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(湖南工業(yè)大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412000)

0 引言

介質(zhì)損耗角是反應絕緣材料損耗狀況的重要特征參數(shù)[1-2]。通過對介質(zhì)損耗角的檢測，并進行數(shù)據(jù)分析可以實現(xiàn)故障的診斷。如何在復雜工況下提高損耗角檢測的可靠性是學者們研究的重點內(nèi)容。

現(xiàn)有損耗角的檢測方法中，有的基于硬件實現(xiàn)[3-4]如：過零點相位監(jiān)測、相位法等，誤差較大且易累積，增加了硬件實現(xiàn)的復雜程度。有的基于軟件實現(xiàn)[5-7]如：諧波分析法，相關分析法，高階正弦擬合方法等，軟件實現(xiàn)降低了硬件成本，數(shù)據(jù)處理的實時性和可靠性較高。諧波分析法數(shù)字化實現(xiàn)簡單，并且三角函數(shù)的正交性具有一定的抗干擾能力，因此被廣泛應用。但是采用諧波分析法時由于電源信號頻率的波動以及環(huán)境中的大量諧波干擾，頻譜泄露和柵欄效應是影響測量誤差的重要因素[8]。即使在硬件電路設計時加入鎖相環(huán)也無法實現(xiàn)嚴格的信號同步采樣。文獻[9-10]提出了幾種提出了幾種減少柵欄效應和頻譜泄漏的新算法，如加窗插值算法，傳統(tǒng)相位差較正算法等。一些經(jīng)典的窗函數(shù)如：hanning窗、Blackman-Harris窗、Nuttall窗等被應用，為追求更優(yōu)良的窗函數(shù)性能，又提出了卷積窗[11]來抑制頻譜泄露。在考慮諧波和噪聲的干擾，插值算法和相位差校正算法中相位失真較為嚴重。同時插值算法在求解過程中需要進行多項式的擬合，計算量大對處理的實時性有一定的影響。

本文通過比較不同窗函數(shù)的性能，選擇旁瓣較小，且無負值，衰減較快的三角窗進行卷積來抑制頻譜泄露。同時對全相位數(shù)據(jù)預處理方法進行研究，提出可以應用到實際工程的相位校正算法，且計算量較小。通過仿真結(jié)果表明，本文采用的算法測量誤差較低，具有較高的可靠性。

1 介質(zhì)損耗角在線檢測原理

絕緣材料長時間工作在復雜的工況下，由于電導和極化的滯后作用會使內(nèi)部介質(zhì)損耗，引起絕緣溫度的上升導致絕緣材料燒焦，從而失去絕緣性能。通過檢測介損角因素來反應絕緣材料損耗情況。

對于電容型絕緣材料來說，可以將其等效為電容和線性電阻的并聯(lián)組成，結(jié)構如圖1所示。

圖1 絕緣材料失效機制

理想的絕緣材料，按照電容效應，電流超前電壓90度。設等效電路功率因素角為φ，則介損角可表示為δ=90°-φ。一般情況下Ic遠大于Ir，因此介損角很小，一般為0.001～0.02 rad，不容易被檢測。根據(jù)電流模型可得：

tanδ=tan(90°-φ)=tan(90-(φi-φu))

(1)

式中，φi為泄露電流初始相位角；φu為絕緣材料兩端電壓初始相位角。

介質(zhì)損耗角在線檢測設備安裝于被測絕緣材料處，在交流電源的作用下，利用傳感器實時同步采集通過絕緣材料的泄露電流和兩端電壓數(shù)據(jù)，對檢測信號進行調(diào)理后送入處理器計算等效電路中電壓和電流的初始相位角，帶入式(1)即可計算介質(zhì)損耗角。在線檢測原理如圖2所示。但是被檢測絕緣設備在運行時信號的檢測會受到各種干擾，初始相位角的計算往往存在較大的誤差。因此需要對相位角高精度計算方法進行研究。

圖2 介損角在線監(jiān)測實現(xiàn)原理圖

2 三角自卷積窗(TSCW)

2.1 三角窗函數(shù)及頻譜

窗長為N的三角窗離散時域函數(shù)可以表示為：

(2)

