張記坤 曾云 王芳芳 楊光波 張振凱 錢晶

摘要：基于Matlab仿真軟件，考慮彈性水擊對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的影響，建立彈性水擊水輪機微分代數(shù)模型，并與調(diào)速器和發(fā)電機共同構(gòu)成水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性模型。在此基礎(chǔ)上運用非線性動力學(xué)分叉理論對PID調(diào)速器參數(shù)進行Hopf分叉行為研究，得出PID參數(shù)三維分叉曲面、二維分叉曲線及穩(wěn)定域，并通過對時域圖、相軌跡圖等的綜合分析，得到取不同調(diào)速器參數(shù)時系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性，為機組PID參數(shù)選擇提供理論依據(jù)。最后通過系統(tǒng)仿真得出，在小擾動下線性模型和非線性模型均能適用，在大擾動下非線性模型能更真實地反映機組動態(tài)特性。

關(guān)鍵詞：彈性水擊;非線性模型;Hopf分叉;分叉曲面;動力學(xué)特性

DOI：10.11907/rjd k.191317

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2019）012-0102-06

0引言

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是由壓力引水系統(tǒng)、調(diào)速器、水輪機、發(fā)電機以及所在電網(wǎng)組成的包含水、機、電的復(fù)雜綜合閉環(huán)控制系統(tǒng)，其中調(diào)節(jié)對象為復(fù)雜的非線性、非最小相位系統(tǒng)，且在不同工況下，各環(huán)節(jié)慣性常數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)均有所不同。傳統(tǒng)對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的分析多是采用剛性水擊假設(shè)條件下的水輪機線性模型，而忽略了管道彈性作用及系統(tǒng)的非線性屬性，對于小波動擾動暫可用來分析其動態(tài)調(diào)節(jié)過程，但隨著機組壓力引水系統(tǒng)越來越復(fù)雜，管道的彈性水擊效應(yīng)不能被忽視，同時由于調(diào)節(jié)對象的非線性特性，運用剛性水擊線性模型研究機組調(diào)節(jié)動態(tài)不利于系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行方案的實施以及控制規(guī)律的優(yōu)化設(shè)計?；诖?，本文在文獻[8]給出的管道彈性水擊數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，將該模型轉(zhuǎn)化為非線性微分方程形式，而水輪機出力采用IEEE提出的非線性模型代數(shù)方程，二者共同構(gòu)成水輪機的微分代數(shù)系統(tǒng)模型，并結(jié)合發(fā)電機一階模型與PID調(diào)速器一起組成水力發(fā)電機組的非線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)。

針對非線性問題的研究，常用方法有微分幾何理論、分叉理論、混沌理論、模糊理論等。其中Hopf分叉理論是非線性動力學(xué)中一種分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的重要方法，是一種局部的動態(tài)分叉理論，具體是指隨著分叉參數(shù)的變化，系統(tǒng)在平衡點處突然分叉出極限環(huán)的現(xiàn)象，被廣泛應(yīng)用于各類復(fù)雜的非線性動力學(xué)問題研究中。本文運用Hopf分岔理論對構(gòu)建的非線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型在頻率擾動和負荷擾動兩種工況下進行分叉分析，得出PID參數(shù)在空間中的分叉臨界曲面、二維分叉曲線及系統(tǒng)穩(wěn)定域范圍，并深入研究了當調(diào)速器參數(shù)變化時系統(tǒng)的動態(tài)特性，為調(diào)速器參數(shù)選擇提供理論參考。

1水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性模型

單機單管、無調(diào)壓井水輪機系統(tǒng)非線性模型如圖1所示。其中，y為導(dǎo)葉開度相對值;q為水輪機流量相對值;qn1為水輪機空載流量相對值;qo為水輪機初始工況流量相對值;h為水輪機水頭相對值;hq為水輪機暫態(tài)水頭相對值;f為水頭損失系數(shù);At為水輪機增益，一般為常數(shù);pm為水輪機出力相對值;D為水力阻尼因子。

