☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 吳 娟

2018年高考過后，數(shù)學(xué)風(fēng)云，創(chuàng)新無限，名題如云，美不勝收.特別是2018年高考全國Ⅲ卷理科第20題，其背景簡單，立意新穎，思想豐富，知識(shí)融合，動(dòng)靜結(jié)合，實(shí)屬難得，是命題中的一大精品，具有非常好的學(xué)習(xí)、觀摩和研究的價(jià)值.

一、試題呈現(xiàn)

【高考真題】（2018·全國Ⅲ卷理·20）已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m＞0）.

（Ⅱ）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

本題涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的方程與斜率、平面向量的線性關(guān)系、等差數(shù)列的定義與基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，融合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，涉及了圓錐曲線、平面向量與數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的能力，以及分析問題和運(yùn)算求解的能力等.

二、多維破解

（Ⅰ）解法1：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），則

由題設(shè)知M（1，m）（m＞0）在橢圓的內(nèi)部，故可得，解得

解法2：設(shè)直線l的方程為y=kx+t，

則由Δ=64k2t2-4（4k2+3）（4t2-12）＞0，可得4k2+3＞t2.

兩橢圓方程對(duì)應(yīng)相減，整理可得3x+4my=3+4m2，此即為直線AB的方程，故

由題設(shè)可知M（1，m）（m＞0）在橢圓內(nèi)部，故可得，解得

解法4：設(shè)直線l的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角，代入橢圓C的方程，整理可得（3cos2α+4sin2α）t2+（6cosα+8msinα）t+4m2-9=0.

設(shè)t1，t2分別是A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，而線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m＞0），可得

由題設(shè)可知M（1，m）（m＞0）在橢圓內(nèi)部，故可得，解得

（Ⅱ）解法1：由題意可得F（1，0），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x3，y3），則

由（Ⅰ）及題設(shè)可得x3=3-（x1+x2）=1，y3=-（y1+y2）=-2m＜0.

又點(diǎn)P在橢圓C上，所以，故P點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)該數(shù)列的公差為d，則

所以直線l的方程為，將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立并整理可得

解法2：由，可得

而M（1，m），F(xiàn)（1，0），可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2m）.

而點(diǎn)P在橢圓C上，則有，又m＞0，解得m=，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)該數(shù)列的公差為d，則

解法3：由題意得F（1，0），設(shè)

又M為AB的中點(diǎn)，易得，則

以下解答同解法2.

通過從多個(gè)不同的角度來處理此問題，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)了知識(shí)的交匯與綜合，進(jìn)而達(dá)到了提升能力、拓展應(yīng)用的目的.通過一題多解的實(shí)踐，沒有停留在原有的解出題目的基礎(chǔ)上，而是培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性，進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”