為了便于三角窗FFT的數(shù)字化實現(xiàn)，通常選?。?/p>

N=2i(i=1,2,3,4…)。設采樣周期為Ts，則三角窗的頻譜函數(shù)為：

(3)

式中,w=2π/Ts。三角窗的主瓣寬度為8π/N，旁瓣峰值電平-27 db，旁瓣衰減率12 db，相對于其他經(jīng)典窗函數(shù),實現(xiàn)簡單，同時頻譜無負瓣，有較高的旁瓣衰減率，因此本文選擇三角窗作為卷積窗的母窗。

2.2 TSCW頻譜分析

根據(jù)卷積窗的定義：TSCW在時域可以看做是窗寬為N的P個三角窗的做P-1次時域卷積，可表達成下式：

(4)

由卷積的性質(zhì)，TSCW的頻譜函數(shù)為三角窗在頻域的乘積，因此TSCW的頻譜函數(shù)為：

(5)

TSCW的窗寬為PM-P+1，對序列補充P+1個0可以得到寬度為PM的窗口。對連續(xù)的IDFT頻譜進行離散化，頻率間隔即分辨率為w=2kπ/M(k=0，1...M-1)，M=PN為卷積窗寬。因此可以將式(5)改寫為:

(6)

從(6)式可以看出，使得|w(k)|=0充要條件是：

(7)

當k=2pd時，滿足|w(k)|=0。對于頻譜圖最靠近原點右側(cè)的零點為處k=2p，與零點的頻譜距離為4pπ/M，因此長度為N的三角窗進行P階卷積后的頻譜函數(shù)主瓣寬度為：

(8)

從式(8)可以看出，TSCW的主瓣寬度與母窗長度成反比關系。根據(jù)M=PN，當TSCW的寬度固定時，卷積的階數(shù)和母窗長度成反比。因此對于寬度為M的TSCW，隨著卷積階數(shù)的增加，主瓣越寬。

選擇窗長度為N=128的三角窗為母窗進行卷積與N=128經(jīng)典窗函數(shù)進行頻譜特性對比分析。圖3給出了1～4階TSCW的傅里葉變換幅頻曲線，同時標注了各響應的旁瓣峰值電平?？梢钥闯鲭S著卷積階數(shù)的增加，卷積窗的峰值旁瓣電平和旁瓣滾轉(zhuǎn)率等旁瓣性能迅速加強。表1給出了一些經(jīng)典窗與不同階數(shù)的TSCW的頻譜特征值。這意味著選擇合適的卷積階數(shù)的TSCW對采集信號進行截斷，可以有效的抑制頻譜泄露，提高相位角的計算可靠性。

圖3 一階至四階三角卷積窗頻譜圖

窗函數(shù)主瓣寬度旁瓣峰值(db)旁瓣衰減率(db)hanning8π/N-3118hamming8π/N-436blackman12π/N-5918三角窗8π/N-27122rd-TSCW16π/N-52243rd-TSCW24π/N-79364rd-TSCW32π/N-10448

綜合以上分析，TSCW具有較好的旁瓣峰值電平和衰減率，可以有效地抑制頻譜泄漏，但是隨著卷積階數(shù)的增加處理器對數(shù)據(jù)的計算量也增加，本文選擇二階TSCW來進行介損角的測量。

3 全相位相位角檢測

3.1 全相位(apFFT)介紹

apFFT數(shù)據(jù)預處理[12]對采樣的2N-1個數(shù)據(jù)，通過加窗(單窗，雙窗，無窗)，然后應用疊加運算進行FFT運算。利用了傅里葉變換的線性時不變性，較大的提高了頻譜和相位譜分析的準確度。全相位數(shù)據(jù)預處理過程如圖4所示。

圖中，w(n)為前窗f和翻轉(zhuǎn)后窗b的卷積，其長度均為N，表達式為：

w(n)=f(n)*b(-n)

(9)

當f(n)=b(n)=Rn(矩形窗)時，稱為無窗全相位；當f(n)與b(n)中任意一個不是Rn時，稱為單窗全相位；當f(n)=b(n)≠Rn時，稱為雙窗全相位。

3.2 性能分析

輸入信號為給定單一頻率的復指數(shù)序列：

x(n)=Aejwn+φ

(10)

