錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215200)

初中數(shù)學(xué)涉及人的兩種思維形式，即以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)的判斷與推理，而構(gòu)成它們的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念，也就是說(shuō)初中數(shù)學(xué)課程開(kāi)始聚焦于學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展.要夯實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，其應(yīng)然途徑就是要重視學(xué)生的每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成.但是，對(duì)于初中生而言，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)并不是件容易的事，一是數(shù)學(xué)概念是一種反映人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特征的形式，它的形成是人腦擺脫了對(duì)感性材料依賴的抽象思維過(guò)程；二是許多數(shù)學(xué)概念用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、形成過(guò)程以及表達(dá)方式都很“抽象”.所以，數(shù)學(xué)概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).有相當(dāng)一部分初中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏懼心理，在課堂上情緒緊張，聽(tīng)課效率低下，一知半解、稀里糊涂，嚴(yán)重影響后續(xù)學(xué)習(xí)，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)業(yè)成績(jī)的下滑，思維能力得不到充分發(fā)展等等.為了破解數(shù)學(xué)概念教學(xué)的這兩大問(wèn)題，從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)成長(zhǎng)出發(fā)，圍繞數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題，尋找數(shù)學(xué)概念教學(xué)的突破點(diǎn)和學(xué)生思維發(fā)展的生長(zhǎng)點(diǎn).

1 基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)成長(zhǎng)的概念學(xué)習(xí)，給數(shù)學(xué)課堂增活力

美國(guó)著名教育家，經(jīng)驗(yàn)主義學(xué)習(xí)的倡導(dǎo)者杜威先生認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)就是經(jīng)驗(yàn)的重組和經(jīng)驗(yàn)的成長(zhǎng).所以，學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生當(dāng)下數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要資源.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是幫助頭腦沒(méi)有概念的學(xué)生建立新的概念，幫助頭腦中已經(jīng)有的模糊的、不完整的、甚至錯(cuò)誤的概念的學(xué)生，進(jìn)一步厘清、補(bǔ)充、矯治，從而形成正確概念的過(guò)程.所以，離開(kāi)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué),就是無(wú)源之水、無(wú)本之木,教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成必然成為一句空話.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)對(duì)接他們已有的經(jīng)驗(yàn)，激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的活躍因子，順應(yīng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的成長(zhǎng)規(guī)律.

在蘇科版八年級(jí)下冊(cè)《9.1圖形的旋轉(zhuǎn)》教學(xué)導(dǎo)入時(shí)，教師先讓學(xué)生來(lái)玩“俄羅斯方塊”游戲，以孩子喜聞樂(lè)見(jiàn)的活動(dòng)吸引學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的興趣.指導(dǎo)學(xué)生觀察通過(guò)遙控器，玩家控制屏幕上出現(xiàn)的圖形做出動(dòng)作反應(yīng).設(shè)計(jì)一組問(wèn)題串，幫助學(xué)生在游戲中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從他們生活經(jīng)驗(yàn)中構(gòu)建數(shù)學(xué)概念.

問(wèn)題一“俄羅斯方塊”游戲中圖形做幾種運(yùn)動(dòng)？哪幾種運(yùn)動(dòng)？因?yàn)榇蠖鄶?shù)孩子都玩過(guò)“俄羅斯方塊”游戲，不難發(fā)現(xiàn)屏幕中的圖形就作兩種運(yùn)動(dòng)，一是平移，二是旋轉(zhuǎn).

