丁美玲，劉丙友，王力超

（安徽工程大學 電氣工程學院，安徽 蕪湖 241000）

球桿系統是常用的研究現代控制理論和傳統控制理論的非線性系統平臺，也是驗證控制策略和控制性能好壞的實驗平臺，它的非線性對于實際環(huán)境中的非線性分析具有重要意義。因此，關于球桿系統中小球的位置控制研究受到了廣泛關注，PID控制、根軌跡控制和頻率響應等方法經常用于球桿系統的研究。劉陽等［1］通過對球桿系統的建模和設計，把非線性球桿系統做了線性化處理。J.Sharma等［2］通過定量反饋理論（QFT）對球桿系統進行控制和跟蹤。 Jo N.H.等［3］將非線性系統的狀態(tài)觀測器應用于球桿系統，提高了球桿系統的控制性能。 宋志偉等［4］、N.B.Hui等［5］和朱堅民等［6］分別用傳統的PID控制、模糊PID控制和神經網絡控制等控制策略研究了球桿系統。

自20世紀80年代以來，自抗擾控制已得到很大的發(fā)展，并在工業(yè)領域得到廣泛的應用。陳增強等［7］介紹了自抗擾控制的基本思想、基本原理及其研究進展，指出了進一步研究的方向。王麗君等［8］把自抗擾控制器應用在永磁同步電機中，解決了永磁同步電機調速系統存在的超調與快速之間的矛盾。周凱等［9］把自抗擾控制器用于熱連軋活套系統，消除了擾動對系統的影響。Zhang N.等［10］把自抗擾控制器用于無人機防撞系統，解決了傳感器噪聲、未知障礙加速度和風擾動下無人機避免碰撞問題。劉丙友等［11］將一種改進的自抗擾控制方法用于永磁同步電機轉子位置角的控制，為轉子的位置角控制系統設計了改進型擴張狀態(tài)觀測器和非線性誤差反饋律，使得永磁同步電機的位置角控制得到了進一步優(yōu)化。在本文中，我們運用拉格朗日運動學方程建立了球桿系統的數學模型，給出一種新型的非線性函數，基于該函數設計了一種控制球桿系統位置的改進型自抗擾控制器，設計了基于改進型自抗擾控制的球桿系統位置控制系統，并對該系統進行了仿真實驗，驗證了改進型ADRC控制器的抗干擾性和快速性。

1 球桿系統建模

球桿系統是一種典型的具有單輸入輸出的非線性系統，其結構簡單緊湊、安全性較高、工作原理表達直觀。球桿系統作為一個控制對象，已被廣泛用于控制策略的研究。球桿系統雖然結構形式多樣，但是原理基本相同。球桿系統的機械部分包括底座、橫桿、小球、支撐部分、減速皮帶輪和馬達等，其結構如圖1所示。

圖1 球桿系統的原理圖

從圖1可以看出，小球在橫桿上來回滾動，橫桿的左端通過轉軸固定，右端連接支撐桿可以繞固定點上下轉動。球桿系統的基本控制思想是：通過直流伺服電機的轉動帶動皮帶輪轉動，再通過傳動機構控制橫桿傾斜角，以實現通過直流伺服電機轉動位置角達到控制小球位置的目的?？刂撇糠钟捎嬎銠C、增量式編碼器、線性電阻傳感器等組成。線性電阻傳感器檢測和反饋小球的實際位置，并和預期的目標位置進行比較，得到位置誤差，然后經過控制器的精確控制，確定電動機的轉角。直流伺服電機轉動，帶動減速皮帶輪轉動，改變連線（連桿和皮帶輪的連接點與齒輪中心的連線）和水平線的夾角 θ ，進而改變橫桿與水平線的夾角 α ，使小球達到預期的目標位置。

為了建立球桿系統的數學模型，作以下假設：1）小球在橫桿上滾動時忽略小球與橫桿之間的摩擦力；2）忽略電動機的力學特性，將電機模型看成一個純比例增益k；3）忽略電機動力學和小球動力學的耦合作用；4）當 α 很小時，取利用拉格朗日運動學方程，建立球桿系統的數學模型

即

小球位置的模型結構如圖2所示。

圖2 小球位置的模型結構

2 自抗擾控制器

改進型自抗擾控制器由四個部分組成，分別是：跟蹤微分器（tracking differentiator,TD）、擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer,ESO）、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律 （nonlinear state error feedback control low,NLSEF）和擾動補償裝置（disturbance compensation device,DCD）。

