李紅英，廖家鋒,

(1 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637002； 2 遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,貴州 遵義 563006)(2017年5月8日收稿； 2017年11月16日收修改稿)

考慮如下帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的Kirchhoff型方程

(1)

2012年,Liu和Sun[1]研究如下問(wèn)題

(2)

其中:40。當(dāng)λ>0充分小時(shí),結(jié)合變分方法和Nehari方法,他們獲得問(wèn)題(2)的2個(gè)正解的存在性。隨后,他們繼續(xù)研究問(wèn)題(2),當(dāng)-1

一個(gè)自然的問(wèn)題:問(wèn)題(1)是否也存在正解?事實(shí)上,當(dāng)s=0時(shí),Sun和Liu在文獻(xiàn)[4]中獲得問(wèn)題(1)正解的存在性,并提出一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題:如何證明第2個(gè)正解的存在性?據(jù)查閱文獻(xiàn)所知,這個(gè)開(kāi)問(wèn)題至今尚未解決。本文利用變分方法獲得問(wèn)題(1)的一個(gè)正局部極小解。在一定程度上,推廣文獻(xiàn)[1，4]的結(jié)果。

問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

記As為Hardy-Sobolev常數(shù)

(3)

特別地,當(dāng)s=0,

1 主要定理

首先,給出如下一個(gè)重要的引理。

引理1.1假設(shè)a,b≥0且a+b>0,00和R,ρ>0使得對(duì)任意的λ∈(0,λ*)都有

(4)

證明由H?lder不等式和式(3),有

(5)

(6)

從而,根據(jù)式(5)和式(6),可得

(7)

當(dāng)a>0時(shí),令

則

容易得到

使得

I(u)|u∈SR1≥ρ,

(8)

則

容易得到,

使得

I(u)|u∈SR2≥ρ,

(9)

故,當(dāng)‖u‖充分小時(shí),有

從而式(7)成立。引理1.1證畢。

下面,給出本文的主要結(jié)果及其證明。

證明根據(jù)引理1.1,只需證明存在u*∈BR(BR為引理1.1中所定義)使得I(u*)=m<0。由引理1.1的證明過(guò)程和式(1),可推得?u∈BR有

≥0,

(10)

和

(11)

不失一般性,令wn=un-u*,由式(11)可推得

(12)

‖un‖2=‖wn‖2+‖u*‖2+o(1),

(13)

‖un‖4=‖wn‖4+‖u*‖4+

2‖wn‖2‖u*‖2+o(1),

(14)

其中o(1)表示n→∞的無(wú)窮小量。再根據(jù)文獻(xiàn)[6],可得

(15)

若u*=0,可得wn=un,這就意味著wn∈BR。若u*≠0,由式(13),當(dāng)n充分大時(shí)有wn∈BR。從而,由式(10),可推得

(16)

故,由式(12)～式(16),有

這就意味著I(u*)=m<0且u*?0,即u*能量泛函I的一個(gè)局部極小值點(diǎn)。因此,u*是問(wèn)題(1)的非零解。由I(|u|)=I(u),不失一般性,可以假設(shè)u*≥0。根據(jù)強(qiáng)極大值原理,可得在Ω中u*>0。故,u*是問(wèn)題(1)的正解且I(u*)<0。定理1.1證畢。

注記1.1一方面,將文獻(xiàn)[1]中所研究的問(wèn)題推廣至帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的情形,并獲得問(wèn)題(1)的正解的存在性;另一方面,當(dāng)s=0時(shí),定理1.1結(jié)果包含文獻(xiàn)[4]的主要結(jié)果,而且我們的方法比文獻(xiàn)[4]的方法簡(jiǎn)單。此外,定理1.1對(duì)于a=0,b>0或者a>0,b=0的情況同樣成立。當(dāng)a=0,b>0時(shí),問(wèn)題(1)被稱為退化的Kirchhoff型方程;當(dāng)a>0,b=0時(shí),問(wèn)題(1)退化為經(jīng)典的奇異半線性橢圓方程。

注記1.2特別地,當(dāng)a=1,b=0時(shí),文獻(xiàn)[7]研究問(wèn)題(1)并獲得2個(gè)正解的存在性。對(duì)于這類帶Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的奇異橢圓方程的更多結(jié)果,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]的參考文獻(xiàn)及其引用文獻(xiàn)。這里提出一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題:如何獲得問(wèn)題(1)的第2個(gè)正解？