馬愛平（摘編）

制作分角器

馬愛平（摘編）

在一次數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們研究利用角尺平分一個角，進而設(shè)計出分角器（如圖1）.他們設(shè)計了兩種方案.

方案1：∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

圖1

方案2：∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

那么，這兩種方案是否都可行？

方案是否可行，關(guān)鍵是看能否應(yīng)用全等三角形的判定方法得到OP是∠AOB的平分線.

方案1不可行，因為缺少說明三角形全等的條件.在方案1中，根據(jù)已有條件PM=PN和OC= OC，結(jié)合“HL”定理可知，只要繼續(xù)移動角尺使PM⊥OA，PN⊥OB，此方案就可行了.

方案2可行，由OM=ON，PM=PN，OP=OP，有△OPM≌△OPN，從而∠AOP=∠BOP，即OP是∠AOB的平分線.方案2給出了作角平分線的簡捷方法.

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用尺規(guī)作角平分線，自然會聯(lián)想到用尺規(guī)作三等分角的問題.你可能認為，這個問題就像用尺規(guī)作角平分線一樣，十分簡單，其實不然，它是世界著名的難題.

三等分角問題是二千四百年前，古希臘人提出的幾何三大作圖問題（問題1：化圓為方——求作一個正方形使其面積等于一個已知圓的面積；問題2：三等分任意一個角；問題3：倍立方——求作一個立方體使其體積是一個已知立方體體積的二倍）之一，即用圓規(guī)與直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）把一個任意角三等分.問題的難處在于作圖工具的限制.這個問題曾吸引著許多人去研究，但無一成功.1837年凡齊爾（1814－1848）運用代數(shù)方法證明了這是一個尺規(guī)作圖的不可能問題.

人們還發(fā)現(xiàn)，只要去掉“尺規(guī)作圖”的限制，三等分角并不是一個很難的問題.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287－公元前212）發(fā)現(xiàn)只要在直尺上固定一點，便可得到三等分角的分角器：

圖2

如圖2，在直尺邊緣上添加一點P，設(shè)直尺的一個端點為O，所要三等分的角是∠ACB，以C為圓心，OP為半徑作半圓，交角的兩邊于點A、B，使O點在CA的反向延長線上移動，P點在圓周上移動，當(dāng)尺通過點B時，連接OPB，由于OP=PC= CB，所以

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)）