刁海濤

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)，江蘇 南京 210023）

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者運(yùn)用不同方法對(duì)互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品的收益率進(jìn)行了研究。Lance Baehmeier和Qi Li用美國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期債券歷史數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)短期的收益率，并在模型中加入半?yún)?shù)進(jìn)行修正。通過(guò)對(duì)兩組數(shù)據(jù)的驗(yàn)證得到了較好的效果，這對(duì)利用非線(xiàn)性函數(shù)研究利率預(yù)測(cè)具有巨大的參考意義。劉冬青通過(guò)介紹余額寶的主體框架以及2013年余額寶的收益和費(fèi)用情況，建立線(xiàn)性回歸模型，定量分析了余額寶的收益。研究發(fā)現(xiàn)：可以懷疑在高額利益的背后余額寶公司可能存在前期的貼息問(wèn)題以吸引客戶(hù)。蔣從商業(yè)銀行協(xié)議存款利率對(duì)余額寶收益的線(xiàn)性回歸研究了余額寶收益的影響因素，結(jié)果顯示余額寶收益受到上一期SHIBAO和上一期每七日年化收益率的影響。張馨予從外部監(jiān)管、內(nèi)部環(huán)境等方面提出相應(yīng)措施，研究了如何降低余額寶在發(fā)展中的風(fēng)險(xiǎn)，完善服務(wù)體系，爭(zhēng)取維持云商寶用戶(hù)收益的相對(duì)穩(wěn)定性。余額寶和云商寶都是阿里巴巴入股的天弘基金公司旗下針對(duì)不同目標(biāo)群體的產(chǎn)品，同屬于貨幣性基金，安全性強(qiáng)、流動(dòng)性強(qiáng)。余額寶主要針對(duì)個(gè)人，可在支付寶中直接交易，現(xiàn)已廣泛流傳；而云商寶針對(duì)小企業(yè)或經(jīng)營(yíng)者，目前客戶(hù)群體相對(duì)較少。本文利用非參數(shù)核密度估計(jì)方法，根據(jù)天天基金網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的兩款基金每七日年化收益率數(shù)據(jù)，對(duì)余額寶和云商寶的收益進(jìn)行了對(duì)比分析，為更好地認(rèn)識(shí)并運(yùn)用互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品提供參考。

一、非參數(shù)估計(jì)方法—核密度估計(jì)方法

當(dāng)需要研究某類(lèi)現(xiàn)象的規(guī)律時(shí)，學(xué)者通常的做法是利用從總體中隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)總體的概率密度函數(shù)，進(jìn)而對(duì)特定隨機(jī)變量進(jìn)行研究分析。密度函數(shù)的估計(jì)方法分為兩種：參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的核心在于預(yù)先假定總體服從于某個(gè)己知的、只含有少數(shù)未知參數(shù)的數(shù)學(xué)分布，然后利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)擬合這些參數(shù)，一般假設(shè)數(shù)據(jù)服從“中間大，兩頭小，左右對(duì)稱(chēng)”的“正態(tài)類(lèi)似型”分布，從而得到概率密度的估計(jì)。而對(duì)于時(shí)間序列的收益率來(lái)說(shuō)，事先假設(shè)正態(tài)性可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。非參數(shù)估計(jì)的基本思想是不預(yù)先設(shè)定總體分布，用從總體中抽取的樣本去估計(jì)總體的概率密度函數(shù)。下面介紹非參數(shù)密度估計(jì)的主要方法。直方圖是最原始的非參數(shù)方法，即將數(shù)據(jù)分為若干組，然后計(jì)算數(shù)據(jù)落入每組的頻率。用直方圖估計(jì)密度函數(shù)的缺點(diǎn)是：即使隨機(jī)變量是連續(xù)的，直方圖也始終是不連續(xù)的階梯函數(shù)。原因在于直方圖使用示性函數(shù)作為“權(quán)重函數(shù)”，且它的各組之間不允許出現(xiàn)交疊。而核密度估計(jì)法可得到密度函數(shù)的光滑估計(jì)。

核密度估計(jì)法是應(yīng)用最廣泛、最普遍的密度估計(jì)方法，1956 年由 Rosenblatt和 Parzen（1962）對(duì)直方圖推廣而提出，其步驟為：

1.選取核函數(shù)

核密度估計(jì)法使用更一般的權(quán)重函數(shù)，允許出現(xiàn)組間交疊，核密度估計(jì)量為：

其中，函數(shù)K（·）稱(chēng)之為核函數(shù)，h稱(chēng)為帶寬。滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

①連續(xù)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

③或者(a)存在z0＞0當(dāng)時(shí)，K(z)=0，或者(b)當(dāng)

條件②要求核函數(shù)的曲線(xiàn)下面積為1（將核函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化），并滿(mǎn)足一些有界條件。條件③下(a)比(b)更強(qiáng)，在實(shí)踐中常常采用條件(a)，即如果超出某個(gè)鄰域范圍[-z0,z0]，權(quán)重變?yōu)?，常將[-z0,z0]標(biāo)準(zhǔn)化為[-1,1]。條件④也是一個(gè)有界條件。

