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(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

感應(yīng)耦合式電能傳輸(inductively coupled power transmission,ICPT)系統(tǒng)利用交變磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)電能的無(wú)線傳輸，其主要由交變電源、電磁耦合線圈、諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)三部分構(gòu)成。和傳統(tǒng)的有線充電方式相比，ICPT系統(tǒng)采用非接觸方式實(shí)現(xiàn)電能的無(wú)線傳輸并具備安全、便捷、可靠、低維修成本等優(yōu)勢(shì)。隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)ICPT系統(tǒng)中諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、磁耦合線圈、系統(tǒng)控制策略和輻射安全等方面的理論研究不斷深入，該系統(tǒng)在電動(dòng)汽車、智能家居、器官移植等設(shè)備的充電系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用[1]。

ICPT系統(tǒng)為高階非線性系統(tǒng)，所以系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)等不確定因素都會(huì)對(duì)該系統(tǒng)的魯棒性產(chǎn)生不可避免的影響。為提高ICPT系統(tǒng)在不確定因素影響下的魯棒性，ICPT系統(tǒng)需通過(guò)一定的控制方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制。例如，比例、積分、微分(proportion,integral and differential,PID)控制具有良好的信號(hào)跟蹤能力，然而在高階非線性系統(tǒng)中PID的控制參數(shù)很難確定，其控制結(jié)果不是很理想[2]。李硯玲等人采用μ控制方法提高π型ICPT系統(tǒng)對(duì)諧振頻率攝動(dòng)的魯棒性[3]，然而通過(guò)該方法設(shè)計(jì)的控制器階數(shù)較高，因此無(wú)法得到實(shí)際應(yīng)用。H∞優(yōu)化控制方法通過(guò)跟蹤外部擾動(dòng)信號(hào)、不確定因素和實(shí)際系統(tǒng)與近似模型的誤差來(lái)提高系統(tǒng)的魯棒性，然而利用該方法分析閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒性較為保守。為避免系統(tǒng)魯棒性的分析結(jié)果過(guò)于保守，本文采用μ理論對(duì)系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行分析。

ICPT系統(tǒng)中原邊和副邊線圈之間的空氣間隙較大，故采用諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)來(lái)提高系統(tǒng)能量傳輸?shù)男省ＶC振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)主要有串/串聯(lián)(series series,SS)、串/并聯(lián)(series parallel,SP)、并/并聯(lián)(parallel parallel ,PP)、并/串聯(lián)(parallel series ,PS)四種形式[4]。其中，SS型諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的原邊和副邊的諧振補(bǔ)償電容均與電磁耦合線圈串聯(lián)；SP型諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的原邊諧振補(bǔ)償電容與電磁耦合線圈串聯(lián)，而副邊諧振補(bǔ)償電容與電磁耦合線圈并聯(lián)；PP型諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的原邊和副邊諧振補(bǔ)償電容均與電磁耦合線圈并聯(lián)；PS型諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的原邊諧振補(bǔ)償電容與電磁耦合線圈并聯(lián)，而副邊諧振補(bǔ)償電容與電磁耦合線圈串聯(lián)。

本文選用SP型諧振拓?fù)渥鳛镮CPT系統(tǒng)的諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)并利用廣義狀態(tài)空間平均(generalized state space averaging,GSSA)方程將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)為線性系統(tǒng)，采用線性分式變換(linear fractional transformation,LFT)方法將ICPT系統(tǒng)中的標(biāo)稱和不確定因素分離并建立結(jié)構(gòu)化不確定性模型。在結(jié)構(gòu)化不確定性模型的基礎(chǔ)上利用H∞優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)魯棒控制器，仿真并分析ICPT閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒性。