式中,w為信號頻率，A為信號幅值，φ為信號相位角。

傳統(tǒng)的傅里葉變換，由于信號頻率的波動，以及采樣時對信號的截斷，使得分析存在著嚴重的頻譜泄露和柵欄效應，這會對相位角的計算造成較大的誤差。

對式(10)進行傅里葉變換時，設采樣頻率固定，當信號中頻率出現(xiàn)波動時，采樣頻率非信號頻率的整數(shù)倍，會出現(xiàn)非同步采樣。頻譜圖如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)FFT頻譜

從圖4可以看出，當信號頻率出波動時，頻譜分析相對于同步采樣出現(xiàn)較豐富的旁瓣，頻譜泄露嚴重，峰值譜線不能很好的集中有用信號。信號的幅值、頻率和相位角都會出現(xiàn)較大的誤差。同時對信號進行DFT運算有：

(11)

從式(11)得到傳統(tǒng)DFT相位誤差值式(12)，可以看出，相位角的誤差也隨頻率變化相關。

(12)

apFFT數(shù)據(jù)預處理過程如下：

1)用窗f對截斷數(shù)據(jù)xi進行加窗；

2)加窗后的xi進行周期延拓；

3)用后窗b對向量相同位置加權疊加求和；

4)最后得到的向量進行FFT運算；

對式(10)信號分別進行apFFT頻譜響應Y(k)與傳統(tǒng)的傅里葉變換頻譜響應X(k)分析，它們之間加窗后存在一定的關系如式(13)所示。

Y(k)=|X(k)|2ejφ=|W(kΔw-w*)|2ejφ

(13)

式中,W(w)為所加窗函數(shù)的頻譜函數(shù)?？梢钥闯?，加窗后的apFFT的幅值為傳統(tǒng)傅里葉變換幅值的平方，使得apFFT主譜線幅值更加集中，旁瓣的幅值譜線也按照平方的速度衰減，所以apFFT可以很的抑制頻譜泄露，同時相位角不會受到影響，提高了介質(zhì)損耗角檢測中相位角計算的可靠性。

假設給定信號s同時包含多種信號頻率和初始相位值，信號頻率非整數(shù)容易出現(xiàn)非同步采樣，s=10*cos(10.2*2*pi*t/256+pi/10)+2*cos(20.8*2*pi*t/256+pi/3)+2*cos(30.1*2*pi*t/256+pi/3)+2*cos(40.5*2*pi*t/256+pi)(-N+1

圖5 傳統(tǒng)加窗與apFFT分析對比圖

通過仿真，看到傳統(tǒng)加窗FFT旁瓣較為多，而apFFT的旁瓣明顯減弱很多，主要集中在峰值譜線兩側(cè)相鄰的譜線中，這對式(13)也是一個很好的驗證。因此apFFT對于抑制頻譜泄露有著更好的效果。但是由于柵欄效應的存在，apFFT的頻率點和信號實際的頻率存在較小的誤差，同時apFFT中，信號頻率點處所對應的相位譜的相位值與信號中心樣點的實際相位值保持一致，即‘相位不變性’。

相對于傳統(tǒng)FFT算法復乘N2及N(N-1)的運算量，apFFT的運算量僅在此基礎上增加了N次累加運算，增加較少的運算量卻可以得到較大的性能改善。

3.3 相位譜校正方法改進

apFFT頻譜分析具有抑制頻譜泄露、‘相位不變性’的特點，但是在理論推導過程中數(shù)據(jù)的截斷是取以x(0)為中心前后2N-1個數(shù)據(jù)進行分析，所得到的相位值為信號在x(0)處的相位值。在實際的工程應用中，無法對x(0)前的數(shù)據(jù)截取，因此只能取x(0)的后2N-1個數(shù)據(jù)。這時采樣中心點發(fā)生變化，因此apFFT計算得到的相位角不是初始相位角，需要對結(jié)果進行校正。

