沈葉華

科學家們一直在猜想，在無邊無涯的宇宙，說不定存在另一個與地球一樣的行星，居住著與人類一樣的高等動物。說不定他們也渴望認識萬里之遙的我們?？墒侵v什么語言才能彼此溝通呢？總不會他們都懂中文或英文吧。美國科幻小說《接觸》中有一處情節(jié)，地球人接收到一串信號：“59、61、67、71……”這些數(shù)全是質數(shù)，循環(huán)往復，原來是外星人在向地球人打招呼：“你們好！”

無獨有偶。1974年11月16日，美國宇航局通過設在波多黎各的阿雷西博射電望遠鏡，向宇宙中的球狀星團M13發(fā)射無線電信息，期盼M13里生活著外星人，能收到地球人的問候。此信息是一幀圖案，介紹我們這個藍色星球上的人物及風光，如地球人的形態(tài)、地球人的DNA、地球總人口、太陽系等。

但怎樣才能確保外星人準確閱讀該信息呢？經科學家們精心設計，此信息共有1679個數(shù)字。1679是兩個質數(shù)的乘積：1679=73×23，不可再分解。也就是說，只有當1679分解成這兩個質數(shù)時，才能拼出一個長方形。只有把它們排成73橫行、23豎列時，才呈現(xiàn)此圖案。如果分解錯了或排列錯了，出現(xiàn)的將是一堆亂碼，無法解讀。也就是說，我們發(fā)給外星人的信息只有唯一一種解讀方式（信息的內容用二進制編碼）。

那么，M13里的外星人聽到我們的呼喚了嗎？還早著呢。地球距離M13約25 000光年，此時此刻，這則無線電信息還在跑去M13的路上呢！

球狀星團M13

這就奇怪了，在科幻小說里，在現(xiàn)時的太空科學中，質數(shù)都被選為“星際語言”，這是為什么呢？第一，數(shù)學是一種客觀規(guī)律，無論何時、何地、對于任何人，它亙古不變。把它用作交流的語言，大家都懂;第二，質數(shù)既是數(shù)學里的基礎元素，又是數(shù)學語言里的a、b、c。

我們有必要簡單回顧一下，什么是質數(shù)？在大于1的自然數(shù)中，除了1和該數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如2、3、5、7（7÷1=7、7÷7=1、7÷2=3 、7÷3=? ）稱作質數(shù);反之，可以被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如4、6、8、9（4÷2=2、9÷3=3）稱作合數(shù)。

合數(shù)可以被整除，除數(shù)最終必定是質數(shù)，如6÷3=2，8÷2÷2=2;反過來看，合數(shù)皆是質數(shù)的乘積。下表僅以2-30為例：它們如非質數(shù)，即為質數(shù)的乘積（合數(shù)），大于1的自然數(shù)都是這樣。1既非質數(shù)，也非合數(shù)，下文再談。

合數(shù)是兩個以上的質數(shù)的乘積，而且對于每個合數(shù)，其相乘的質數(shù)不可替換，比如2×2×3=12，只有兩個2、一個3相乘才能得到12，多一個少一個都不行，換了其他質數(shù)也不行——質數(shù)個個都是“金不換”。

1既非質數(shù)也非合數(shù)。因為1對乘積不起作用：1×2×2×3=12，1×1×2×2×3=12，有它沒它都一樣，所以1不夠格成為質數(shù)。

有了質數(shù)、合數(shù)，才能組成正整數(shù)，然后才有分數(shù)、負數(shù)……數(shù)字不斷擴大，數(shù)學內容隨之豐富?？纯?，質數(shù)像不像建筑的沙石？有了沙石，才有房屋;有了質數(shù)，才有數(shù)學。

公元前3世紀，古希臘人就注意到質數(shù)的重要性，并開始研究。他們的研究成果在數(shù)千年后的今天仍為我們使用，經久不衰。數(shù)學家歐幾里得是第一位證明了質數(shù)有無窮多個的人。他的證明被譽為“簡潔、漂亮”的典范：論證只有簡單幾步，結論卻無懈可擊。

歐幾里得分析：數(shù)個質數(shù)相乘再加1，得數(shù)必不能被其中的質數(shù)整除，比如“E=2×3+1”，E不能被2或3整除，必有余數(shù)1;又比如“E=2×3×5+1”，E不能被2、3或5整除，必有余數(shù)1。接著，歐幾里得假設質數(shù)的個數(shù)有限：從2、3、5……到P為止，再沒有質數(shù)了，并寫下：

E=2×3×5×…×P+1

E等于所有質數(shù)相乘再加1。現(xiàn)在，E是大于1的自然數(shù)：它要么是質數(shù)，要么是合數(shù)。但E不能被從2、3、5……到P中任何一個質數(shù)整除，E有兩種可能：