1 ICPT系統(tǒng)的電路拓?fù)?/h2>

圖1為SP型ICPT系統(tǒng)的電路拓?fù)?，由圖可知交變電源主要由直流電源Edc和全橋逆變電路構(gòu)成，該電源產(chǎn)生的交變信號(hào)通過(guò)電磁耦合線圈產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，從而將原邊產(chǎn)生的電能通過(guò)耦合線圈傳輸?shù)礁边?。原邊與副邊電磁耦合線圈的電感量分別為L(zhǎng)p和Ls，由于兩者存在一定的空氣間隙，互感M偏小使得電能傳輸過(guò)程中會(huì)有大量的能量損耗，因此系統(tǒng)原邊和副邊均采用諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)來(lái)減少ICPT系統(tǒng)的無(wú)功功率，從而提高系統(tǒng)的能量傳輸效率，原邊諧振補(bǔ)償電容和副邊諧振補(bǔ)償電容的電容量分別為Cp和Cs。副邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)輸出的電壓通過(guò)全橋整流電路、LC濾波電路給負(fù)載供電，該系統(tǒng)的負(fù)載可等效為電阻Rd。

圖1 SP型ICPT系統(tǒng)的電路拓?fù)?/p>

為實(shí)現(xiàn)ICPT系統(tǒng)原邊與副邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的相互獨(dú)立，可對(duì)該系統(tǒng)原邊與副邊耦合電路進(jìn)行解耦。其中副邊到原邊的反射阻抗Zr見(jiàn)公式(1)，公式中Zs為副邊電路阻抗，ω為系統(tǒng)工作頻率。由全橋整流電路、濾波電路和系統(tǒng)負(fù)載構(gòu)成的整體可等效為電阻Rl，該電阻的阻值見(jiàn)公式(2)。

(1)

(2)

根據(jù)上述理論得到的系統(tǒng)解耦等效電路如圖2所示。交變電源uac可等效為隨時(shí)間周期性變化的方波信號(hào)。原邊解耦等效電路中Rr和Lr構(gòu)成反射阻抗Zr。副邊等效電路通過(guò) Thevinin定理實(shí)現(xiàn)電路拓?fù)涞霓D(zhuǎn)換，副邊解耦補(bǔ)償電路的電感Ls和電容Cs構(gòu)成并聯(lián)諧振補(bǔ)償電路。

ICPT系統(tǒng)中諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的諧振頻率對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的工作狀態(tài)產(chǎn)生重要影響，只有當(dāng)該系統(tǒng)的諧振頻率與交變電源產(chǎn)生的交變頻率基本一致時(shí)，系統(tǒng)處于最佳工作狀態(tài)。此時(shí)ICPT系統(tǒng)的工作頻率即為系統(tǒng)諧振頻率ω0，故其原邊和副邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的諧振頻率見(jiàn)公式(3)。

(3)

當(dāng)該系統(tǒng)處于諧振工作狀態(tài)時(shí)，原邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)可視為短路，副邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)可視為斷路，副邊補(bǔ)償電容Cs兩端的電壓us的表達(dá)式見(jiàn)公式(4)。

(4)

2 ICPT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化不確定性模型的建立

2.1 廣義狀態(tài)空間平均方程

ICPT系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的等效電路如圖3所示。圖中EdcSi(t)為交變電源產(chǎn)生的方波信號(hào)，其中Si(t)的初相角記為0，其表達(dá)式如公式(5)所示。方波信號(hào)的交變頻率與全橋逆變電路中MOS管的開關(guān)頻率相同，其對(duì)應(yīng)的角頻率記為ω；原邊電磁耦合線圈的電感Lp和原邊諧振補(bǔ)償電容Ls串聯(lián)構(gòu)成原邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，副邊電磁耦合線圈的電感Ls和副邊諧振補(bǔ)償電容Cs并聯(lián)構(gòu)成副邊諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)；電壓受控源jωMis和jωMip共同構(gòu)成電磁耦合線圈的互感等效模型；電流受控源idSr(t)和電壓受控源udSr(t)共同構(gòu)成全橋整流電路等效模型，其中Sr(t)的表達(dá)式見(jiàn)公式(6)。

(5)

(6)

將ICPT系統(tǒng)中流經(jīng)電感的電流和電容兩端的電壓作為狀態(tài)變量，得到的狀態(tài)空間方程如公式(7)的方程組所示。因?yàn)榉匠讨写嬖赟i(t)和Sr(t)這兩個(gè)線性時(shí)變量，故需建立ICPT系統(tǒng)的GSSA方程[5]來(lái)使其線性化。

(7)

