譚棟，汪利，呂中榮

(中山大學(xué)航空航天學(xué)院力學(xué)系，廣東 廣州510275)

結(jié)構(gòu)損傷檢測是保證結(jié)構(gòu)安全運(yùn)營的重要手段。隨著現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)損傷動力檢測技術(shù)也迅速發(fā)展起來。利用采集的振動信息對發(fā)生在結(jié)構(gòu)上的損傷進(jìn)行識別，在航空航天、機(jī)械工程等領(lǐng)域都有深入和廣泛地應(yīng)用[1]。而，結(jié)構(gòu)外載的識別是健康監(jiān)測中重要的一環(huán)[2]。例如：一個異常大的沖擊荷載作用在結(jié)構(gòu)上易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生損壞，故對于結(jié)構(gòu)所受的外力進(jìn)行實(shí)時檢測具有重要意義。

荷載的識別一般分為兩大種類。一方面是直接利用傳感器定位荷載的位置，并對其進(jìn)行重構(gòu)。Chio和Chang[3]用傳感器分布于結(jié)構(gòu)上定位荷載并確定了其大??；Gaul和Hurlebaus[4]運(yùn)用小波對板上的沖擊荷載位置進(jìn)行了識別，之后壓電式傳感器也被應(yīng)用于荷載識別[5-7]。另一方面，越來越多的理論方法被用于荷載參數(shù)識別中。Zhu和Law用模態(tài)疊加與參數(shù)修正對多跨連續(xù)橋上的移動荷載進(jìn)行了識別[8]；Gunawan等采用二次樣條插值逼近的方法估測了沖擊荷載[9]；Lu和Law采用基于加速度響應(yīng)的靈敏度方法對結(jié)構(gòu)的外激勵進(jìn)行了識別[10]。一些智能算法，如遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，被用于解決各種復(fù)雜的優(yōu)化問題[11-14]。通過結(jié)構(gòu)響應(yīng)建立目標(biāo)函數(shù)，參數(shù)識別問題可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題。BMO(bird mating optimizer)由Askarzadeh[15-17]提出，是一種模擬鳥類繁殖特性的新興群智能算法，具有設(shè)置簡單、計算精度高的特點(diǎn)。

本文將作用在梁結(jié)構(gòu)上的沖擊荷載簡化為三角沖擊荷載，通過有限元建模得到其動態(tài)響應(yīng)。引入合理的目標(biāo)函數(shù)并結(jié)合BMO算法，對沖擊荷載的位置、大小和作用時間等參數(shù)進(jìn)行識別?？紤]荷載識別中只有動態(tài)響應(yīng)能發(fā)揮作用，而加速度響應(yīng)具有易于測量、信息量大和噪聲污染少等特點(diǎn)，在本文中將被采用來進(jìn)行損傷識別。數(shù)值算例表明，在無噪聲和有噪聲的情況下，沖擊荷載的幾個參數(shù)均能精確識別。

1 基本理論

1.1 簡支梁中沖擊荷載模型

如圖1所示的簡支梁，長為L，寬為b，厚度為h，設(shè)笛卡爾坐標(biāo)系分別順序沿著xyz三個方向。其中，E與ρ分別為梁材料的楊氏模量與密度。

在本文的理論分析中，將對沖擊荷載進(jìn)行參數(shù)化從而展開識別。沖擊荷載有峰值極高、作用時間極短的特點(diǎn)。設(shè)沖擊荷載的峰值為Fmax，對于峰值前后荷載為零時的兩端時間，可以定義為沖擊荷載的加載時間與卸載時間。一般來說，沖擊荷載可以設(shè)為線性加載、三角函數(shù)加載和不規(guī)則加載三種模式，假設(shè)沖擊荷載為最常用的線性三角形沖擊荷載。如圖1-2所示，設(shè)沖擊荷載為沿Oz軸方向的F(t)，沖擊荷載模型化為四個基本參數(shù)：荷載作用點(diǎn)距梁左側(cè)原點(diǎn)的距離為xF，沖擊荷載達(dá)到最大值時的加載時間tl，經(jīng)過最大值后荷載的卸載時間tu以及沖擊荷載的最大值Fmax。