（一）E是一個大于P的新質數(shù)，E只能被1和自身整除;

（二）E是一個合數(shù)，它能被大于P的質數(shù)整除。

無論假設多大的質數(shù)P，歐幾里得的算式E=2×3×5×…×P+1總能得出它不是最后一個質數(shù)，還有比P更大的質數(shù)。由此反證了：質數(shù)的個數(shù)無窮多，寫不盡。已知的最大質數(shù)：282 589 933-1=14889444574204132554……37951210325217902591，共有24 862 048位。如果中間不省略，這個已知的最大質數(shù)要寫多長？可足足寫滿9000頁紙，約九套《紅樓夢》那樣厚。當然，還有無窮多個比它更大的質數(shù)。

無窮多個質數(shù)與合數(shù)拼成了正整數(shù)，那怎么把質數(shù)分辨出來呢？與歐幾里得同時期的另一位古希臘人埃拉托斯特尼想出了“篩法”：篩掉合數(shù)，留下質數(shù)——稱作“埃拉托斯特尼篩法”。以100之內的自然數(shù)為例：首先將1拿走，剩下的非質數(shù)即合數(shù)。第一個2是質數(shù)，留下。把2的倍數(shù)（4、6、8……98、100）全刪去（見表1），因為2的倍數(shù)當然可以被2整除——它們皆為合數(shù)。

回到開頭?，F(xiàn)在輪到3，3是質數(shù)，留下。把3的倍數(shù)（9、15、21……93、99）全刪去（見表2）。

現(xiàn)在輪到4，4是合數(shù)已刪去，接下來5是質數(shù)，留下。把5的倍數(shù)（25、35……85、95）全刪去（見表3）。

輪到7（6已刪去），7是質數(shù)留下。把7的倍數(shù)（49、77、91）全刪去（見表4）。

至此，現(xiàn)在留下的就全是質數(shù)了。100以內的質數(shù)共25個（見表5）。

埃拉托斯特尼篩法非常好用。你想找出n以內的質數(shù)嗎？只需把以內的質數(shù)的倍數(shù)篩掉，留下的便是。比如=10，10以內的質數(shù)就4個：2、3、5、7，把它們的倍數(shù)篩掉就行。500以內的質數(shù)呢？≈22.3606，22以內的質數(shù)有8個：2、3、5、7、11、13、17、19，把它們的倍數(shù)篩掉，留下的便是500以內的質數(shù)了。只是當n越來越大時，要篩掉的合數(shù)越來越多，埃拉托斯特尼篩法就變得笨拙，不好使了。

從古希臘至今，人類鍥而不舍地研究質數(shù)2000多年了，可惜遠未能透徹了解它。人類甚至仍搞不懂它最基本的情況，比如質數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律。我們來橫向比較一下：奇數(shù)（2k+1）、偶數(shù)（2k;k為整數(shù)）在數(shù)軸上一前一后，互相穿插，一目了然;平方數(shù)（n2）我們能毫厘不差地算出其分布：1（12）、4（22）、9（32）、16（42）……但質數(shù)在數(shù)軸上看似毫無組織性，愛蹦出來就蹦了出來，讓人捉摸不透。

人類也弄不明白在一定范圍內質數(shù)的準確個數(shù)。奇、偶數(shù)在一定范圍內，其個數(shù)各占一半（100以內的正整數(shù)中50個是奇數(shù)，50個是偶數(shù)）;正整數(shù)的平方數(shù)的個數(shù)，可以用開平方算出（=10，即100以內有10個正整數(shù)的平方數(shù)）;但100以內有多少個質數(shù)，人們只得用最原始的辦法：一個個去數(shù)。

質數(shù)的無規(guī)律可循，無公式可代入計算，把人類的探索遠遠擋在門外。

這就是數(shù)學大廈的沙石——質數(shù)，表面看似簡單，小學生都懂，內里乾坤卻很大，艱深晦澀，難倒世界頂尖數(shù)學大師。因此，有關質數(shù)的哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想、黎曼猜想成為數(shù)學中的頭等難題——多少數(shù)學家窮盡畢生精力參與接力賽，卻依然未能到達終點。人類何時才能破解質數(shù)之謎？當代偉大的數(shù)學家保羅·愛多士說：“至少還需1000年?！?/p>

親愛的讀者們，你們這下明白了吧？本文開頭的那張圖——1974年美國宇航局向球狀星團M13發(fā)射無線電信息里——這封給外星人的信，看似簡單，實際飽含了多少科學智慧啊！

（編輯 文 墨）