為建立GSSA方程，首先需對(duì)系統(tǒng)中的狀態(tài)變量和線性時(shí)變量進(jìn)行傅里葉變換。當(dāng)系統(tǒng)處于諧振工作狀態(tài)時(shí)，流經(jīng)原副邊諧振網(wǎng)絡(luò)的交變信號(hào)可視為正弦波，因此狀態(tài)變量的基波分量和一次諧波可近似為直流和交流分量，其中交流分量可通過(guò)實(shí)部和虛部來(lái)體現(xiàn)。該模型的狀態(tài)變量x見(jiàn)公式(8)。

x=[Re1lm1Re1

lm1Re1lm1

Re1lm100]

(8)

由第一小節(jié)的公式(4)可知us和uac的初相角均為0，故這兩個(gè)線性時(shí)變量經(jīng)傅里葉變換后得到的一次傅里葉系數(shù)相同，即:

(9)

根據(jù)傅里葉變換的相關(guān)性質(zhì)和公式(7)建立ICPT系統(tǒng)的GSSA方程，其對(duì)應(yīng)的表達(dá)形式如公式(10)的方程組所示。其中該系統(tǒng)的輸入量u為直流電源Edc，輸出量y為負(fù)載電阻Rd的兩端電壓ud，廣義矩陣A、B、C、D構(gòu)成系統(tǒng)的廣義傳遞矩陣G為線性常數(shù)矩陣[6]，故GSSA方程將該非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)為線性系統(tǒng)。

(10)

2.2 結(jié)構(gòu)化不確定性模型建立

ICPT系統(tǒng)會(huì)受到系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)等不確定因素的影響，考慮到該系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確確定，故利用線性分式變換(LFT)的方法將系統(tǒng)的不確定因素從標(biāo)稱因素分離出來(lái)，建立ICPT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)化不確定性模型[7]，其結(jié)構(gòu)化不確定性模型方程為：

Γ(Δ,M)=M22+M12(I-M11Δ-1)M21

(11)

其中:分塊矩陣M11、M12、M21、M22構(gòu)成ICPT系統(tǒng)的標(biāo)稱矩陣M，該矩陣為系統(tǒng)標(biāo)稱因素的集合，Δ為不確定因素構(gòu)成的系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣。

取負(fù)載電阻Rd的阻值變化作為ICPT系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)，其攝動(dòng)形式為：

Rd=Rdnom(1+pφ)

(12)

式中,Rdnom為負(fù)載電阻Rd的恒定值；p為負(fù)載電阻Rd的變化范圍，在本文中p值取1；φ為負(fù)載電阻Rd的攝動(dòng)量，其變化范圍在-1和1之間。

由公式(7)可知負(fù)載電阻Rd的倒數(shù)為系統(tǒng)的狀態(tài)空間系數(shù)，因此根據(jù)公式(11)對(duì)Rd的倒數(shù)進(jìn)行LFT變換，其表達(dá)形式為：

(13)

將上述Rd攝動(dòng)情況下的理論分析應(yīng)用在ICPT系統(tǒng)中便得到該系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)影響下的上LFT的結(jié)構(gòu)化不確定模型，該模型如圖4所示。由圖可知，當(dāng)ICPT系統(tǒng)存在參數(shù)攝動(dòng)這一不確定因素時(shí)，在原系統(tǒng)的輸入信號(hào)w和輸出信號(hào)z的基礎(chǔ)上新增了y和u作為擾動(dòng)輸入和輸出信號(hào)。

圖4 ICPT系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化不確定性模型

圖中Δ為系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣，該擾動(dòng)系統(tǒng)中Δ為Rd的攝動(dòng)量φ并以對(duì)角矩陣的形式存在?？紤]到Δ的具體形式未知，故需對(duì)ICPT系統(tǒng)標(biāo)稱因素構(gòu)成的廣義標(biāo)稱傳遞矩陣GSP建立如公式(14)所示的GSSA方程，其下標(biāo)SP表示ICPT系統(tǒng)采用SP型諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)。

(14)

根據(jù)分塊矩陣的特性可將GSP分成：

(15)