問(wèn)題二在日常生活中，你還見(jiàn)到哪些現(xiàn)象是圖形的平移和旋轉(zhuǎn)？讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)身邊的平移和旋轉(zhuǎn)的實(shí)例，幫助學(xué)生反芻生活經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成前的思維圖識(shí).同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，為本節(jié)課開(kāi)場(chǎng)白創(chuàng)設(shè)良好的氛圍,同時(shí)也讓去學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活，思考生活,從而在生活中發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

問(wèn)題三請(qǐng)你用自己的話，說(shuō)說(shuō)平移和旋轉(zhuǎn)到底是什么樣的運(yùn)動(dòng)方式？一方面檢視學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)中究竟形成什么樣的平移和旋轉(zhuǎn)的概念，這是數(shù)學(xué)概念正式教學(xué)前的測(cè)試，是“以學(xué)定教”的基礎(chǔ)性工作.平移的概念來(lái)自于學(xué)生初一學(xué)習(xí)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，而旋轉(zhuǎn)的概念因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)，全憑學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和小學(xué)學(xué)習(xí)“圖形的變換方式”時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)來(lái)表述，形成不了“清晰、完整、合理”的數(shù)學(xué)概念.這時(shí)，教師就要在學(xué)生的各種觀點(diǎn)中梳理出“旋轉(zhuǎn)”的本原性問(wèn)題，一個(gè)固定點(diǎn)、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角和轉(zhuǎn)動(dòng)方向，即“圍繞一個(gè)點(diǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度”.

教師出示各種用硬紙板做成“俄羅斯方塊”道具和大頭針，讓學(xué)生體驗(yàn)：在圖形上找出一個(gè)“點(diǎn)”，說(shuō)出圖形圍繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了“幾度”角，通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題的理解.最后，提煉歸納出“圖形旋轉(zhuǎn)”的數(shù)學(xué)概念.

學(xué)生都是帶著自己的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入課堂的.所以，教師要尊重學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、充分利用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)組織課堂教學(xué)，學(xué)生才有可能成為學(xué)習(xí)的主人，才有活力，課堂才有可能充滿活力.

2 基于學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)成長(zhǎng)的概念學(xué)習(xí)，給數(shù)學(xué)課堂添動(dòng)力

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中所獲得的感受、體驗(yàn)以及由此獲得的知識(shí)、技能、情感、和觀念的綜合體.學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)任務(wù)，也是課堂學(xué)習(xí)的重要資源.所以，在課堂教學(xué)中，教師不僅僅要讓學(xué)生參與、經(jīng)歷各種圍繞教學(xué)任務(wù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，更重要的是讓學(xué)生在活動(dòng)中獲得感悟.學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在“做”中獲得，在“思”中提升，在“悟”中遷移.

八年級(jí)學(xué)生對(duì)“旋轉(zhuǎn)”概念的形成也可以從活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的改造過(guò)程中形成.即，教師可以通過(guò)一些動(dòng)手操作活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)體悟到旋轉(zhuǎn)的“本原性”問(wèn)題所在，在加深對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)理解，在此基礎(chǔ)上概括形成有關(guān)“旋轉(zhuǎn)”的完整定義.教師可以設(shè)計(jì)以下幾個(gè)活動(dòng).

活動(dòng)一將一塊三角尺放在白紙上，用筆描一個(gè)△ABC.如圖1,在將三角板繞直角頂點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，用筆在白紙上描△DEC的位置，并回答問(wèn)題：

圖1

(1)在三角尺旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，形狀有沒(méi)有變化？大小有沒(méi)有變化？

(2)指出點(diǎn)A、B、C分別轉(zhuǎn)到哪個(gè)位置？讓學(xué)生找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中點(diǎn)C是固定的，認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)中心.學(xué)生可以通過(guò)操作、觀察、測(cè)量比較等方式得出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有變化，改變的只是位置.

(3)指出AB、BC、AC邊和∠A、∠B、∠C分別轉(zhuǎn)到哪個(gè)位置？其實(shí)質(zhì)讓學(xué)生找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

(4)讓學(xué)生用量角器測(cè)量一下，A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)了幾度？引入旋轉(zhuǎn)角的概念，即每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.

通過(guò)學(xué)生仔細(xì)觀察、動(dòng)手測(cè)量，會(huì)直觀的發(fā)現(xiàn)其結(jié)論：當(dāng)圖形發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，其上面的每個(gè)點(diǎn)同時(shí)都按相同的方式旋轉(zhuǎn)相同的角度，都等于旋轉(zhuǎn)角.

