題，本文建立了基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜和蒙特卡洛模擬的貸款優(yōu)化配置模型。本文根據(jù)貸款組合尾部損失越大、對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重也應(yīng)越大的思路，通過(guò)冪風(fēng)險(xiǎn)譜對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，即彌補(bǔ)了CVaR僅均等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)、忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時(shí)彌補(bǔ)VaR僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無(wú)法反映超過(guò)閾值的損失的弊端。

2 科學(xué)問(wèn)題的提出及難點(diǎn)

2.1 商業(yè)銀行貸款配置的特點(diǎn)

(1)商業(yè)銀行貸款配置面臨風(fēng)險(xiǎn)是不可避免的，如果僅約束貸款組合的發(fā)生概率，而不控制極端風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)時(shí)的損失大小，則極易出現(xiàn)“黑天鵝”事件。若銀行在99%的置信水平下發(fā)生1000萬(wàn)損失的概率是1%，顯然對(duì)銀行影響不大；但若在萬(wàn)分之一的小概率下發(fā)生500億損失，則銀行的生存就可能有問(wèn)題。前者是“概率大小”問(wèn)題；而后者則講的是“損失大小”問(wèn)題。顯見(jiàn)，損失大小的“黑天鵝”事件，才是銀行應(yīng)該重點(diǎn)控制的問(wèn)題。

(2)貸款配置時(shí)，信用等級(jí)變化引起的風(fēng)險(xiǎn)常常被忽略，且由于貸款歷史數(shù)據(jù)較少，往往無(wú)法獲得貸款客戶的歷史損失分布，造成貸款配置時(shí)很少考慮信用等級(jí)變化的風(fēng)險(xiǎn)。

2.2 問(wèn)題的難點(diǎn)

難點(diǎn)1：用何種方法度量貸款組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)，避免資產(chǎn)配置的“黑天鵝”事件發(fā)生。尾部風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)概率雖小，但是一旦發(fā)生，對(duì)于銀行將產(chǎn)生極端的損失。恰當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)度量方法是商業(yè)銀行在貸款配置過(guò)程中不可或缺的風(fēng)險(xiǎn)防范手段。

難點(diǎn)2：如何將信用等級(jí)變化引起的風(fēng)險(xiǎn)納入總體風(fēng)險(xiǎn)的度量？信用等級(jí)的微小變化就會(huì)引起的總體風(fēng)險(xiǎn)變化，準(zhǔn)確度量信用等級(jí)改變引起的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于銀行風(fēng)險(xiǎn)控制極為重要。

2.3 突破問(wèn)題的思路

思路1：根據(jù)貸款組合尾部損失越大、對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重也應(yīng)越大的思路，通過(guò)冪風(fēng)險(xiǎn)譜對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，即彌補(bǔ)了CVaR僅均等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)、忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時(shí)彌補(bǔ)VaR僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無(wú)法反映超過(guò)閾值的可能損失的弊端。

思路2：通過(guò)蒙特卡洛模擬信用等級(jí)遷移引起貸款收益的變化情景，將信用遷移引起的風(fēng)險(xiǎn)引入風(fēng)險(xiǎn)度量中，彌補(bǔ)了現(xiàn)有研究?jī)H考慮違約風(fēng)險(xiǎn)忽視信用等級(jí)變化的不足，并解決貸款歷史數(shù)據(jù)不足的問(wèn)題。

3 貸款組合優(yōu)化模型的建立

3.1 冪風(fēng)險(xiǎn)譜測(cè)度

3.1.1 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR

VaR(Value at Risk)是指在一定置信水平1-α下，某金融資產(chǎn)組合在將來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)可能的最大損失。利用公式表示為[11]：

P(X<-VaRα)=α

(1)

令貸款組合收益率X的累積分布函數(shù)為F(x)，則可將式(1)轉(zhuǎn)化為[11]：

(2)

3.1.2 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR

條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR是指在一定置信水平1-α下，某金融資產(chǎn)組合在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)損失超過(guò)VaR的平均值，利用公式表示為[14]:

(3)

式(3)中CVaR指在1-α置信水平下貸款組合損失大于VaRα的全部損失值的算數(shù)平均值。

3.1.3 譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

(1)連續(xù)形式的譜風(fēng)險(xiǎn)

(4)