針對上述問題，取前2N-1個數(shù)據(jù)進行全相位數(shù)據(jù)預處理，此時通過FFT得到的相位譜為頻率點處的相位值為第N個數(shù)據(jù)的相位值φ1；然后將數(shù)據(jù)進行延時L后進行全相位預處理后得到的相位位第N+L個點的相位值φ2。

(14)

由于φ1，φ2的取值范圍均為[-π,π]。如果以φ1為標準，與數(shù)據(jù)延時L后得到的φ2的值較大時Δφ=[-2π,2π]，就會出現(xiàn)‘相位模糊’，一值多解。因此本文中取L=1，當頻率不是很大時可以保證Δφ=[-π,π]。同時由于時移在相位譜中有附加相移2kLπ/N，相位差理論值與實際值之間存在如下關系：

Δφ*=Δφ+2kLπ/N

(15)

當采樣數(shù)據(jù)N值很大時為了計算簡便，附加相移可以忽略不計。利用相位差很容易推導出信號初始相位的估算方法：

w0=Δφ

(16)

θ0=θ1-NΔφ

(17)

上式即為最后的相位校正公式。相關校正流程可以用圖6表示。

圖7 相位角流程圖

4 仿真研究

為了驗證本文所提算法的有效性，選擇文獻[10]所提的傳統(tǒng)相位差校正算法及文獻[11]加窗插值算法進行對比。在仿真電路中模擬絕緣材料等效電路參數(shù)，設置電阻值R=22.67 kΩ，電感為591.2 nF，采樣頻率為2.5 kHz，電源頻率為50 Hz,介損角的理論值0.004 129。仿真中考慮更多的實際因素對測量結(jié)果的影響，如:信號頻率波動、諧波干擾、噪聲的干擾等。

4.1 信號頻率波動測量結(jié)果的影響的分析

選擇N=256，構建二階TSCW。電壓信號的頻率波動范圍為48.2～50.2，分別得到三種不同檢測方法的相對誤差值如表2。

表2 信號頻率波動引起的介損角相對誤差

通過分析可以看出，在頻率波動的情況下，傳統(tǒng)的相位差法與加窗插值算法計算得到的介損角值誤差相差不是很大，本文通過提出的加TSCW窗的apFFT相位校正算法法，介損角的檢測可以達到10-12精度值，采集較小的數(shù)據(jù)長度進行較少的運算量，可有有效的克服基波頻率波動對檢測結(jié)果的影響。

4.2 諧波干擾對測量結(jié)果的影響

在非同步采樣時，由于頻譜的泄露，諧波的注入會對計算結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。取電源基波信號頻率為f=49.8，在電源信號中加入不同比例的三次諧波，幅值分別為2%～8%，并且與文獻[10]方法進行對比。進行仿真分析后得到表3。

表3 諧波簡諧波引起的介損角相對誤差

由以上可以得到加TSCW窗的apFFT可以有效的克服諧波對測量結(jié)果的影響。在諧波干擾下，測量結(jié)果穩(wěn)定并且精度較高。

4.3 加入白噪聲對測量結(jié)果的影響

加入不同程度的噪聲干擾，對比不同算法的檢測誤差，通過仿真得到圖8的結(jié)果。三種方法中當信噪比大于30 dB時，本文算法可以達到較高的精度；但當信噪比低于30 dB，三種方法相對誤差相差不是很多。

-N≤n≤N-1

圖8 加干擾后相對誤差曲線

綜上所示，與傳統(tǒng)方法相位差校正算法及加窗插值算法，appFFT在頻率波動、諧波干擾、噪聲干擾的情況下能有有效的抑制頻譜泄露和柵欄效應，可以保證介質(zhì)損耗角較高的測量精度。

5 結(jié)論

本文討論了一種新的介質(zhì)損耗角在線檢測的數(shù)字算法，所提出的方法中將卷積窗的優(yōu)良特性結(jié)合全相位數(shù)據(jù)處理算法應用于介質(zhì)損耗角的檢測，并改進相位角校正算法。仿真研究表明，相對于傳統(tǒng)的相位差算法及加窗插值算法，該算法在較小的數(shù)據(jù)處理量下，可以較好的保證測量的精度，提高絕緣性能檢測的可靠性。