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        圓錐曲線中離心率問(wèn)題的解題策略

        2019-01-28 09:21:36廣西省貴港市桂平市第三中學(xué)何漢蓮
        衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年23期
        關(guān)鍵詞:漸近線雙曲線橢圓

        廣西省貴港市桂平市第三中學(xué) 何漢蓮

        橢圓和雙曲線的離心率是反映橢圓的扁平程度和雙曲線開(kāi)放程度,求解圓錐曲線離心率是高考的熱點(diǎn)。在求解有關(guān)離心率的問(wèn)題時(shí),一般很少是直接求出和的值,而是根據(jù)題設(shè)結(jié)合橢圓或雙曲線的幾何特征,建立關(guān)于含有的方程或不等式,通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或范圍,下面談?wù)劤S玫膸追N方法。

        題型一 直接計(jì)算法

        解析: 如圖,設(shè)|AF|=x,

        點(diǎn)評(píng):應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)求橢圓的離心率的技巧與方法

        1.技巧:與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使畫(huà)不出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形.

        2.方法:通過(guò)已知條件列方程組,解出a,c的值,從而求解e.

        3.注意數(shù)形結(jié)合思想在求離心率中的應(yīng)用.

        題型二 利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的值或取值范圍

        例2 已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-y=0,則該雙曲線的離心率為_(kāi)__.

        點(diǎn)評(píng):解決有關(guān)漸近線與離心率關(guān)系問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)

        討論.

        (2)求離心率的范圍一般是根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,通過(guò)解不等式得或的范圍,再求得離心率的范圍.

        若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求雙曲線C的離心率e的取值范圍.

        分析:將l與C的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù),得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長(zhǎng);由l與C相交,知0>Δ,從而求出a的范圍,可得離心率的范圍.

        點(diǎn)評(píng):知直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),用代數(shù)方法,通過(guò)判別式求解,方法簡(jiǎn)單、思路清晰.

        題型三 利用圓錐曲線的定義求離心率

        例5 已知F1,F(xiàn)2雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦.如果,求雙曲線的離心率.知

        點(diǎn)評(píng):求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法:依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解,另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程,求出后利用求離心率.

        題型四 綜合數(shù)列與a,b,c的關(guān)系求離心率

        例6 若橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列,求該橢圓的離心率.

        即3a2-2ac-5c2=0,∴

        點(diǎn)評(píng):求e的值或范圍問(wèn)題就是尋求它們的方程,若a,c的值不可求,可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助于,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程,再將方程兩邊同除以的a最高次冪,得到關(guān)于e的方程,即可求得e的值.

        題型五 利用幾何性質(zhì)求離心率

        點(diǎn)評(píng):本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬中檔題.

        總之求圓錐曲線的離心率的常用方法有兩大類,一是求得a,c的值,直接代入公式求得;二是列出關(guān)于a,b,c的齊次方程(或不等式),然后根據(jù),消去b,轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解。另外,解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí),要注意利用各個(gè)圓錐曲線離心率的取值范圍進(jìn)行根的取舍,否則會(huì)產(chǎn)生增根。

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