將公式(15)代入公式(11)便得到該擾動(dòng)系統(tǒng)的參考模型，即：

Γ(Δ,GSP)=GSP-22+GSP-12(I-GSP-11Δ-1)GSP-21

(16)

通過(guò)上述的理論分析得到的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 ICPT系統(tǒng)電氣參數(shù)

3 魯棒控制器設(shè)計(jì)

外部擾動(dòng)對(duì)ICPT系統(tǒng)的影響不容忽視，故對(duì)ICPT系統(tǒng)引入系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)等不確定因素并進(jìn)行閉環(huán)控制[8]，其設(shè)計(jì)框圖如圖5所示。由圖可知，PSP為擾動(dòng)系統(tǒng)的廣義標(biāo)稱對(duì)象，其結(jié)果可根據(jù)第二小節(jié)的GSP理論分析計(jì)算得出；Δ是系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣，其大小可以通過(guò)矩陣范數(shù)來(lái)衡量；ref為系統(tǒng)的參考量，其與實(shí)際輸出量的偏差通過(guò)控制器K進(jìn)行控制來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定輸出。

圖5 ICPT閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)框圖

d為系統(tǒng)的外部擾動(dòng)且其具體形式未知，若僅用常數(shù)來(lái)表示擾動(dòng)引起輸出信號(hào)的不確定性，則系統(tǒng)全頻帶不確定性的幅值變化相同，這樣擴(kuò)大了系統(tǒng)的擾動(dòng)范圍從而無(wú)法得到高性能的控制效果。因此ICPT系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)控制時(shí)，需要采用加權(quán)函數(shù)[9]Wp和Wu對(duì)擾動(dòng)輸出信號(hào)的范圍進(jìn)行限定，得到：

(17a)

(17b)

由于系統(tǒng)在不確定因素的作用下，在PSP變化的同時(shí)，也對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)TSP造成影響，故將PSP的變化量對(duì)TSP的影響程度視為系統(tǒng)敏感度[6]S，其定義為：

(18)

由于敏感度和加權(quán)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差信號(hào)跟蹤及干擾抑制等指標(biāo)具有重要影響，而這些指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制性能的評(píng)估起到?jīng)Q定性作用，故由此可得到系統(tǒng)標(biāo)稱穩(wěn)定和性能指標(biāo)判定條件為：

(19)

考慮到系統(tǒng)不確定因素的大小是由攝動(dòng)矩陣的無(wú)窮范數(shù)來(lái)衡量的，因此本文采用H∞優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器，用該方法設(shè)計(jì)的控制器不僅滿足如公式(19)所示的判定條件，還需保證ICPT系統(tǒng)中外部干擾輸入d到評(píng)估輸出e_p、e_u的傳遞矩陣無(wú)窮范數(shù)小于給定值γ。控制器K的設(shè)計(jì)流程如圖6所示。

圖6 ICPT系統(tǒng)的閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)流程圖

4 仿真結(jié)果

4.1 ICPT系統(tǒng)的魯棒分析

為驗(yàn)證閉環(huán)控制器的控制性能，需對(duì)ICPT閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行分析。為方便實(shí)際系統(tǒng)的魯棒性分析，可將圖6所示的閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖簡(jiǎn)化為系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣Δ和標(biāo)稱閉環(huán)傳遞矩陣Gclp兩部分并構(gòu)成ICPT閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化不確定性模型，故該系統(tǒng)魯棒性的判定條件見(jiàn)公式(19)。根據(jù)系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣Δ不確定因素的不同，可通過(guò)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能[6]兩方面來(lái)綜合衡量系統(tǒng)的魯棒性。為避免結(jié)果的保守性和不必要性，采用μ理論計(jì)算Gclp的結(jié)構(gòu)奇異值大小作為該系統(tǒng)魯棒性的判定依據(jù)并記為μΔ(Gclp)[10]。

(20)

當(dāng)系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣Δ只有系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)引起的不確定因素時(shí)，得到的μΔ(Gclp)大小可作為系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的衡量標(biāo)準(zhǔn)。圖7為閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，其中的虛線和實(shí)線分別代表μ值隨頻率變化的上限和下限變化趨勢(shì)。

