勞美鳳 覃俐慧 盧家寬

摘 要 內(nèi)積空間是高等代數(shù)里最優(yōu)美的理論之一，它把幾何、代數(shù)、分析熔于一爐。本文討論歐氏空間的正交分解的一個應用，即對有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性給出了一個較為自然的證明，從而使得初學者較好掌握施密特正交化方法。

關鍵詞 歐氏空間 規(guī)范正交基 正交補

中圖分類號：TN911文獻標識碼：A

1基本定義與命題

內(nèi)積空間是高等代數(shù)里最優(yōu)美的理論之一，它把幾何、代數(shù)、分析熔于一爐。大部分高等代數(shù)教材只處理了內(nèi)積空間理論的有限維部分，但對于這一相對較為簡單部分的理解，不僅對于完成高等代數(shù)的學習是必要的，而且也為將來學習更深入的內(nèi)積空間理論打下堅實的基礎。

有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性定理，在歐氏空間理論中具有基本的重要性。因此，施密特正交化方法也是重要的方法。但有的高等代數(shù)教材介紹施密特正交化方法時，處理的方法不夠自然，使得學生在理解和掌握施密特正交化方法時存在一定的困難。本文使用歐氏空間的正交分解，對有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性給出了一個較為自然的證明，從而使得初學者較好掌握施密特正交化方法。

本文只討論有限維歐氏空間。

2基本定義與命題

定義1：歐氏空間兩兩正交的非零向量的向量組稱為正交組.僅由一個非零向量組成的向量組也說是正交的。

若正交組中的每個向量都是單位向量，則該正交組稱為規(guī)范正交組。

歐氏空間的由正交組構(gòu)成的基稱為的正交基。由規(guī)范正交組構(gòu)成的基稱為的規(guī)范正交基。

性質(zhì)2：設是歐氏空間的規(guī)范正交基，則

定理3（正交分解）：設是歐氏空間的有限維子空間，則。

3正交分解的一個應用

定理4：設是歐氏空間的線性無關的向量，則可從出發(fā)作出正交組，且，

教材介紹該定理的證明時，都是直接使用施密特正交化方法給出新的向量組，并驗證滿足要求，并沒有解釋為什么此方法從何而來，使得學生在理解和掌握施密特正交化方法時存在一定的困難。我們從歐氏空間的正交分解定理出發(fā)，給出了如下較為自然和簡潔的證明，從而使得初學者較好地理解和掌握施密特正交化方法。

定理4的證明 （歸納法）當時，因為只含一個非零向量的向量組也是正交組，令即可。

假設當時，結(jié)論成立，即從可從出發(fā)作出正交組

當時，令則由定理3知， 令其中。則是正交組。這時，由性質(zhì)2有

注意到，從而有

因此，

容易驗證 證畢。

設是歐氏空間的基，則可從出發(fā)作出正交組，再正交化。從而說明歐氏空間存在規(guī)范正交基。

基金項目：本文得到大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目（201910602068）的支持。

參考文獻

[1] 易中.高等代數(shù)與解析幾何（下冊）[M].北京：清華出版社，2007.

[2] 張賢科，許甫華.高等代數(shù)學[M].北京：清華出版社，2004.