在式(4)中的風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)φ(p)是p∈[0,1]上的可積函數(shù)。且φ(p)滿足非負(fù)、正則、弱遞減性[21]：

(i)φ(p)≥0,?p，非負(fù)性。

(iii)φ(p1)≥φ(p2),ifp1≤p2，弱遞減性。

式(4)中φ(p)是風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)，從條件(iii)知p1≤p2時(shí)，φ(p1)≥φ(p2)，故φ(p)為單調(diào)遞減的。

圖1 譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重

(2)離散形式譜風(fēng)險(xiǎn)

很多情況下資產(chǎn)分布F(x)并不是確定的，是根據(jù)歷史資產(chǎn)收益進(jìn)行計(jì)算譜風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)使用到譜風(fēng)險(xiǎn)的離散形式，將式(4)轉(zhuǎn)化為離散形式如下[8]：

(5)

其中，N為有N種情景。

①式(5)中φi：為風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)φ(p)的離散形式，通過(guò)積分表達(dá)后為[8]：

(6)

②式(5)中Xi:N：Xi:N是個(gè)有序變量，為N個(gè)收益由小到大排列后的第i個(gè)收益。{Xi:N|i=1,…,N}={Xi|i=1,2,…,N}，并且Xi:N

式(5)的含義：式(5)中的收益Xi:N是由小到大排列的，即將損失-Xi:N由大到小排列。而式(5)中的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φi是由大到小排列的。即對(duì)較大的損失-Xi:N，賦予較大的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φi，反映了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡偏好。

(3)冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR (Power Spectral Risk)

令式(4)中的φ(p)為冪函數(shù)[18]：

φ(p)=(1-β)p-β,(0<β<1)

(7)

其中，β為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，根據(jù)金融機(jī)構(gòu)自己風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度自行在0-1之間取值[18]。β越大代表對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越大，由圖2可知，β=0.8對(duì)應(yīng)的φ(p)曲線中尾部風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度大于β=0.5時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。

圖2 冪風(fēng)險(xiǎn)譜測(cè)的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重

(8)

將式(8)代入式(5)，得到冪風(fēng)險(xiǎn)譜測(cè)度PSR[18]：

(9)

因此冪風(fēng)險(xiǎn)譜式(9)既彌補(bǔ)了下文式(14)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR[2-5]僅考慮了一個(gè)點(diǎn)的損失，即某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值-XNα：N、無(wú)法反映一旦超過(guò)這一數(shù)值的可能損失的弊端。又彌補(bǔ)了下文式(17)中條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR[6-9]同等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)，即相當(dāng)于對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)均賦予同等權(quán)重φi=1/Nα，忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重的不足。

3.2 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR是本文譜風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)特例

3.2.1 VaR與CVaR是連續(xù)型譜風(fēng)險(xiǎn)式(4)的特例

(1)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR是本文連續(xù)型譜風(fēng)險(xiǎn)式(4)的一個(gè)特殊情況。

設(shè)：δ為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Dirac-delta狄利克雷函數(shù))，則風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φ(p)[18]：

(10)

式(10)賦予尾部概率p=α?xí)r對(duì)應(yīng)的損失額無(wú)窮大的權(quán)重，而其余收益分位點(diǎn)上的權(quán)重為0。即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR對(duì)應(yīng)的φ(p)僅在α分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)值，其他分位點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)沒(méi)有考慮。

(11)

故，式(2)的VaR即為本文式(4)的一個(gè)特例。

本文式(4)的譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ與式(2)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的區(qū)別至少有二：

二是對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)大小的態(tài)度不同。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)大小，都是一個(gè)常數(shù)VaRα。而對(duì)于本文式(4)的譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ，它對(duì)較大損失賦予越大權(quán)重φ(p)，因此譜風(fēng)險(xiǎn)是反映風(fēng)險(xiǎn)厭惡偏好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)。

(2)條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR是本文連續(xù)型譜風(fēng)險(xiǎn)式(4)的一個(gè)特殊情況。

設(shè)：φ(p)-風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重，有[18]：

(12)

其中I為示性函數(shù)，當(dāng)p≤α?xí)r，I=1，否則為I=0。

式(12)的CVaR對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φ(p)，在p≤α?xí)r，表示CVaR對(duì)0～α分位點(diǎn)的損失賦予的權(quán)重均為1/α。沒(méi)考慮損失越大、厭惡權(quán)重越大，賦予同等權(quán)重，沒(méi)反映風(fēng)險(xiǎn)偏好。在p>α?xí)r，表示CVaR對(duì)于α～1分位點(diǎn)的損失賦予的權(quán)重均為0。沒(méi)考慮α～1分位點(diǎn)的損失較小的情況。