圖1 簡支梁模型Fig.1 Model of simply supported beam

圖2 三角沖擊荷載及其參數(shù)Fig.2 Basic parameters of triangular impact

1.2 梁的振動

要量化梁的各項(xiàng)響應(yīng)，將對梁進(jìn)行有限元離散。離散時梁單元采用Euler-Bernoulli梁單元進(jìn)行離散，其中每個單元含有兩個節(jié)點(diǎn)。通過積分可得到梁的剛度矩陣K與質(zhì)量矩陣M。當(dāng)外力F(t)作用在結(jié)構(gòu)上時，其受迫振動方程可由式表示：

(1)

1.3 作用在任意位置的荷載

在本文中，所識別荷載的位置可以是在整個梁上的任意位置。經(jīng)過有限元劃分后，將荷載作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理，即把單元上的荷載轉(zhuǎn)化為作用于節(jié)點(diǎn)的等價節(jié)點(diǎn)力。設(shè)作用于實(shí)際位置的荷載為f(x,t)，則轉(zhuǎn)化后的等效節(jié)點(diǎn)力為：

(2)

其中，le表示單元長度，[N]為所采用有限元單元的形函數(shù)矩陣。根據(jù)本文所用的Euler-Bernoulli梁單元，作用于梁單元上的荷載將被轉(zhuǎn)化為作用于對應(yīng)單元的節(jié)點(diǎn)上的力和彎矩。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

(3)

(4)

其中，n為測點(diǎn)個數(shù)。

通過觀察式(4)，如果荷載參數(shù)向量a與給定的特定沖擊荷載參數(shù)完全適應(yīng)的話，那么目標(biāo)函數(shù)就可以取得最小值0，也就是當(dāng)計算中取到目標(biāo)函數(shù)的最小值時，相應(yīng)的參數(shù)向量就可以表述該次計算中識別的沖擊荷載的性質(zhì)。

2 參數(shù)識別方法

2.1 BMO算法

鳥群繁衍優(yōu)化算法(bird mating optimizer)是由Askarzadeh提出的一種模擬鳥群繁衍模式的進(jìn)化算法[15]。在BMO算法中，以小鳥來代表一個個體，每個個體都是一個可行解。與自然中的鳥類一樣，BMO算法中把小鳥分為雄性和雌性兩大類，其中雌性所代表的是所有個體中較優(yōu)的一部分，一般僅占全部個體的10%。計算中共有五種繁殖方式，雌性小鳥參與三類繁殖：一夫一妻，孤雌生殖和一妻多夫，據(jù)此雌性將被分別優(yōu)和次兩組。雄性小鳥也參與三類：一夫一妻，一夫多妻和雜交，而雄性會分為優(yōu)中差三組。根據(jù)不同小鳥的繁衍方式，依照適應(yīng)度對鳥群進(jìn)行分類，各類小鳥將按照特定的繁衍方式繁殖后代，這些繁衍方式可用特定的數(shù)學(xué)公式表達(dá)。

(1)一夫一妻

ifr1>mcf

xb(c)=l(c)-r2×(l(c)-u(c))

end

(5)

(2)一夫多妻

較次的雌性個體與優(yōu)和中兩組雄性參與一夫多妻繁衍，對雄性小鳥來說，要通過與多個雌性進(jìn)行交配，才能產(chǎn)生一個新的后代，這些雌性也通過輪盤賭機(jī)制選擇。其數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

ifr1>mcf

xb(c)=l(c)-r2×(l(c)-u(c))

end

(6)

(3)孤雌生殖

只有基因最好的雌性個體才進(jìn)行孤雌生殖。繁衍過程可以用數(shù)學(xué)方法表達(dá)為：

fori=1∶n

ifr1>mcfp

xb(i)=x(i)+μ×(r2-r3)×x(i)

else

xb(i)=x(i)

end

end

(7)

其中，mcfp為孤雌生殖中的突變控制指標(biāo)，r2和r3為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)，μ為突變過程中的突變程度控制因子。

(4)雜交

在BMO算法中，采用雜交方式進(jìn)行繁衍的個體為鳥群中基因最差的個體，均為雄性個體。這里，首先采用混沌序列對這些個體進(jìn)行變異處理。經(jīng)過處理后得到的新個體，將遵循式(5)的方式來產(chǎn)生下一代。