學(xué)生在實(shí)際操作時(shí)，使用的道具都不相同.但是，通過(guò)教師層層深入地設(shè)問(wèn)，旋轉(zhuǎn)的本原性問(wèn)題就慢慢地凸顯出來(lái)了.即：一個(gè)固定的點(diǎn)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度.數(shù)學(xué)抽象的概念就與一個(gè)個(gè)動(dòng)手操作的活動(dòng)緊密結(jié)合在一起，在活動(dòng)與思辨中逐步形成.

活動(dòng)二教師將一個(gè)硬紙板制作的三角形，在黑板上描畫△ABC.如圖2所示,在形外有一個(gè)點(diǎn)O，將三角形(當(dāng)場(chǎng)在三角形上固定一根硬紙板條，控制其旋轉(zhuǎn))繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，在黑板上描畫出△A′B′C′的位置.

(1)找一找、量一量旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

(2)找一找、量一量對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離的長(zhǎng)度.

(3)除了對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角都相對(duì)之外，還有哪些相等的角和相等的線段？

圖2

(4)在三角形的一條邊上隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)N，找一找三角形旋轉(zhuǎn)后N點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在哪里？畫一畫，量一量，N點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度是多少？

讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量、思辨、推理等手段，去發(fā)現(xiàn)不管圖形如何旋轉(zhuǎn)，圖形上任意點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離是不變，該點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度跟圖形上所有的點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度是一致的.

我們可以看到這一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成、發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生有相對(duì)充足的時(shí)間去觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納，參與探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的全過(guò)程.只有這樣，學(xué)生才能在探究活動(dòng)中獲得解決問(wèn)題的實(shí)踐能力，豐富思維活動(dòng)需要的感性素材.動(dòng)手活動(dòng)讓數(shù)學(xué)概念的形成擺脫傳統(tǒng)教學(xué)“死記硬背”模式，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的操作實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，給原本課堂氣氛相對(duì)沉悶、學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)不多的數(shù)學(xué)教學(xué)增添無(wú)限動(dòng)力，這不但利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和記憶，而且還利于融會(huì)貫通，舉一反三能力的提升，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)踐中解決問(wèn)題的思想方式和行為習(xí)慣，這是一舉多得的好事.

3 基于思維經(jīng)驗(yàn)成長(zhǎng)的概念學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)課堂顯張力

不管是基于生活經(jīng)驗(yàn)還是基于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，很大程度上依賴于孩子的形象思維和動(dòng)作思維，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升，特別是抽象思維能力的發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)核心任務(wù).所以，教師還要積極地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，將生活中具象實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)圖形或模型，從“生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象” 走向 “數(shù)學(xué)平面圖形的旋轉(zhuǎn)”.基于學(xué)生思維經(jīng)驗(yàn)的成長(zhǎng)來(lái)組織數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)冰冷的美麗變成火熱的思考,會(huì)使得我們的數(shù)學(xué)教學(xué)更顯張力，更具魅力.

問(wèn)題一觀察以下動(dòng)畫中的轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象，如圖3所示,找一找有什么共同的特征?

圖3

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)風(fēng)車、大轉(zhuǎn)輪和風(fēng)扇葉片都是繞著一個(gè)固定的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)身邊類似的場(chǎng)景.學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)會(huì)一一舉例，不斷加深旋轉(zhuǎn)的本原性問(wèn)題，即有一個(gè)固定的點(diǎn).盡管直觀感受只能形成感性知識(shí)，但它卻是思維的起點(diǎn)，是感性知識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)知的開(kāi)端.于是教師引入一個(gè)時(shí)鐘指針的轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)例.將時(shí)鐘抽象一個(gè)圖形，時(shí)針抽象一條線段，再引發(fā)學(xué)生思考.