將式(12)的兩種表現(xiàn)形式代入式(4)，則[18]：

(13)

因此得到式(13)的CVaR，也就是得到了上文式(3)中的CVaR。故CVaR即為本文式(4)的一個(gè)特例。

本文式(4)的譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ與式(3)的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR的區(qū)別至少有二：

一是測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間不同。CVaR是對(duì)p∈[0,α]分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。而本文式(4)中對(duì)應(yīng)的譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ是p∈[0, 1]全部分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。二是對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)大小的態(tài)度不同。CVaR無(wú)論尾部損失大小，對(duì)于p∈[0,α]對(duì)應(yīng)的損失，賦予的權(quán)重均為1/α。而對(duì)于本文式(4)的譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ，它對(duì)較大損失賦予越大權(quán)重φ(p)，反映了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的偏好。

綜合上述，本研究用反映損失越大、風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重越大的式(4)譜風(fēng)險(xiǎn)Mφ來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，改變了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR對(duì)于損失超出閾值部分的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重為同一定值，并沒(méi)有體現(xiàn)出商業(yè)銀行對(duì)于銀行風(fēng)險(xiǎn)越極端、厭惡程度越高、控制力度越大的不足。

3.2.2 VaR與CVaR是離散型譜風(fēng)險(xiǎn)式(5)的特例

(1)離散形式的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR式(14)是離散形式譜風(fēng)險(xiǎn)式(5)的特例。

VaRα=-Xn:N=-XN·α:N

(14)

當(dāng)置信水平1-α=95%，模擬次數(shù)N=10,000時(shí)，則n=N·α=10,000×5%=500，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaRα的值即為貸款組合收益Xi由小到大排序，即損失-Xi由大到小排序后，在第500位的那一個(gè)損失-X500：10 000。

(15)

將式(15)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(14)中的VaR，則：

(16)

因此，離散型風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR式(14)即為本文離散型譜風(fēng)險(xiǎn)式(5)中的一個(gè)特例。

上文冪風(fēng)險(xiǎn)譜的式(9)彌補(bǔ)了式(14)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR僅考慮了一個(gè)點(diǎn)的損失，即某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無(wú)法反映一旦超過(guò)這一數(shù)值的可能損失的弊端。式(9)中冪風(fēng)險(xiǎn)譜考慮了多個(gè)點(diǎn)的損失，且對(duì)于較大的損失-Xi:N賦予較大的風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φi，反映了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡偏好。

(2)離散形式條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR式(17)是離散形式譜風(fēng)險(xiǎn)式(5)的特例。

設(shè)：CVaRα-置信水平取1-α?xí)r的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，E(·)-期望函數(shù)，X-貸款收益，VaRα-置信水平取1-α?xí)r的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，N-模擬總次數(shù)，Xi:N-資產(chǎn)收益X由小到大排列后的第i個(gè)資產(chǎn)收益，則[13]：

(17)

式(17)的含義：在由小到大排列后Nα個(gè)資產(chǎn)組合收益進(jìn)行算術(shù)平均計(jì)算，即為條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR。

將式(12)代入式(6)，得到條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR離散形式的權(quán)重φi[13]：

(18)

式(18)中字母與式(6)、式(12)中含義相同。

將式(18)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(17)中的CVaRα，則[13]：

(19)

因此，離散型條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR為離散型譜風(fēng)險(xiǎn)式(5)中的一個(gè)特例。

上文冪風(fēng)險(xiǎn)譜式(9)彌補(bǔ)了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR式(17)對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)均賦予同等權(quán)重φi=1/Nα，忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重的不足。式(9)中冪風(fēng)險(xiǎn)譜對(duì)較大損失-Xi:N，賦予較大權(quán)重φi，反映了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡偏好。

3.3 貸款收益的Monte Carlo模擬

用Monte Carlo模擬信用等級(jí)遷移引起貸款收益的變化情景，將信用等級(jí)變化引起的風(fēng)險(xiǎn)引入風(fēng)險(xiǎn)度量中，解決貸款歷史數(shù)據(jù)不足的問(wèn)題。