常見(jiàn)的核函數(shù)參見(jiàn)下表：它們的共同特點(diǎn)是離原點(diǎn)越近，則核函數(shù)數(shù)值越大，并在原點(diǎn)處達(dá)到最大值，即越近的點(diǎn)給予的權(quán)重越大，其中最為流行的核函數(shù)是二次核與高斯核。

表1常用的的核函數(shù)

2.確定最優(yōu)帶寬

相對(duì)于核函數(shù)，帶寬h的選擇對(duì)核密度估計(jì)的精度影響更大。帶寬越大，則x0附近的鄰域也越大；核密度估計(jì)量越光滑，即偏差增大，估計(jì)量方差減小，故稱(chēng)帶寬h為光滑參數(shù)。但h過(guò)大會(huì)造成過(guò)度擬合，掩蓋數(shù)據(jù)的真實(shí)波動(dòng)，h過(guò)小會(huì)造成欠擬合，得到的密度函數(shù)不夠光滑。通常選取的最優(yōu)帶寬需滿(mǎn)足均方誤差（MSE）最小。

則最小均方誤差可以改寫(xiě)成：

然而均方誤差依賴(lài)于每一個(gè)觀測(cè)值，若希望對(duì)x所有取值的均方誤差進(jìn)行整體度量，則可以最小化積分均方誤差（IMSE）

為求解 minIMSE(h)，Silverman（1986）證明最優(yōu)帶寬為：

從表達(dá)式可以看出，最優(yōu)帶寬h*依賴(lài)于δ從而依賴(lài)于核函數(shù)，還依賴(lài)于待估密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f＂(x)。對(duì)于不同的核函數(shù)分別使用不同的δ。

若樣本來(lái)自于正態(tài)總體，則可以計(jì)算出：h*=1.3643δN-0..2s，其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。為了防止樣本標(biāo)準(zhǔn)差受極端值的影響，常使用Silverman嵌入估計(jì)，可得h*=1.3643δN-0.2min(s,ipr/1.349)。其中，ipr為樣本的四分位距。

在實(shí)際操作中，即使整體不服從正態(tài)分布，也可以使用嵌入估計(jì)來(lái)進(jìn)行帶寬的選擇。但為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，可以比較兩倍嵌入估計(jì)與一半嵌入估計(jì)的效果。

3.估計(jì)核密度

以余額寶的七日年化收益率為例，進(jìn)行上述兩步驟。

（1）取相同帶寬 h*=1.3643δN-0.2min(s,ipr/1.349)，核函數(shù)分別選用均勻核、四次核、正態(tài)核與二次核函數(shù)，結(jié)果如圖1所示：當(dāng)帶寬相同時(shí)，密度估計(jì)函數(shù)大致相同，說(shuō)明核函數(shù)的選取對(duì)密度估計(jì)影響不大。且當(dāng)選用均勻核時(shí)，相當(dāng)于每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重相同，擬合效果較差。

圖1不同核下余額寶七日年化收益率的密度函數(shù)估計(jì)

（2）核函數(shù)均選取Epan核，帶寬分別取

h1=h*×1.7188，h2=h*×0.7764，h3=h*×2.0362，h4=h*×1.3510由圖2可得：當(dāng)選取相同的核函數(shù)、不同的帶寬時(shí)，密度函數(shù)的估計(jì)大不同，密度函數(shù)估計(jì)圖可能從單峰變?yōu)殡p峰，說(shuō)明帶寬對(duì)密度函數(shù)的估計(jì)影響較大。

圖2余額寶七日年化收益率(核函數(shù)相同，窗寬不同)

二、余額寶和云商寶七日年化收益率密度的核密度估計(jì)和對(duì)比分析

（一）數(shù)據(jù)說(shuō)明

本文選取的數(shù)據(jù)是由天天基金網(wǎng)統(tǒng)計(jì)而得。余額寶和云商寶分別于2013年和2015年產(chǎn)生，在進(jìn)行對(duì)比分析時(shí)，因同屬于貨幣型基金，在節(jié)假日和雙休日對(duì)七日年化收益計(jì)算方法相同。本文統(tǒng)一選取2015年10月7日截止到2017年9月30日的每七日年化收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

（二）檢驗(yàn)

首先對(duì)原始數(shù)據(jù)做初始統(tǒng)計(jì)，如表2所示。由表2可得，云商寶七日年化收益率均值稍高于余額寶。

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖3顯示：余額寶七日年化收益率在2015-2016年度有所下降，在2016-2017年度增幅較大；云商寶七日年化收益率在2015-2016年度波動(dòng)較大，在2016-2017年度增幅較大，末期波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定，且后期云商寶七日年化收益率均值超過(guò)余額寶。