問(wèn)題二如圖4所示,你能說(shuō)出時(shí)鐘的指針是如何轉(zhuǎn)動(dòng)的嗎？

圖4

繞著一個(gè)固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，這是旋轉(zhuǎn)的另一個(gè)本原性問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)了，即轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.教師繼續(xù)追問(wèn).這個(gè)過(guò)程能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)直觀，達(dá)到思維層面的再認(rèn)識(shí)，再思考.

問(wèn)題三如何根據(jù)圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，給圖形的旋轉(zhuǎn)下個(gè)合適的定義？

因?yàn)閷W(xué)生有學(xué)習(xí)圖形平移時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)，教師可以用類比的方式，引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知圖識(shí)中去歸納圖形旋轉(zhuǎn)的定義，形成生動(dòng)的數(shù)學(xué)概念.在這一過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神的同時(shí)，夯實(shí)之前學(xué)習(xí)的知識(shí)，達(dá)到前后知識(shí)點(diǎn)的融合，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力.

問(wèn)題四“點(diǎn)動(dòng)成線，線可構(gòu)形”，我們看到的是圖形在旋轉(zhuǎn)，那么構(gòu)成圖形上的各點(diǎn)是如何隨圖形轉(zhuǎn)動(dòng)呢？

引導(dǎo)學(xué)生“定點(diǎn)、連線、找規(guī)律”.即，在圖形上任意確定一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)找到圖形旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；分別連接該點(diǎn)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；可以利用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，量一量、測(cè)一測(cè)，找出規(guī)律得出結(jié)論.也可以用已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)推理、判斷等思維方式解決問(wèn)題，形成完整的數(shù)學(xué)概念.

我們可以發(fā)現(xiàn),此環(huán)節(jié)的活動(dòng)讓學(xué)生在探究圖形旋轉(zhuǎn)的概念時(shí)，找準(zhǔn)了聯(lián)系生活的數(shù)學(xué)抽象的切入點(diǎn)，類比圖形的平移，不僅提煉概括思維過(guò)程，把握生成概念的經(jīng)驗(yàn)，還能遷移此經(jīng)驗(yàn)至后續(xù)學(xué)習(xí)，理解了圖形的旋轉(zhuǎn)其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，為圖形旋轉(zhuǎn)的作圖提供了依據(jù).所以,在教學(xué)中,我們教師一定要把握時(shí)機(jī),抓住本質(zhì),與學(xué)生一起分析、歸納、抽象，這正是數(shù)學(xué)抽象思維的生長(zhǎng)點(diǎn).

但是，對(duì)于初中學(xué)生而言，在抽象的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，也需要生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的成長(zhǎng)來(lái)助推，這樣才能使得學(xué)生形成的概念更加生動(dòng)、更加鮮活.游離于思維經(jīng)驗(yàn)成長(zhǎng)、思維品質(zhì)提升的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是真正意義上的數(shù)學(xué)教學(xué).但是，沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不能成為適合初中學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué).

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)不是對(duì)現(xiàn)實(shí)的純粹客觀的反映，只不過(guò)是人們對(duì)客觀世界的一種解釋、假設(shè)或假說(shuō)；學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，還需要個(gè)體基于自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)而建構(gòu)，還需要取決于特定情境下的學(xué)習(xí)歷程.數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)定理、法則、公式教學(xué)的基礎(chǔ)，為了讓學(xué)生全面理解、掌握數(shù)學(xué)概念，教師要緊緊圍繞數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題，從不同維度對(duì)同一數(shù)學(xué)概念組織一系列的認(rèn)知活動(dòng)，從多維度幫助學(xué)生自主構(gòu)建，這不是一件事倍功半的“蠢事”，而是一件為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打?qū)嵒A(chǔ)的“好事”.所以，教師要充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)來(lái)組織課堂教學(xué)，同時(shí)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的傳授和基本技能的訓(xùn)練過(guò)程，不斷地成長(zhǎng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).