3.3.1 貸款收益率

設(shè)：ri-第i筆貸款信用等級(jí)變?yōu)镾i時(shí)(Si為非違約級(jí)別)的貸款收益率；pi-一年后的利息；Ti-第i筆貸款的貸款期限；rSi,t-信用等級(jí)為Si的貸款第t年的遠(yuǎn)期利率(見(jiàn)表4)。則[22]：

(20)

式(20)考慮一年后信用等級(jí)變化情況[22]，考察時(shí)間點(diǎn)為一年末，信用等級(jí)在一年末一旦發(fā)生遷移，就按照遷移后的信用等級(jí)對(duì)應(yīng)的零息票收益曲線中的遠(yuǎn)期利率進(jìn)行折現(xiàn)，通過(guò)式(20)反映信用等級(jí)遷移對(duì)貸款收益率的影響。

若一年后等級(jí)Si為違約級(jí)別時(shí)，通過(guò)下文式(21)求貸款收益率。設(shè)：ri-貸款收益率，di-違約時(shí)的挽回率，則[22]：

ri=di-1

(21)

其中，一筆貸款違約時(shí)的挽回率di在模擬過(guò)程中，通過(guò)在滿足貝塔分布β(a,b)的數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生，其中a,b為決定貝塔分布均值和方差的相關(guān)參數(shù)[22]，下文實(shí)證4.2中參照現(xiàn)有研究[22]選取貝塔分布的參數(shù)為β(a,b)=β(2,8)。

3.3.2 信用等級(jí)遷移

根據(jù)CreditMetrics框架[23]，可知一個(gè)企業(yè)貸款從初始信用等級(jí)K級(jí)，遷移到S級(jí)的概率分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，如圖3[23]所示。信用等級(jí)從低等級(jí)到高等級(jí)排列后為違約Defualt(1)、CCC(2)、B(3)、BB(4)、BBB(5)、A(6)、AA(7)、AAA(8)個(gè)等級(jí)。

圖3 貸款收益與信用等級(jí)之間的關(guān)系[23]

設(shè)：Pk,s-貸款信用等級(jí)從k級(jí)轉(zhuǎn)移到s級(jí)的概率，Φ(·)-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)，Ck,s-信用等級(jí)從k級(jí)遷移到s級(jí)的臨界點(diǎn)，x-模擬時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)貸款收益率，則[23]：

Pk,s=Φ(Ck,s-1

(22)

(23)

式(22)為貸款從k等級(jí)轉(zhuǎn)移到s等級(jí)的概率Pk,s。當(dāng)隨機(jī)生成的標(biāo)準(zhǔn)貸款收益率x處于Ck,s-1

由此將下文3.3.3中每個(gè)模擬出的貸款收益x，與信用等級(jí)轉(zhuǎn)移臨界點(diǎn)Ck,s進(jìn)行對(duì)比，便可知企業(yè)一年后的信用等級(jí)。

以BBB級(jí)為例，說(shuō)明信用等級(jí)遷移臨界點(diǎn)Ck,s確定的過(guò)程。

表1是信用等級(jí)遷移矩陣[23]，如表1第4行是BBB級(jí)客戶遷移分別到Default級(jí)、CCC級(jí)、…、AAA級(jí)的概率，為0.16%、0.06%、…、0.03%。

將表1第4行第1列BBB級(jí)遷移到違約的概率PBBB,1=0.16%代入式(23)并查正態(tài)分布表，可得BBB級(jí)遷移到違約Default(1)級(jí)的臨界點(diǎn)CBBB,1：

CBBB,1=Φ-1(PBBB,1)=Φ-1(0.16%)=-2.945。

將結(jié)果列入表2第4行第1列。

…，…，…

BBB級(jí)遷移到AA(7)的臨界點(diǎn)CBBB,7:

CBBB,7=Φ-1(PBBB,1+PBBB,2+…+PBBB,7)=Φ-1(0.16%+0.06%+…+0.23%)=Φ-1(99.97%)=3.412

表1 一年內(nèi)信用等級(jí)轉(zhuǎn)移矩陣[23]

表2 信用等級(jí)遷移臨界點(diǎn)Ck,s

BBB遷移到各等級(jí)的臨界點(diǎn)如表2第4行所示。同理，可得AAA、AA、…、CCC等級(jí)向其他等級(jí)遷移的臨界點(diǎn)Ck,s，如表2其他行所示。

