杭 靜

證明三角形全等的基本思路

杭 靜

對(duì)于兩個(gè)三角形，如何證明它們?nèi)饶?？一般?lái)講，要找兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素容易，比較困難的是找第三對(duì)對(duì)應(yīng)元素.對(duì)照判定方法，我們可以把已知的前兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素的所有情況列舉出來(lái)：已知兩個(gè)角、已知一邊一角、已知兩邊.然后再來(lái)思考如何尋找第三對(duì)對(duì)應(yīng)元素，這樣可以得到下表：

應(yīng)用的判定方法A S A或A A S A S A或A A S A S A或A A S S A S S S S S A S已知前兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素的情況角、角角、邊角與其對(duì)邊角與其鄰邊邊、邊尋找的第三對(duì)對(duì)應(yīng)元素邊另一個(gè)角另一個(gè)角另一條鄰邊第三邊兩邊的夾角

有了這份表格，探索三角形全等就有章可循了.

一、直接用判定定理尋找滿足全等的條件

例1（2017·江蘇常州）如圖1，已知四邊形ABCD，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.求證：AC=CD.

圖1

【分析】要證AC＝CD，只要證AC、CD所在的△ABC和△DEC全等.而在這兩個(gè)三角形中，已知BC＝CE，∠BAC=∠D，所以只要再證明∠BCA＝∠ECD即可.由題設(shè)∠BCE=∠ACD=90°，即可得到這個(gè)結(jié)論.

【證明】∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠BCA＝∠ECD.在△ABC和△DEC中，∵∠BAC=∠D，∠BCA＝∠ECD，BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD.

二、先構(gòu)造三角形，再尋找滿足全等的條件

例2（2017·重慶A卷）在△ABC中，∠ABM= 45°，AM⊥BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC.如圖2，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD= MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC=AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).求證：∠BDF=∠CEF.

圖2

【分析】要證∠BDF=∠CEF，這兩個(gè)角所在的△CEF和△BDF顯然不全等，為此，需要構(gòu)造全等三角形.注意到點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，可證得△BMD≌△AMC，得到AC=BD，再證△BFG≌△CFE，可得BG=CE，∠G=∠E，從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.

【證明】延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，連接BG.由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD.又CE=AC，因此BD=CE.由BF=FC，∠BFG=∠EFC，F(xiàn)G=FE，可得△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，∴BD=BG=CE，∴∠BDG=∠G=∠E.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué)）