(5)一妻多夫

與一夫多妻制相似，一妻多夫制中，基因較差的雌性小鳥通過輪盤賭制選出多個雄性交配對象，交配方式與式(6)中相同。

可以看出，BMO算法中五類繁殖方式均有普通繁殖與變異產(chǎn)生。其中普通繁殖的計算上類似于傳統(tǒng)的粒子群算法(PSO)，但在具體分類中更為細(xì)致。根據(jù)具體的公式與推薦的繁殖方式數(shù)量比50∶30∶5∶10∶5[15]，孤雌生殖與一夫一妻制將極大地促進(jìn)局部搜索，提高識別精度，而幾乎每個個體都參與到繁殖中。盡管一妻多夫與雜交中個體質(zhì)量較差，在雜交中最差的雄性個體將直接被通過混沌序列產(chǎn)生的新個體替換，這將擴(kuò)大全局搜索能力。同時，每種繁殖方式中都引入了變異，這與遺傳算法(GA)的理念相似，但BMO中的變異僅根據(jù)mcf決定變異概率，在這之后的變異個體選擇上更為隨機(jī)。而專注于局部搜索的孤雌生殖也采用時變的mcfp來決定變異概率，一般是隨更新代數(shù)的增加而概率減??；同樣的，個體變異權(quán)重w一般也隨著進(jìn)化而逐漸減少，這都讓最后的個體收斂更為精確?？偟膩碚f，BMO結(jié)合了之前多種元啟發(fā)式算法的優(yōu)點(diǎn)，但仍保證了較高的計算效率，是一種優(yōu)秀的群智能算法。

2.2 沖擊荷載參數(shù)識別

綜上所述，將有限元梁理論與BMO算法結(jié)合，整個參數(shù)識別的流程如圖3所示，可分為如下幾個步驟：

(1)初始化

以所需識別參數(shù)向量作為個體，在每個參數(shù)對應(yīng)的搜索空間內(nèi)，隨機(jī)生成多個參數(shù)向量。

(2)適應(yīng)度值

把各個體代入目標(biāo)函數(shù)，以目標(biāo)函數(shù)值作為個體的適應(yīng)度值，來衡量個體的質(zhì)量。

(3)分類

對所有個體進(jìn)行分類。首先，將適應(yīng)度較高的個體歸類為雌性，其余的歸為雄性。然后在雌性個體中，把適應(yīng)度最高的個體看作孤雌繁殖的個體，其余雌性個體以一妻多夫制進(jìn)行繁衍。對于雄性個體，質(zhì)量最差的一部分將被拋棄，剩余的雄性個體再分為兩類，質(zhì)量較好的將以一夫一妻制進(jìn)行繁殖，其余的以一夫多妻制進(jìn)行繁殖。對于被淘汰的個體，用混沌序列產(chǎn)生新的個體，進(jìn)行雜交。

(4) 繁殖

各類型的個體按照自己的繁衍方式進(jìn)行繁殖。

(5)優(yōu)勝劣汰

混合新生個體與原個體，根據(jù)適應(yīng)度評估新生代識別參數(shù)的質(zhì)量，保留更好的個體組成新的種群。

(6)循環(huán)

重復(fù)步驟(3)-(5)，直到所得的最優(yōu)個體達(dá)到了預(yù)設(shè)精度要求，或者循環(huán)迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值。

(7)結(jié)果

把由BMO 算法得到的最終的最優(yōu)個體作為該沖擊荷載參數(shù)的識別結(jié)果。

圖3 沖擊荷載參數(shù)識別流程圖Fig.3 Flow chart of identification process

3 數(shù)值算例

計算中，BMO算法的基本參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量一共100個，一夫一妻、一夫多妻、雜交、一妻多夫和自交的個體數(shù)量分別為50、30、10、5和5。每個一夫多妻和一妻多夫的鳥個體都有3個感興趣的對象。其他參數(shù)的設(shè)置為mcf=0.9，μ=0.009，mcfp由0.15至0.8呈線性變化，時間權(quán)值因子w由1.9至0.1根據(jù)進(jìn)化步數(shù)呈線性變化。在本算例中將不設(shè)置精度閾值，最大進(jìn)化步數(shù)設(shè)為200步。