3.3.3 貸款收益率的Monte Carlo模擬

步驟1：隨機(jī)生成一組符合m維正態(tài)分布N(0,Cov)的向量x=(x1,…,xm)T，代表m筆貸款的標(biāo)準(zhǔn)收益率。

步驟2：根據(jù)貸款i的初始信用等級(jí)，將步驟1中得到的每一個(gè)貸款收益xi分別與表2其初始信用等級(jí)所在行的等級(jí)遷移臨界點(diǎn)Ck,s進(jìn)行比較，如初始等級(jí)為BBB級(jí)，則與表2中BBB級(jí)所在行第4行進(jìn)行比較。當(dāng)?shù)趇個(gè)貸款收益xi滿足關(guān)系Cki,si-1

步驟3：計(jì)算信用等級(jí)遷移后的貸款收益r。

①當(dāng)遷移后等級(jí)si為非違約等級(jí)，則由式(20)可以計(jì)算一年末的收益率。②當(dāng)遷移后等級(jí)si為違約等級(jí)，則通過(guò)式(21)計(jì)算貸款收益率。由此，模擬出m筆貸款一年后經(jīng)過(guò)信用等級(jí)遷移后的收益率值r1j=(r11，…，r1m)，得到第一次模擬情景的值。

步驟4：重復(fù)N次步驟1-步驟3，可模擬出m筆貸款的N種不同情景下的收益值，即：rij=(ri1，ri2，…，rim),i=1,…，N。

步驟5：計(jì)算每筆貸款N種情景下收益率的均值uj。

設(shè)：uj-第j筆貸款全部N種情景模擬的收益率均值，N-模擬總次數(shù)，rij-第i種情景模擬出的第j筆貸款收益率，m-貸款筆數(shù)。則[22]：

(24)

步驟6：確定信用遷移后的收益率的變化量Xij。

設(shè)：Xij-第i種情景第j筆貸款信用等級(jí)遷移后引起的收益率變化量，則[22]：

Xij=rij-uj

(25)

式(25)通過(guò)信用等級(jí)遷移后貸款收益率rij與收益率均值uj之間的差值Xij，反映信用等級(jí)遷移引起的貸款收益變化。

3.4 基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜的貸款組合配置模型的構(gòu)建

3.4.1 目標(biāo)函數(shù)中的主要參數(shù)

設(shè)：Xi-第i種情景信用等級(jí)遷移引起的貸款組合收益變化量，wj-第j筆貸款配置比例。則[22]：

(26)

式(26)的含義：通過(guò)上文式(25)中得到的第i種情景第j筆貸款信用等級(jí)遷移后收益率變化量Xij，乘以對(duì)應(yīng)貸款配置權(quán)重wj，確定信用風(fēng)險(xiǎn)遷移后第i個(gè)情景下的貸款組合收益的變化量Xi。當(dāng)Xi>0，表示情景i的貸款組合收益因信用等級(jí)遷移產(chǎn)生了收益。反之，表示因信用遷移產(chǎn)生了損失。

其中，下文式(27)中的Xi:N即為式(26)中所得的收益率變化量Xi由小到大排序后所得值。

式(26)中的rij為信用等級(jí)遷移后的貸款利率，通過(guò)式(26)將信用等級(jí)遷移的風(fēng)險(xiǎn)納入總體風(fēng)險(xiǎn)度量體系之中，從而在總體上對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)的不確定性有了較可靠的把握。完善了現(xiàn)有研究中常常忽略信用等級(jí)變化風(fēng)險(xiǎn)的不足。

3.4.2 目標(biāo)函數(shù)的確定

以上文式(9)的貸款組合收益的冪風(fēng)險(xiǎn)譜MPSR最小為目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)如下[18]：

(27)

式(27)目標(biāo)函數(shù)的好處：根據(jù)給不同貸款組合損失-Xi越大，其風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φi也就越大的思路，構(gòu)建冪風(fēng)險(xiǎn)譜MPSR最小建立非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的價(jià)值偏好。即彌補(bǔ)了現(xiàn)有研究條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)、忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時(shí)彌補(bǔ)了現(xiàn)有研究風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無(wú)法反映一旦超過(guò)這一數(shù)值的可能損失的弊端。

