張 程，張 卓

(1.吉林大學(xué)珠海學(xué)院，廣東 珠海 519041；2.廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院，廣東 珠海 519041)

0 引言

從控制理論的角度看，多自由度機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)耦合系統(tǒng)[1]，其數(shù)學(xué)模型具有明顯的復(fù)雜性和非線性，如何設(shè)計(jì)一種能較好地應(yīng)對(duì)這類強(qiáng)不確定性和非線性系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制方案是一個(gè)重要課題。在實(shí)際應(yīng)用中，面對(duì)由系統(tǒng)自身或外界原因造成的不確定干擾因素，常規(guī)PID控制不能很好的滿足機(jī)器人系統(tǒng)的控制要求，存在速度較緩慢、位姿誤差較大的問(wèn)題。一些學(xué)者采用智能算法與傳統(tǒng)算法結(jié)合，以解決上述缺陷或不足，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊理論及魯棒控制等智能理論[2-5]。針對(duì)上述問(wèn)題，本文采用自適應(yīng)魯棒控制算法以解決仿人型機(jī)械臂的控制優(yōu)化問(wèn)題，利用SolidWorks進(jìn)行仿人型機(jī)械臂機(jī)械結(jié)構(gòu)的自主設(shè)計(jì)，采用Lagrange-Euler法建立機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)魯棒控制律及相關(guān)控制參數(shù)，并通過(guò)直線和曲線兩種目標(biāo)軌跡的跟蹤控制實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法具有明顯優(yōu)于常規(guī)控制器的跟蹤控制性能。

1 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)模型

1.1 機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

利用SolidWorks進(jìn)行機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的自主設(shè)計(jì)，建立仿人型機(jī)械臂的三維模型。帶有外軸的仿人型機(jī)械臂機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，其具有肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)(末端執(zhí)行器)，由電機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)3個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)。其肩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍-180°～180°，肘關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍-170°～170°，腕關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍-90°～90°。并設(shè)計(jì)將肩關(guān)節(jié)固定在外軸機(jī)構(gòu)上以擴(kuò)展該機(jī)械臂的作業(yè)范圍。該機(jī)器臂適用于物體追蹤、檢測(cè)、切割以及掃描等作業(yè)。標(biāo)稱物理結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 帶有外軸的仿人型機(jī)械臂機(jī)械結(jié)構(gòu)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型分析

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)主要研究作用于機(jī)械臂上的力和力矩，建立機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程主要有Lagrange-Euler和Newton Euler兩種方法[6]，本文選擇Lagrange-Euler建立機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程。

仿人型機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)如圖2所示，考慮目標(biāo)工作空間為x軸和y軸所構(gòu)成的平面，腕關(guān)節(jié)(末端執(zhí)行器)保持相對(duì)該平面的近似固定位姿，故主要考慮肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的大范圍運(yùn)動(dòng)模式。將工作空間中的關(guān)節(jié)末端節(jié)點(diǎn)直角坐標(biāo)(xq,yq)轉(zhuǎn)為關(guān)節(jié)角位置(q1,q2)的問(wèn)題，以建立工作空間關(guān)節(jié)末端節(jié)點(diǎn)直角坐標(biāo)(xq,yq)的動(dòng)力學(xué)模型。

圖2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)示意圖

采用Lagrange-Euler法建立機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程，可得機(jī)械臂末端在工作空間中的坐標(biāo)位置為[6]：

xq=l1cosq1+l2cos(q1+q2)

(1)

yq=l1sinq1+l2sin(q1+q2)

(2)

構(gòu)建兩坐標(biāo)間數(shù)學(xué)關(guān)系，求其平方和得：

(3)

從而可解得：

(4)

(5)

考慮本系統(tǒng)為剛性機(jī)械手，其動(dòng)態(tài)特性為：

(6)

(7)

上式具體可以表達(dá)為：

(8)

其中，

2 自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

主要解決自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。魯棒控制器具有處理干擾、快變參數(shù)等能力[7-8]，控制目標(biāo)為：即使系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性、外部干擾、未建模動(dòng)態(tài)特性或其他不確定性，仍然能夠保持其在穩(wěn)定性、跟蹤誤差或其他指標(biāo)方面的性能表現(xiàn)[9-11]，以確保機(jī)械臂的控制系統(tǒng)具有良好的運(yùn)動(dòng)特性。

2.1 控制算法設(shè)計(jì)

e(t)=q(t)-qd(t)

(9)

(10)

考慮上述Lagrange-Euler動(dòng)力學(xué)方程(6)，得到魯棒控制器控制律u(t)：

(11)

其中v，a和r給出如下：

(12)

(13)

(14)

其中，K和Λ是定常正值增益的對(duì)角矩陣。將控制律(11)帶入到方程(6)，得到閉環(huán)系統(tǒng)方程：

(15)

(16)

其中，θ0是一個(gè)固定的表征參數(shù)向量，同時(shí)δθ是一個(gè)附加輸入項(xiàng)，根據(jù)以下方式來(lái)設(shè)計(jì)：

(17)

其中,ρ是參數(shù)不確定性的界線。

2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義輔助信號(hào)如下：

(18)

可將式(15)表示為：

(19)

(20)

即控制律設(shè)計(jì)為：

u=-Kη-γ-v

(21)

(22)