圖3 余額寶、云商寶七日年化收益率的時(shí)間序列圖

首先，對(duì)原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)得到每七日年化收益率的T統(tǒng)計(jì)量為1.972，P值為0.0491，在顯著性水平為0.05的情況下不是很顯著，所以進(jìn)行一階差分后再檢驗(yàn)，T統(tǒng)計(jì)量為6.45，P值為0.0000，在顯著性水平為0.05的情況下結(jié)果顯著。其次，云商寶數(shù)據(jù)同樣在一階差分后檢驗(yàn)結(jié)果顯著。所以拒絕原假設(shè)，余額寶和云商寶每七日年化收益率為一階差分后的平穩(wěn)序列。

2.正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)余額寶和云商寶的收益率分別做Shapiro-Wilk檢驗(yàn)并畫(huà)QQ圖，結(jié)果如圖4：

圖4余額寶和云商寶收益率的QQ圖

由圖4結(jié)果可得：余額寶和云商寶的七日年化收益率的統(tǒng)計(jì)量均較低，且Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的值均小于0.05，不能接受原假設(shè)，故余額寶和云商寶的七日年化收益率都不服從正態(tài)分布，說(shuō)明在做研究前對(duì)其進(jìn)行非參數(shù)密度估計(jì)是必要的。

表2余額寶和云商寶七日年化收益率分位數(shù)

表3 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表4Shapiro-Wilk檢驗(yàn)

（三）核密度估計(jì)及分析

通過(guò)R軟件操作，得到2015.10-2017.10內(nèi)余額寶和云商寶的收益率的核密度估計(jì)結(jié)果，如圖5所示：1）左圖顯示余額寶在2015.10-2016.9的七日年化收益率普遍高于2016.10-2017.9的收益率，峰值分別分布在0.04和0.025附近；2）右圖顯示云商寶在2016.10-2017.9的收益普遍高于2015.10-2016.9的收益，峰值分別分布在0.042和0.025附近；3）云商寶在2016-2017年度的收益率的峰值在其密度曲線(xiàn)的尾部出現(xiàn)，說(shuō)明云商寶日益成熟，收益率不斷增大。

圖5余額寶和云商寶收益密度曲線(xiàn)的核密度估計(jì)圖

圖6不同年度余額寶和云商寶收益率的核密度估計(jì)圖

由圖6中2015-2016圖可得：（1）2015-2016年度內(nèi)，云商寶七日年化收益率的峰值稍低于余額寶收益率的峰值；（2）余額寶收益率的密度曲線(xiàn)分布較集中，主要在0.024-0.03之間，云商寶的收益率密度曲線(xiàn)分布相對(duì)較分散，集中在0.02-0.03之間；（3）云商寶的收益率的密度曲線(xiàn)的核密度估計(jì)在尾部加厚，說(shuō)明其收益在漸漸增加。在2016-2017圖中：2016-2017年度內(nèi)，兩收益率均出現(xiàn)雙峰形態(tài)，云商寶收益率的峰值普遍稍高于余額寶收益率的峰值。

三、結(jié)論與分析

前期余額寶七日年化收益率高于云商寶七日年化收益率，但后期云商寶七日年化收益率增大，高于余額寶。

余額寶和云商寶兩個(gè)產(chǎn)品都是阿里巴巴旗下與天弘基金合作的金融產(chǎn)品，銷(xiāo)售服務(wù)費(fèi)均為0.25%/年，同支持支付寶余額轉(zhuǎn)入，都無(wú)需線(xiàn)下開(kāi)戶(hù)，支持線(xiàn)上一鍵式操作，均有自動(dòng)轉(zhuǎn)入功能，可實(shí)現(xiàn)預(yù)留資金外的自動(dòng)理財(cái)。

余額寶是支付寶中內(nèi)置的一個(gè)投資理財(cái)工具，目前七天年化在3.1%左右，是目前最簡(jiǎn)便快捷的理財(cái)方式，但余額寶對(duì)轉(zhuǎn)入資金限額10萬(wàn)元，即在余額寶里最多支持投資10萬(wàn)元，年利息3千-4千元左右。此外，余額寶管理費(fèi)為0.3%/年，托管費(fèi)為0.08%/年,且當(dāng)余額提現(xiàn)超過(guò)2萬(wàn)時(shí)，收取0.1%手續(xù)費(fèi)

云商寶是網(wǎng)商銀行軟件內(nèi)置的理財(cái)工具，功能類(lèi)同于支付寶中的余額寶。云商寶目前七日年利率大約在3.2%左右，稍高于余額寶，但云商寶支持1000萬(wàn)大額轉(zhuǎn)入，100萬(wàn)實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)出。與余額寶相比，同樣是實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)出到賬，利率略高，不受額度限制，且云商寶管理費(fèi)0.25%/年，托管費(fèi)0.05%/年，低于余額寶。

綜上，云商寶在管理費(fèi)用和年化收益方面更勝一籌，而余額寶更為靈活便捷，消費(fèi)者可根據(jù)自身?xiàng)l件進(jìn)行選擇。