3.4.3 約束條件的確定

(1)貸款組合收益大于給定目標(biāo)收益。

設(shè)：u-貸款組合收益，m-貸款個(gè)數(shù)，uj-第j筆貸款N種情景模擬的收益率均值，wj-第j筆貸款的配置權(quán)重，r0-給定目標(biāo)收益，則[22]：

(28)

(2)權(quán)重加和為1。

設(shè)：m-貸款個(gè)數(shù)，wj-貸款的配置權(quán)重，則[22]：

(29)

(3)風(fēng)險(xiǎn)集中度約束

設(shè)：wj-第j筆貸款的配置權(quán)重，則[22]：

0

(30)

式(30)的含義：通過(guò)單個(gè)資產(chǎn)權(quán)重wj小于20%[22]，避免資產(chǎn)過(guò)于集中[22]。

以式(27)為目標(biāo)函數(shù)，以式(28)-式(30)為約束，構(gòu)建基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜的貸款優(yōu)化配置模型。

特點(diǎn)：通過(guò)蒙特卡洛模擬信用等級(jí)遷移引起貸款收益的變化量Xi。并以信用等級(jí)遷移后貸款組合損失越大、則風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重越大的思路構(gòu)建式(27)的冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR最小為目標(biāo)函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標(biāo)收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型，同時(shí)控制信用風(fēng)險(xiǎn)和尾部極端風(fēng)險(xiǎn)。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文待配置貸款共有12筆，12筆貸款信息如表3所示遠(yuǎn)期利率[23]。表5前10行收集了某銀行十年間，與12筆貸款同信用等級(jí)、同貸款年限的實(shí)際收益率歷史數(shù)據(jù)。

表3 貸款信息

表4 不同信用等級(jí)遠(yuǎn)期利率(零息票曲線對(duì)應(yīng)利率)rSi,t[23]

表5 全部貸款的歷史收益率hti(%)

4.2 Monte Carlo模擬貸款收益率

(1)Monte Carlo模擬收益率

步驟1：確定12筆貸款的相關(guān)系數(shù)矩陣。

(31)

將表5數(shù)據(jù)代入式(31)得到貸款之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表6所示。用矩陣ρ的形式表示：

(32)

表6 各企業(yè)貸款收益率之間的相關(guān)系數(shù)矩陣ρ=[ρij]m×m

步驟2：隨機(jī)生成一組12筆貸款的標(biāo)準(zhǔn)收益率。

令貸款1、…、貸款12的貸款收益率隨機(jī)變量分別記為x1、…、x12，且分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，x1～N(0,1)，…，x12～N(0,1)。

12個(gè)貸款的標(biāo)準(zhǔn)化收益率的聯(lián)合分布(x1,x2, …,x12)服從12維的正態(tài)分布N(0,Cov)。

其中，12維正態(tài)分布N(0,Cov)中0=(0,0,…0)12×1，Cov為12筆貸款的協(xié)方差矩陣。12筆貸款的協(xié)方差矩陣Cov為式(32)所得相關(guān)系數(shù)矩陣。

由Matlab軟件中的函數(shù)mvnrnd(μ,Cov)可隨機(jī)生成服從12維正態(tài)分布N(0,Cov)的收益率。第一次隨機(jī)生成的12筆貸款的收益率向量為x=(x1，…，x12)T=(-1.601, …, -1.438)T，結(jié)果列入表7第1行。

重復(fù)本步驟步驟2可以得到表7第2-10000行。

表7 Monte Carlo模擬得到的不同貸款標(biāo)準(zhǔn)化收益率x

步驟3：將步驟2中隨機(jī)生成的標(biāo)準(zhǔn)化收益率分別與表2中信用等級(jí)遷移臨界點(diǎn)Ck,s進(jìn)行對(duì)照，確定12筆貸款其一年后的信用等級(jí)。結(jié)果列入表8。

步驟4：信用等級(jí)遷移后的貸款收益率的確定。

第1次模擬貸款1時(shí)，將貸款利率p1=4.10%、貸款期限T1=3、AA級(jí)1年后的遠(yuǎn)期利率rAA,1=3.65%、AA級(jí)2年后的遠(yuǎn)期利率rAA,2=4.22%代入式(20)，則第1次模擬的貸款1的等級(jí)遷移后的利率r1,1=3.896%，列入表9第1行第1列。