3.1 無噪聲情況下的參數(shù)識別

如圖1所示，本算例的簡支梁長、寬、高分別為20 m、0.4 m、1 m，材料為鋼，材料的楊氏模量E=210 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3。利用有限元將梁離散化為12個歐拉伯努利梁單元。在利用目標(biāo)函數(shù)評估個體質(zhì)量時，取不受噪聲影響下的數(shù)據(jù)。結(jié)果將基于兩個算例，分別展示作用于節(jié)點(diǎn)上和單元內(nèi)的沖擊荷載的識別結(jié)果。設(shè)兩沖擊荷載分別為f1及f2。其中,f1作用于第6節(jié)點(diǎn)，位于全梁5/12處，加載時間t1l=0.03 s，卸載時間t1u=0.05 s，最大沖擊值f1max=3.5×105N，即：

(8)

(9)

其中,f2的等效節(jié)點(diǎn)荷載全部根據(jù)式(2)計算。算例中計算動態(tài)響應(yīng)時，采用Newmark直接積分法，整個時間歷程為1 s，時間步長取0.001 s，基于Rayleigh阻尼模型構(gòu)建的阻尼系數(shù)均取0.01，加速度數(shù)據(jù)選用節(jié)點(diǎn)2、4、6、8、10的加速度數(shù)據(jù)。各參數(shù)的搜索范圍見表1。

表1 參數(shù)搜索范圍Table 1 The searching space of each parameter

計算5次并取其平均值，得到了表2-3所示的識別結(jié)果。結(jié)果顯示: 計算結(jié)果十分穩(wěn)定，5次識別均與真實(shí)值完全吻合。

對f1中某一次識別結(jié)果的參數(shù)進(jìn)化情況進(jìn)行觀察，為比較方便，取fmax與xf的識別值除以對應(yīng)搜索范圍的最大值所得數(shù)、tl及tu的原值，得到四組介于[0,1]間的值，如圖4所示。在圖4中，可以看到大約到20步時各參數(shù)趨近收斂。而圖5中顯示的是目標(biāo)函數(shù)的常用對數(shù)值的進(jìn)化曲線，此圖中適度值在20步后仍繼續(xù)減小，至50余步才接近完全收斂，說明之后的進(jìn)化步數(shù)確保了更高的精確度。

圖4 各參數(shù)的進(jìn)化曲線Fig.4 Evolutional curves of identified parameters

圖5 適應(yīng)度值進(jìn)化曲線Fig.5 Evolutional curve of fitness value

參數(shù)真實(shí)值識別值相對誤差f1max /N3.5×1053.5×1050x1f/m0.416 67 L0.416 67 L0t1l/s0.030.030t1u/s0.050.050

表3 f2識別結(jié)果Table 3 The identified results of f2

3.2 噪聲情況下的參數(shù)識別

為了更好地模擬實(shí)際工況，現(xiàn)在基于相同的結(jié)構(gòu)與沖擊荷載，討論響應(yīng)被噪聲污染的情況。假設(shè)加速度響應(yīng)分別被5%和10%的隨機(jī)噪聲污染，隨機(jī)噪聲的模擬形式如下式：

(10)

在噪聲情況下仍進(jìn)行5次識別取平均值，并計算方差。f1、f2的識別結(jié)果見表4-5?？梢园l(fā)現(xiàn)，在兩種噪聲水平下，該方法均可以正確識別出參數(shù)，且識別結(jié)果的相對誤差非常??；兩個算例中，fmax與xf在5%噪聲下，相對誤差小于0.1%，而在10%噪聲下小于1%；ti與tf識別結(jié)果與真實(shí)值基本完全吻合；各數(shù)據(jù)五組值的方差均很小。這說明識別受噪聲水平上升的影響很小。

3.3 與其他啟發(fā)式算法的比較

本文的參數(shù)識別涉及四個參數(shù)，不算含有大量未知量的問題。但識別所用的加速度采樣時間點(diǎn)多數(shù)據(jù)量大，故每個參數(shù)對微小變化的反應(yīng)較為靈敏；良好地識別該問題需要兼顧局部和全局兩組搜索能力。為進(jìn)一步驗(yàn)證BMO算法的有效性，將之與遺傳算法(GA)和粒子群算法(PSO)的識別結(jié)果進(jìn)行對比。其中，遺傳算法的基本參數(shù)設(shè)置為代溝(generation gap)=0.7；粒子群算法中慣性權(quán)重w由0.9時變?yōu)?.4，局部及全局學(xué)習(xí)因子c1、c2均為1，速度極限為1。將f2計算5次并取平均值作為識別值，并計算相對誤差與方差，得到了表6-7所示的結(jié)果。