2.1 新型非線性函數設計

傳統的非線性函數在原點是不可導的，且存在高頻振顫現象，因此傳統的自抗擾控制器的抗干擾能力較差，而在本文中我們給出的非線性函數為

將式（5）代入式（4），求解可得

2.2 跟蹤微分器（TD）設計

跟蹤微分器不僅有跟蹤輸入信號、安排過渡過程的作用，還有微分和濾波的作用。跟蹤微分器用來實現對系統輸入信號的快速無超調跟蹤，并能對其給出良好的微分信號

2.3 ESO設計

擴張狀態(tài)觀測器（ESO）用來觀測內部狀態(tài)和估計系統的不可測狀態(tài)，實現模型和外部干擾的前饋補償。

連續(xù)非線性擴張狀態(tài)觀測器的形式為

其中，e為觀測誤差，b0為補償因子估計值，和α3為非線性因子，是ESO的增益。

2.4 NLSEF設計

NLSEF實現對跟蹤微分器和擴張狀態(tài)觀測器的非線性組合，與擴張狀態(tài)觀測器檢測綜合擾動共同作為被控對象的控制量，用來提供穩(wěn)定有效的輸出信號

2.5 DCD設計

擾動補償裝置（DCD）用來補償擾動，把系統轉換成積分串聯型的裝置。球桿系統的補償表達式為

2.6 球桿系統的改進型ADRC設計

把改進型ADRC應用于球桿系統的控制，相應的改進型自抗擾控制器的結構設計如圖3所示。

圖3 改進型ADRC的控制電路結構

3 仿真結果分析

為了驗證改進型ADRC的控制效果，將改進的ADRC控制策略與PID控制策略、傳統的ADRC控制策略進行比較，通過階躍響應、正弦響應、方波響應和階躍信號加入干擾的仿真結果進行比較，驗證改進型ADRC具有更好的魯棒性、抗干擾性、無超調和響應速度快的特性。在進行仿真實驗時，我們?yōu)閭鹘y的ADRC和改進型的ADRC設置了相同的參數，具體的參數見表1。

表1 ADRC的參數

仿真實驗的內容包括以下4個方面：

1）輸入的信號為階躍信號時，取信號為0.25 m，響應時間為5 s，可得如圖4所示的響應曲線。

2）輸入的信號為正弦信號時，取正弦周期為2 s，響應時間為10 s，波峰為0.3 m，波谷為0.1 m，可得如圖5所示的響應曲線。

3）輸入的信號為方波信號時，取周期為10 s的零正方波，正值為0.2 m，可得如圖6所示的響應曲線。

4）輸入的信號為方波信號時，取周期為10 s的零正方波，正值為0.2 m，同時加入強度為1 m的白噪聲干擾信號，可得如圖7所示的響應曲線。

從圖4看，改進型ADRC的調節(jié)時間為0.434 s，傳統的ADRC控制器的調節(jié)時間為0.849 s，PID的調節(jié)時間為2.265 s?？梢钥闯觯倪M型ADRC比傳統的ADRC的調節(jié)時間快大約1倍，比PID控制器的調節(jié)時間快了4.2倍，且ADRC控制器無超調。

分析圖5和圖6，可以得到相似的結論。

圖7是白噪聲干擾下的方波響應曲線。從圖7可以看出，PID控制器在有干擾的情況下波動較大，傳統的ADRC控制器同PID控制器相比波動有所改善，而改進型ADRC控制器在加入干擾后幾乎無波動。

以上分析結果表明：改進型ADRC控制器與PID控制器相比，具有更強的抗干擾能力、更快的調節(jié)速度，并解決PID的超調問題；改進型ADRC與傳統的ADRC相比，提高了響應速度和抗干擾的能力。

圖4 階躍響應曲線

圖5 正弦響應曲線

圖6 方波響應曲線

圖7 白噪聲干擾下的方波響應曲線

4 結論

球桿系統是開環(huán)上的非線性不穩(wěn)定系統，為了使小球能夠快速精準地到達指定位置，我們利用自抗擾控制器對小球的位置進行控制，并利用自抗擾控制技術解決了快速性和超調性之間的矛盾，保證了系統的抗干擾能力和魯棒性。為了驗證自抗擾控制策略的優(yōu)良特性，在同樣參數的條件下，我們通過仿真實驗證明了改進型ADRC的良好特性，證明了改進型ADRC控制策略比傳統的ADRC控制策略、PID控制策略具有更好的魯棒性、快速性和抗干擾性，驗證了改進型ADRC對球桿系統控制的可行性以及對非線性系統控制的可控性。