管道動態(tài)是指水輪機流量變化引起的水輪機水頭變化。對照圖1可知，水力系統(tǒng)傳遞函數(shù)是從流量變化q到水輪機暫態(tài)水頭△hq的變化，根據(jù)文獻[8]提出的彈性水擊傳遞函數(shù)模型，并依據(jù)文獻[23]中對于n取高階時的對比研究，彈性水擊時n取1已能滿足研究要求，故n=1時彈性水擊傳遞函數(shù)為：

該模型綜合了水機電過程中各因素的相互作用，且模型物理意義清晰、適用范圍廣，在一定程度上反映了機組的非線性特性。

2Hopf分叉直接代數(shù)判據(jù)

在該曲面上任取一點，kp=1.5，Ki=1.083，kd=0-3，仿真結(jié)果如圖4所示。由圖可知機組此時處于周期等幅振蕩狀態(tài)，振蕩周期約為14.3s，相軌跡圖出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)。所以在參數(shù)選擇不恰當時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)持續(xù)的等幅振蕩，使機組難以穩(wěn)定。

在分叉曲面或曲線上下方區(qū)域各取數(shù)點進行動態(tài)仿真，得出機組的轉(zhuǎn)速偏差時域圖、導(dǎo)葉開度偏差時域圖、流量變化時域圖以及相軌跡圖，深人探究機組在該區(qū)域的穩(wěn)定特性?，F(xiàn)取曲面上方任意一點，kp=1.5，Ki=1.15，kd=03，各參數(shù)變化如圖5所示。

同時，在分叉曲面上方再任取一點，kp=1.5，Ki=1.25，Ka=0.3，各參數(shù)變化如圖6所示。

由圖5、圖6可知，在分叉曲面或Kd=0.3分叉曲線上方取點，機組各參數(shù)均處于發(fā)散狀態(tài)，所以曲面或曲線上方區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域。由各參數(shù)偏差幅度來看，距分叉曲面或曲線越遠的點，機組不穩(wěn)定程度越大。

由圖7、圖8可知，在分叉曲面或Kd=0.3分叉曲線下方區(qū)域，機組各參數(shù)均處于收斂狀態(tài)，所以曲面或曲線下方區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域，且距分叉曲面或曲線越遠，機組穩(wěn)定速度越快，所以調(diào)速器參數(shù)應(yīng)在遠離曲面的區(qū)域進行選擇。同時由圖3可知，隨著微分增益的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定域范圍逐漸擴大，表明PID調(diào)速器的微分環(huán)節(jié)有利于保持非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與微分環(huán)節(jié)的作用相符。

擾動值△mg=1，r=0。由此可計算出非線性系統(tǒng)的平衡點為（088，0，0，0，0.88，0.88/K，），將平衡點代人公式可計算出該系統(tǒng)在平衡點處的Jacobi矩陣及其特征多項式，進而代入Hopf分叉判據(jù)，可得在機組由空載到額定負荷過程中PID參數(shù)三維分叉曲面以及二維分叉曲線，如圖9、圖10所示。

同理，在該曲面上任取一點，Kp=1.5，ki=1.1418，kd=0.3，機組轉(zhuǎn)速變化時域如圖11所示。由仿真曲線可知，此時機組處于等幅振蕩狀態(tài)，振蕩周期約為14.3s，與頻率擾動下機組振蕩周期基本一致。

同時，在該分叉曲面上方任取一點，kp=1.5，Ki=13，kd=0.3，仿真結(jié)果如圖12所示。此時機組轉(zhuǎn)速變化與水輪機流量變化隨時間推移作周期增幅振蕩，此時機組處于不穩(wěn)定狀態(tài)，所以分叉曲面上方為不穩(wěn)定區(qū)域。

