張媛媛，胡巧怡

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642)

本文研究以下Camassa-Holm (CH)系統(tǒng)的Cauchy問題：

(1)

其中，m=u-uxx,n=v-vxx,l=w-wxx。定義：

(2)

(3)

(4)

mt+2mux+umx=0(m=u-uxx,x∈R,t∈R+)

當(dāng)w≡0時，問題(1)成為了一個雙分支CH方程[19]

1 積分系統(tǒng)的形式推導(dǎo)

取α=u+v+w的流φ:R→R，即

(5)

假設(shè)方程(5)有唯一解，對其兩邊關(guān)于s求導(dǎo)，可解得φs(s,t)>0,(s,t)∈R×R+。令

(6)

現(xiàn)構(gòu)造拉格朗日坐標(biāo)系下的新向量場(Γ,M,N)：

(7)

(8)

根據(jù)式(4)-(8)，以及G′′*f=G*f-f(f∈L2)，可得

(9)

[-G*(H(Y)°ψ)-G′*(K(Y)°ψ)]·

(10)

[-G′*(H(Y)°ψ)-G*(K(Y)°ψ)+

F3(Y)(s,t)

(11)

(12)

另外，再次利用G′′*f=G*f-f(f∈L2)，易得以下結(jié)論

?sQ11(Y)=φS·Q21(Y),?sQ12(Y)=

φS·[Q22(Y)-K(Y)],

?sQ21(Y)=φS·[Q11(Y)-H(Y)],

?sQ22(Y)=φS·Q12(Y)

(13)

此結(jié)論將在后文中被多次運(yùn)用。

2 預(yù)備引理

由上述定義易知，對?φi-Id∈H1∩W1,∞(i=1,2),φi?L2∪L∞(i=1,2), 但φ1-φ2∈H1∪W1,∞。另外，由于ψx(x,t)=φs(ψ(x,t),t)-1，故

證明以下省去t。因?yàn)棣読°ψi=Id(i=1,2)，故

(ψ1-ψ2)(x)=

ψ2°φ2(ψ1(x))-ψ2°φ1(ψ1(x))≤

b-1φ2(ψ1(x))-φ1(ψ1(x))

證畢。

引理2 若φ∈C1(R+;L∞)，則ψt=-ψxφt∈L∞。

證明任取t0∈R+，對?(x,t)∈R×R+，利用φ°ψ=Id，可得

-ψx(φ(s,t0),t)φt(s,t0)

證畢。

3 積分系統(tǒng)解的存在唯一性

和

(i,j=1,2)

由式(8)中H，K的定義、引理1，易得

4 系統(tǒng)等價

yx(x,t)=N(ψ(x,t),t)

(14)

Mst=(-Q11-Q12+K)(Y)·φs，φst=As，

于是Jt≡0，又因?yàn)镴0=0，故J≡0。矛盾，式(14)得證。

下面證明以上構(gòu)造的解y∈X。由(y,yx)=(M°ψ,N°ψ)易得y(·,t)∈(H1∩W1,∞)3。

又因?yàn)?/p>

(t1,t2∈(0,T])

對右邊第一項(xiàng)做如下放縮，

y∈C((0,T];(H1∩W1,∞)3)

根據(jù)系統(tǒng)(4)，顯然有yt(·,t)∈(L2)3。利用系統(tǒng)(4)及Young不等式，有

借助h和k的定義，易得它們關(guān)于時間的連續(xù)性，又因?yàn)閥∈C((0,T];(H1∩L∞)3)，所以

y∈C1((0,T];(L2)3)

現(xiàn)在開始本命題第二部分的證明。由于y∈L∞((0,T];(W1,∞)3)，故α(·,t)=(u+v+w)(·,t)是R上的利普希茲連續(xù)函數(shù)，從而

(15)

在C1((0,T];W1,∞)上有唯一解，且解為一微分同胚。類似式(6)-(8)構(gòu)造A、Γ、M、N、Y、H和K，下面證Y滿足方程(12)。類似式(9) -(10)的推導(dǎo)，易得

則

由式(13)可得

Mst=?sF2(Y)=?s(-Q11-Q12)(Y)=

φs(-Q21-Q22+K)(Y)=φsF3(Y)+As·N

于是

證畢。

由命題1知，系統(tǒng)(12)有局部唯一解，故由命題2中系統(tǒng)(4)的Cauchy問題與系統(tǒng)(12)的等價性可推得，系統(tǒng)(4)有局部唯一解。

命題3 任給y0i∈(H1∩W1,∞)3(i=1,2), 存在Ti(i=1,2)，使得

yi∈C1((0,Ti];(L2)3)∩C((0,Ti];

(H1∩L∞)3)∩L∞((0,Ti];(W1,∞)3)(i=1,2)

滿足方程(4)，且

其中T=min{T1,T2}。