同理可得剩余11筆貸款信用等級(jí)遷移后的收益率，如表9第1行第2-12列所示。

表8 Monte Carlo模擬第一年末時(shí)貸款信用等級(jí)S

表9 Monte Carlo模擬第一年末時(shí)貸款收益rij

表10 信用等級(jí)遷移引起的收益變化量Xij

a)重復(fù)本步驟步驟4可以得到表9第2-10000行。

應(yīng)該指出，若信用等級(jí)遷移后變?yōu)椤斑`約”等級(jí)，則根據(jù)式(21)計(jì)算收益率。

(2)信用等級(jí)遷移后貸款收益的變化量Xij。

①確定每筆貸款在10000種情景收益率的均值uj。將表9第1列前10000行代入式(24):u1=(3.896%+…+3.99%)/10000=3.981%。結(jié)果列入表9最后一行第1列所示。

同理可以得到其他11筆貸款的收益率均值uj，如表9最后一行第2-12列所示。

②信用等級(jí)遷移引起的收益率變化量Xij。將表9第1行第1列r1,1=3.896%、及最后1列u1=3.981%代入式(25)：X1,1= 3.896%-3.981%= -0.085%。結(jié)果如表10第1行第1列。得到第1種情景中貸款1因信用等級(jí)遷移引起的收益率變化量X1,1= -0.085%<0，表明信用等級(jí)遷移后引起損失，表明貸款1信用等級(jí)由AAA級(jí)遷移到AA級(jí)引起損失。

同理可得其他情景中每筆貸款因信用等級(jí)遷移引起的收益率變化量Xij，如表10其他行列所示。

4.3 基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜的貸款組合優(yōu)化配置模型

4.3.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

(1)信用等級(jí)遷移后貸款組合收益變化量Xi。

將表10中的信用等級(jí)遷移引起的貸款收益變化量Xij逐行分別代入式(26)中，可得到每一次模擬因信用等級(jí)遷移引起總變化量表達(dá)式Xi：

(33)

其中，w=(w1,w2,…,w12)表示組合中12筆貸款的配置比例，為待求解變量。

雖然式(33)中的X1,…，X10000含有未知變量wj，但在求解過(guò)程中每次給定一組wj，即可確定出式(33)的Xi，將式得到X1,…，X10000由小到大排列后對(duì)應(yīng)的值即為目標(biāo)函數(shù)式(34)中X1:10000,…，X10000:10000。直至式(34)最小時(shí)，得到最終的貸款配置比例wj。

因此、下文式(34)中X1:10000,X2:10000,…，X10000:10000是式(33)得到Xi由小到大排列后對(duì)應(yīng)的值。

(2)冪風(fēng)險(xiǎn)譜的風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重φi。

通過(guò)式(8)確定10000種情景貸款組合收益排序后對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重φi，i=1, …，10000。

同理可得φ2，…，φ10000，結(jié)果如表11第1行第2-10000列所示。

(3)基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜最小的目標(biāo)函數(shù)。

將表11中風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重φi代入式(27):

=-(0.01X1:10000+…+0.000050X10000:10000)

(34)

式(34)根據(jù)“不同貸款組合的損失-Xi越大，其風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重φi越大”的思路，以冪風(fēng)險(xiǎn)譜MPSR最小建立非線性規(guī)劃模型，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的價(jià)值偏好。

4.3.2 約束條件的確定

約束1：貸款組合收益大于給定目標(biāo)值r0。

將表9最后一行uj值，代入式(28)不等號(hào)右側(cè)，得到貸款組合收益：

u=3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12

(35)

再將給定目標(biāo)收益r0=6.5%[19]，代入式(28)：

3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12≥r0=6.5%

(36)

約束2：貸款配置比例wj加和為1。根據(jù)式(29):

w1+w2+…+w12=1

(37)

約束3：?jiǎn)喂P貸款權(quán)重wj小于等于20%[19]。

0

(38)

4.3.3 模型的求解

以式(34)為目標(biāo)函數(shù)，以式(36)-(38)為約束，構(gòu)建基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR最小的貸款組合優(yōu)化模型，通過(guò)非線性規(guī)劃求解最優(yōu)資產(chǎn)配置比例w。

求解過(guò)程由Matlab實(shí)現(xiàn)，求解的貸款配置結(jié)果wj如表12第1行前12列所示。

將表12第1行第1-12列代入式(35)得到貸款組合收益0.068，結(jié)果列入表12第1行第13列。

將表12第1行第1-12列代入式(33)后求得10000個(gè)Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風(fēng)險(xiǎn)譜為0.0101，結(jié)果列入表12第1行第14列。