表4 f1識別結(jié)果Table 4 The identified results of f1 in noise condition

表5 f2識別結(jié)果Table 5 The identified results of f2 in noise condition

表6 遺傳算法(GA)識別f2結(jié)果Table 6 The identified results of f2by Genetic Algorithm

表7 粒子群算法(PSO)識別f2結(jié)果Table 7 The identified results of f2by Particle Swarm Optimization

從表6-7可以看出，由于采取平均值作為識別值，故結(jié)果與實(shí)際偏離較大。實(shí)際計算中，兩種算法的識別結(jié)果均收斂于[6, 0.66, 0.4, 0.22]與[0.998, 0.372, 0.19, 0.64]兩組值。顯然，第一組接近真實(shí)值，為正確搜索結(jié)果；第二組與真實(shí)值偏差大，顯然是算法陷入了局部最優(yōu)?？梢杂^察到，在噪聲高的情況下，平均識別結(jié)果甚至還更好，顯然是噪聲的存在反而使得第二組數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率更低，識別平均值更佳，這說明兩種算法全局搜索能力普遍不如BMO。而粒子群由于尋優(yōu)計算機(jī)制單一，相比擁有變異機(jī)制的遺傳算法更差，其粒子個體的速度在搜索后期基本趨近于零。算法設(shè)定的粒子速度范圍選擇上約束性也很強(qiáng)。因?yàn)槠淞Ｗ釉谇捌诰S數(shù)更新中極其活躍，過快的速度會使識別值趨向于參數(shù)取值范圍兩側(cè)的局部最優(yōu)點(diǎn)，過慢的速度會使粒子快速趨于靜止，這兩種現(xiàn)象還會因前幾代個體的具體值在局部最優(yōu)值附近而加重，使得在初期搜索中即收斂，形成“早熟”現(xiàn)象。為進(jìn)一步比較算法的局部搜索能力，選擇GA與PSO中無噪聲情況下的一組正確識別數(shù)據(jù)，并與BMO的一組識別值進(jìn)行精度上的對比，結(jié)果見表8。

表8 無噪聲下多種算法識別f2結(jié)果Table 8 An identified result of f2by multiple algorithms in noise free condition

從表8可以看出，BMO算法識別無誤差，精確度遠(yuǎn)高于GA與PSO算法。對應(yīng)的適應(yīng)度進(jìn)化曲線如圖6所示?？梢钥吹?，BMO算法在初始階段即快速收斂，而在30代左右GA和PSO算法已經(jīng)收斂，甚至收斂到了比BMO算法更低的適度值；但之后兩者的適應(yīng)度不再發(fā)生變化，而BMO算法在130代左右時再次進(jìn)一步收斂，得到了非常精確的識別值，最終適應(yīng)度收斂至10-22的數(shù)量級。由此可以看出，BMO算法在進(jìn)化代數(shù)后期有更強(qiáng)的局部搜索能力。

圖6 多個算法的適應(yīng)度進(jìn)化曲線Fig.6 Evolutional curve of fitness by multiple algorithms

4 結(jié) 論

本文將沖擊荷載轉(zhuǎn)化為雙線性模型并參數(shù)化，利用加速度構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)；采用有限元方法進(jìn)行響應(yīng)計算，運(yùn)用BMO算法對作用于梁上的三角沖擊荷載參數(shù)進(jìn)行了識別。BMO算法能精確地識別沖擊荷載作用的位置、大小和時間等四個參數(shù)，計算精度優(yōu)于遺傳算法與粒子群算法。且，BMO算法的優(yōu)點(diǎn)在于分類別搜索，即不同的繁殖模式，確保了局部搜索的收斂準(zhǔn)確，同時較高的變異概率和均等的個體參與產(chǎn)生下一代的權(quán)利，使得即便在搜索后期仍能兼顧全局搜索能力，在此類參數(shù)識別問題中得到了非常良好的結(jié)果。多種噪聲情況下，BMO算法依然穩(wěn)定的識別結(jié)果，體現(xiàn)了其有效性和魯棒性。因此，BMO算法在工程實(shí)踐中具有一定的應(yīng)用價值。