根據(jù)定理可證該控制器對(duì)于有界的建模誤差，跟蹤誤差一致終值有界[7,11]，且當(dāng)模型誤差為零時(shí)，跟蹤誤差為零。

3 機(jī)械臂魯棒控制軌跡跟蹤仿真

利用Simulink工具箱建立仿人型機(jī)械臂控制系統(tǒng)模型?？紤]到實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)械臂的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡均可以分解為線性直線運(yùn)動(dòng)和非線性曲線運(yùn)動(dòng)的疊加，故本文通過(guò)直線軌跡和曲線軌跡兩種方式，驗(yàn)證自適應(yīng)魯棒跟蹤控制效果，并同常規(guī)PID控制下的軌跡跟蹤效果進(jìn)行比對(duì)，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)論。

3.1 直線運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤及結(jié)果分析

采用S函數(shù)輸入目標(biāo)軌跡函數(shù)，選取直線運(yùn)動(dòng)函數(shù)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，目標(biāo)軌跡生成指令如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u)

xd=0.2;

yd=0.2×cos(pi/2×t)+0.2;

根據(jù)上述算法，采用S函數(shù)設(shè)計(jì)控制器，控制律增益取k1=k2=54，ε=0.001，得到直線軌跡跟蹤仿真結(jié)果如圖3至圖7所示。圖3和圖4分別為直線運(yùn)動(dòng)下的常規(guī)控制和魯棒控制的軌跡跟蹤示意圖，圖5和圖6分別為直線運(yùn)動(dòng)下的常規(guī)控制和魯棒控制的位置跟蹤曲線。圖7為直線運(yùn)動(dòng)下的兩種控制方法的跟蹤誤差對(duì)比。

圖3 常規(guī)控制軌跡跟蹤(直線運(yùn)動(dòng))

圖4 魯棒控制軌跡跟蹤(直線運(yùn)動(dòng))

圖5 常規(guī)控制位置跟蹤曲線(直線運(yùn)動(dòng))

圖6 魯棒控制位置跟蹤曲線(直線運(yùn)動(dòng))

圖7 兩種控制方法的跟蹤誤差對(duì)比(直線運(yùn)動(dòng))

由圖5可以明顯看到，常規(guī)控制方法的收斂時(shí)間長(zhǎng)，而圖6中魯棒控制方法的跟蹤誤差在較短時(shí)間內(nèi)收斂到0、跟蹤速度快。由圖7中兩種控制方法對(duì)比，以肘關(guān)節(jié)為例分析：常規(guī)控制方法穩(wěn)定后最大誤差達(dá)到0.018°，收斂時(shí)間為0.75s，而魯棒控制方法的最大誤差為0.001°，收斂時(shí)間為0.25s，相對(duì)于常規(guī)控制器，魯棒控制的收斂速度提升67%，位姿跟蹤精度提高44%。綜上可得，在直線運(yùn)動(dòng)下魯棒控制在跟蹤性能和響應(yīng)速度上均優(yōu)于常規(guī)控制器。

3.2 曲線運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤及結(jié)果分析

以典型的圓周曲線運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行軌跡跟蹤，采用S函數(shù)輸入目標(biāo)軌跡函數(shù)，選取圓周運(yùn)動(dòng)函數(shù)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，目標(biāo)軌跡生成指令如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u)

xd=0.12×sin(pi/2×t)+0.25;

yd=0.12×cos(pi/2×t)+0.15;

根據(jù)上述算法，采用S函數(shù)設(shè)計(jì)控制器，控制律增益取k1=k2=54，ε=0.001，得到曲線軌跡跟蹤仿真結(jié)果如圖8～圖12所示。

圖8 常規(guī)控制軌跡跟蹤(圓周運(yùn)動(dòng))

圖9 魯棒控制軌跡跟蹤(圓周運(yùn)動(dòng))

圖10 常規(guī)控制位置跟蹤曲線(圓周運(yùn)動(dòng))

圖11 魯棒控制位置跟蹤曲線(圓周運(yùn)動(dòng))

圖12 兩種控制方法的跟蹤誤差對(duì)比(圓周運(yùn)動(dòng))

由圖10可以明顯看到，與直線軌跡跟蹤的情況類似，常規(guī)控制方法的收斂時(shí)間長(zhǎng)，而圖11中魯棒控制方法的跟蹤速度更快。由圖12中兩種控制方法對(duì)比，以肘關(guān)節(jié)為例分析：常規(guī)控制方法穩(wěn)定后最大誤差達(dá)到0.008°，收斂時(shí)間為1s，而魯棒控制方法的最大誤差為0.001°，收斂時(shí)間為0.3s，相對(duì)于常規(guī)控制器，魯棒控制的收斂速度提升70%，位姿跟蹤精度提高87.5%。綜上可得，在圓周運(yùn)動(dòng)下魯棒控制在跟蹤性能和響應(yīng)速度上亦均優(yōu)于常規(guī)控制器。

通過(guò)上述兩組仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)分析可得，魯棒控制器能迅速、準(zhǔn)確地跟蹤期望軌跡，在跟蹤性能和響應(yīng)速度上均優(yōu)于常規(guī)控制器，能夠保證機(jī)械臂系統(tǒng)達(dá)到更好的跟蹤性能。

4 結(jié) 論

本文以仿人型機(jī)械臂為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了一種魯棒自適應(yīng)控制策略，利用SolidWorks進(jìn)行機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的自主設(shè)計(jì)，利用Simulink工具箱進(jìn)行機(jī)械臂控制系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)，通過(guò)直線和曲線兩種運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤控制進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于常規(guī)控制器，該控制器可以更為準(zhǔn)確地控制機(jī)械臂的末端軌跡，跟蹤速度快且位姿控制精度高。該控制方法具有較好的可行性及一定的工程參考性。