將表12第1行第13、14列，代入“收益/冪風(fēng)險(xiǎn)譜”=0.068/0.101=6.73，表示單位冪風(fēng)險(xiǎn)譜上獲得的收益，結(jié)果列入表12第1行第15列。

5 模型的對(duì)比分析

5.1 對(duì)比模型1

思路：將式(34)中目標(biāo)函數(shù)替換為式(21)的貸款組合收益的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構(gòu)建對(duì)比模型1。求解所得貸款配置結(jié)果如表12第2行前12列所示。

表11 冪風(fēng)險(xiǎn)譜的風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重φi

表12 貸款配置結(jié)果

將表12第2行第1-12列代入式(35)得貸款組合收益0.0675，結(jié)果列入表12第2行第13列。

將表12第2行第1-12列代入式(33)后求得10000個(gè)Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風(fēng)險(xiǎn)譜為0.0197，結(jié)果列入表12第2行第14列。

將表12第2行第13、14列，代入“收益/冪風(fēng)險(xiǎn)譜”=0.0675/0.0197=3.43，表示單位冪風(fēng)險(xiǎn)譜上獲得的收益，結(jié)果列入表12第2行第15列。

5.2 對(duì)比模型2

思路：將式(34)中目標(biāo)函數(shù)替換為貸款組合收益的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR式(27)最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構(gòu)建對(duì)比模型2。求解所得貸款配置結(jié)果如表12第3行前12列所示。

與上文5.1同理求得貸款組合收益0.0693、冪風(fēng)險(xiǎn)譜為0.0129、“收益/冪風(fēng)險(xiǎn)譜”=0.0693/0.0129=5.37，結(jié)果列入表12第3行第13-15列。

5.3 對(duì)比結(jié)果與分析

由表12可知，表12第1行第1-12列是本模型對(duì)于12筆貸款的配置結(jié)果，表12第2行是對(duì)比模型1用VaR最小為目標(biāo)函數(shù)的貸款配置結(jié)果，表12第3行是對(duì)比模型2用CVaR最小為目標(biāo)函數(shù)的貸款配置結(jié)果。

收益方面，由表12第12列可知，是對(duì)比模型2采用CVaR為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，獲得的收益最大為0.0693。

風(fēng)險(xiǎn)方面，由表12第13列可知，是本模型采用冪風(fēng)險(xiǎn)譜為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)最小為0.0101。

單位風(fēng)險(xiǎn)的收益，由表12最后一列可知，是本模型采用冪風(fēng)險(xiǎn)譜為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其貸款配置結(jié)果的單位風(fēng)險(xiǎn)的收益最大為6.73。故本模型為最優(yōu)模型。

6 結(jié)語(yǔ)

(1)本文通過(guò)蒙特卡洛模擬信用等級(jí)遷移引起貸款收益的變化情景，并以冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR最小為目標(biāo)函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標(biāo)收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型。通過(guò)冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR、條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR三種模型對(duì)比，實(shí)證結(jié)果表明基于冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR的貸款配置模型在單位冪風(fēng)險(xiǎn)譜下的收益優(yōu)于條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR與風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的貸款配置模型。

(2)利用冪風(fēng)險(xiǎn)譜來(lái)度量資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)損失-Xi越大、其風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重?i也就越大的思路，構(gòu)建冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR最小建立非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的價(jià)值偏好。即彌補(bǔ)了現(xiàn)有研究條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風(fēng)險(xiǎn)、忽略風(fēng)險(xiǎn)較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時(shí)彌補(bǔ)了現(xiàn)有研究風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無(wú)法反映一旦超過(guò)這一數(shù)值的可能損失的弊端。

(3)通過(guò)蒙特卡洛模擬信用等級(jí)遷移引起貸款收益的變化情景，并以信用等級(jí)遷移后貸款組合損失越大、則風(fēng)險(xiǎn)厭惡權(quán)重越大的思路構(gòu)建冪風(fēng)險(xiǎn)譜PSR最小為目標(biāo)函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標(biāo)收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型，改變了現(xiàn)有研究[2-9]貸款配置時(shí)沒(méi)有同時(shí)控制信用風(fēng)險(xiǎn)和尾部風(fēng)險(xiǎn)的不足。