圖7 ICPT閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性

由圖可知，當(dāng)角頻帶在102～105rad/s范圍內(nèi)，因系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)的作用下μ值在10-3～1之間呈現(xiàn)不規(guī)則變化趨勢(shì)。在該范圍內(nèi)μ的最大值為0.91，即系統(tǒng)自身攝動(dòng)矩陣的無(wú)窮范數(shù)滿足小于1/0.91這一條件時(shí)，μ值小于0.91。由第二小節(jié)可知系統(tǒng)自身攝動(dòng)矩陣的無(wú)窮范數(shù)小于1，故ICPT系統(tǒng)中表征系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的μ值均小于1，證明控制器K能夠保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

ICPT系統(tǒng)的魯棒性能可通過(guò)系統(tǒng)擾動(dòng)對(duì)象集合的干擾抑制、誤差信號(hào)跟蹤等方面來(lái)體現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣Δ在系統(tǒng)自身不確定因素的基礎(chǔ)上加入性能不確定因素構(gòu)成增廣攝動(dòng)矩陣時(shí)，得到的μΔ(Gclp)大小可作為系統(tǒng)魯棒性能的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

圖8表征閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能，其中的虛線和實(shí)線分別代表表征魯棒性能的上限和下限變化趨勢(shì)。由圖可知，當(dāng)角頻帶在102～104rad/s范圍內(nèi)，因系統(tǒng)自身攝動(dòng)的作用下μ值呈現(xiàn)不規(guī)則變化趨勢(shì)，而當(dāng)角頻帶在104～105rad/s范圍內(nèi)μ值為恒定值，由此說(shuō)明在加權(quán)函數(shù)和控制器的共同作用下，可抑制外部擾動(dòng)d對(duì)系統(tǒng)的干擾。在102～105rad/s角頻帶范圍內(nèi)，μ的最大值為0.92，即系統(tǒng)增廣攝動(dòng)矩陣的無(wú)窮范數(shù)小于1/0.92這一條件時(shí)μ值小于0.92，故該系統(tǒng)有效地實(shí)現(xiàn)誤差信號(hào)的跟蹤，并達(dá)到魯棒性能的要求。

圖8 ICPT閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能

4.2 ICPT系統(tǒng)的暫態(tài)分析

為更好地驗(yàn)證控制器K對(duì)系統(tǒng)魯棒性的影響，本文仿真得到該系統(tǒng)在不確定因素影響下的暫態(tài)響應(yīng)并進(jìn)行分析。圖9為ICPT系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)暫態(tài)響應(yīng)。從圖中可以看出系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的響應(yīng)時(shí)間為0.03 s且輸出電壓的超調(diào)量變大。加入控制器K后，輸出電壓的響應(yīng)時(shí)間縮短為0.01 s左右且沒(méi)有超調(diào)量，同時(shí)當(dāng)負(fù)載電壓達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的電壓紋波減小，由此可見(jiàn)控制器K實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定輸出。

圖9 ICPT開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)圖

5 結(jié)論

本文通過(guò)H∞優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)的魯棒控制器并建立ICPT閉環(huán)控制系統(tǒng)。首先采用GSSA方程將基于SP諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的ICPT系統(tǒng)線性化，然后通過(guò)LFT方法將ICPT系統(tǒng)中不確定因素從標(biāo)稱因素中分離并建立該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化不確定性模型?？紤]到系統(tǒng)不確定因素的大小可通過(guò)系統(tǒng)攝動(dòng)矩陣的無(wú)窮范數(shù)來(lái)衡量，故采用H∞優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)ICPT的魯棒控制器，該控制器可消除系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)對(duì)ICPT系統(tǒng)的影響，與此同時(shí)，在該控制器基礎(chǔ)上建立的ICPT閉環(huán)控制系統(tǒng)即使在不確定因素的影響下也能保證標(biāo)稱閉環(huán)傳遞矩陣的結(jié)構(gòu)奇異值小于1，具有很好的魯棒性能?；贖∞魯棒控制的ICPT閉環(huán)控制系統(tǒng)可廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車、智能家居等設(shè)備的電源充電領(lǐng)域，在提高電能傳輸效率的同時(shí)，也能提高系統(tǒng)輸出的電能質(zhì)量。