同時，在分叉曲面下方任取一點進行仿真分析，kp=1.5，ki=0.8，Kd=0.3，如圖13所示。由圖可知，此時機組轉(zhuǎn)速和流量變化逐漸趨于穩(wěn)定。由于管道較短，摩擦損失小，故水輪機水頭穩(wěn)定后變化不大，水輪機出力由空載時的0增加至額定負荷，此時機組處于穩(wěn)定狀態(tài)。

3.3頻率擾動與負荷擾動分叉圖對比

頻率擾動和負荷擾動是機組在運行過程中最常見的兩種工況，也是機組進行穩(wěn)定性試驗不可或缺的兩種試驗方式，所以在機組進行頻率和負荷調(diào)節(jié)時，調(diào)速器參數(shù)選擇是否合理對于機組穩(wěn)定性有著十分重要的影響。故將機組進行頻率擾動及負荷擾動下的調(diào)速器參數(shù)分叉曲面與分叉曲線進行對比分析，如圖14所示。

由圖14可知，在頻率和負荷兩種擾動條件下，調(diào)速器參數(shù)所構(gòu)成的分叉曲面形狀相似，分叉曲線變化一致，且下方區(qū)域均為穩(wěn)定域。但在頻率和負荷擾動下的穩(wěn)定域范圍略有差異，在負荷擾動下的穩(wěn)定域范圍略大。理論上而言，為保證兩種擾動下機組均處于穩(wěn)定狀態(tài)，在調(diào)速器參數(shù)選擇時應(yīng)盡量在頻率擾動下的分叉曲面或曲線下方區(qū)域進行選擇，才能在頻率和負荷擾動下均獲得較好的控制效果。

3.4模型對比

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)分為線性模型和非線性模型，理論上而言，當機組受到小擾動時，線性模型基本能滿足仿真要求;當機組受到大擾動時，線性模型已不能滿足仿真對精度的要求，需要建立非線性模型。所以為了探索兩種模型在不同擾動下的動態(tài)特性，分別對減10%、20%、50%負荷擾動下的機組過渡過程進行仿真，機組轉(zhuǎn)速偏差響應(yīng)曲線如圖15所示。由圖可知：在減10%以及20%負荷小擾動工況時，兩種模型的過渡過程基本一致，說明非線性模型也適用于機組的小擾動工況;在減50%負荷大擾動暫態(tài)過程中，線性模型過渡過程的振蕩次數(shù)不變，穩(wěn)定時間也基本一致，這與實際情況有所出人。非線性模型中機組過渡過程的振蕩次數(shù)發(fā)生了變化，穩(wěn)定時間也不同，這是調(diào)速器在受到大擾動時的快速動作導(dǎo)致的，與實際情況吻合。所以在大擾動過渡過程中，非線性模型更能真實反映機組動態(tài)特性。

4結(jié)語

本文基于Matlab仿真軟件建立彈性水擊傳遞函數(shù)，并建立水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性微分代數(shù)模型。以PID調(diào)速器參數(shù)作為分叉參數(shù)，運用分叉理論討論了混流式水輪發(fā)電機組在頻率擾動和負荷擾動兩種工況下機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的Hopf分叉現(xiàn)象，得出PID參數(shù)三維分叉曲面、二維分叉曲線及穩(wěn)定域，為機組PID參數(shù)選擇提供了理論參考。同時分析了在頻率和負荷擾動下所構(gòu)成分叉曲面的穩(wěn)定域范圍，得出在選擇調(diào)速器參數(shù)時，應(yīng)盡量在頻率擾動下的分叉曲面下方區(qū)域進行選擇，才能在頻率和負荷擾動下都獲得較好的控制效果，但具體參數(shù)選擇仍要結(jié)合機組實際情況綜合考慮。最后仿真了在兩種模型下，機組受不同負荷擾動時機組轉(zhuǎn)速變化情況，得出在小擾動工況下兩種模型均適用，在大擾動工況下非線性模型更能反映機組實際情況。