張春浩，賀 丹，喬 瑞

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

蜂窩夾層結(jié)構(gòu)具有重量輕、強(qiáng)度高、隔音、隔熱、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域中[1]。蜂窩芯層等效參數(shù)的研究是蜂窩夾層結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，研究蜂窩芯層的力學(xué)特性具有重要意義。

非均勻性的蜂窩材料在力學(xué)分析上較均勻材料更為繁瑣，為簡(jiǎn)化分析工程上一般將其等效為均質(zhì)材料。Allen[2]最早提出了一種蜂窩芯層面內(nèi)等效模型，其假設(shè)忽略了芯層的面內(nèi)剛度和彎曲剛度，只考慮橫向抗剪能力。但是蜂窩芯層相對(duì)蒙皮具有較大厚度，不應(yīng)完全忽略面內(nèi)剛度和彎曲剛度。Gibson[3]和Burton[4]將壁板視Bernoulli-Euler梁，將面內(nèi)剛度考慮在內(nèi)提出了新的芯層等效彈性公式。但是Gibson忽略了壁板的伸縮變形和剪切變形，且其彈性剛度矩陣奇異，在有限元分析時(shí)極為不便。富明慧[5]考慮了壁板伸縮變形的影響對(duì)Gibson公式進(jìn)行了修正。趙金森[6]糾正了富明慧[5]公式推導(dǎo)的錯(cuò)誤之處。

蜂窩尺寸隨著設(shè)計(jì)需求而變化，目前對(duì)毫米級(jí)蜂窩的研究與應(yīng)用較為廣泛，對(duì)微納米級(jí)的蜂窩研究很少，微納米級(jí)蜂窩的應(yīng)用具有一定的潛力。上述研究工作都是針對(duì)宏觀尺度下的蜂窩，而當(dāng)材料的尺寸為微/納米級(jí)時(shí)，諸多實(shí)驗(yàn)[7-8]觀測(cè)到材料出現(xiàn)了傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論無(wú)法描述的尺度效應(yīng)。因此學(xué)者們提出了一些廣義連續(xù)介質(zhì)理論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，如非局部彈性理論[9]、應(yīng)變梯度理論[10]和偶應(yīng)力理論[11]。

由于尺度參數(shù)需由復(fù)雜的試驗(yàn)來(lái)測(cè)定，在以上提到的廣義連續(xù)介質(zhì)理論中，偶應(yīng)力理論因含有較少的參數(shù)在工程實(shí)踐上有一定優(yōu)勢(shì)。Yang[12]提出的修正偶應(yīng)力理論其最大的優(yōu)點(diǎn)是只包含一個(gè)尺度參數(shù)。Park[13]首先基于修正偶應(yīng)力建立了Euler-Bernoulli梁模型，隨后Ma[14]等建立了Timoshenko梁模型。最近雷劍[15]給出了修正偶應(yīng)力理論材料尺度參數(shù)測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)方法，使其在工程應(yīng)用上更加便利。

本文針對(duì)少有研究的微尺度蜂窩芯層，基于Y模型及修正偶應(yīng)力理論，推導(dǎo)出芯層的面內(nèi)彈性參數(shù)。

1 Y模型的建立

針對(duì)蜂窩芯層彈性參數(shù)建模繁多，其中一些模型的假設(shè)條件與推導(dǎo)過(guò)程存在矛盾，本文采用如圖 1所示的Y模型，將矩形虛線內(nèi)的Y型胞壁等效為均質(zhì)實(shí)心矩形板。其優(yōu)點(diǎn)是面積和正六邊形蜂窩面積相等，每個(gè)矩形有3個(gè)完整胞壁(每個(gè)蜂窩的完整胞壁也為3個(gè))。本文中坐標(biāo)系建立如圖1所示，芯層水平向右為x方向，豎直向上為y方向，右手法則確定x方向坐標(biāo)。

圖1 蜂窩芯層參數(shù)推導(dǎo)模型

2 修正偶應(yīng)力理論

基于Yang[12]提出的修正偶應(yīng)力理論，線彈性體在一定區(qū)域V內(nèi)發(fā)生小變形時(shí)的應(yīng)變能可表示為

(1)

其中應(yīng)力、應(yīng)變張量σij、εij與偶應(yīng)力、曲率張量mij、χij定義為

(2)

(3)

其中(i,j,k)=(x,y,z)；λ與μ為L(zhǎng)ame常數(shù)；ui為平動(dòng)位移；θi=eijkuk,j/2為轉(zhuǎn)動(dòng)位移；l為材料尺度參數(shù)。

3 等效彈性參數(shù)推導(dǎo)

等效的方法是使胞元模型處于單向受力狀態(tài)，對(duì)模型受力分析，根據(jù)應(yīng)變能相等推出對(duì)應(yīng)于該狀態(tài)的彈性參數(shù)，該參數(shù)即將蜂窩芯子等效為均質(zhì)實(shí)心體的彈性參數(shù)。

3.1 Ecx的推導(dǎo)

Ecx為面內(nèi)彈性模量，ES為芯層材料的彈性模量，t為胞壁厚度，L為胞壁長(zhǎng)度，b為芯層高度。當(dāng)蜂窩胞元受x方向收單向應(yīng)力σ1時(shí)，等效模型的受力如圖2所示。

圖2 蜂窩胞元x方向受力示意圖

由圖2可知

P=σ1b(h+Lsinθ)

(4)

在A點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角為零，則θP+θM=0，

即

(5)

取AB段分析，將AB段視為歐拉懸臂梁。將P延軸向與垂直軸向分解為F與N，如圖 3所示。F=Psinθ，N=Pcosθ。

圖3 AB段受x方向力示意圖

AB段位移場(chǎng)可表示為

(6)

由式(2)、式(6)知

(7)

將式(7)代入式(2)中得

(8)

其中E為楊氏模量，ν為泊松比，其與λ、μ關(guān)系如下

(9)

可令ν=0簡(jiǎn)化計(jì)算而不影響結(jié)果[13]，式(8)化簡(jiǎn)為

(10)

其余應(yīng)力均為0。將式(6)代入式(3)中得

(11)

不考慮軸向力的作用，基于最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出AB段受F、M作用的控制方程及邊界條件。該原理可表述為

δΠ=δ(U-W)=0

控制方程

代入邊界條件

q(x)=0,M(x)=0

最終解得

單位厚度等效體變形能

AB彎曲應(yīng)變能等于F，M的外力功。

AB軸向應(yīng)變能僅由N引起

AB總應(yīng)變能U1=UAB1+UAB2

BC總應(yīng)變能U2=U1

推出：

3.2 Ecy的推導(dǎo)

Ecy為面內(nèi)彈性模量，Es為夾芯材料的彈性模量。當(dāng)胞元受y方向單向應(yīng)力σ2影響時(shí)，等效模型的受力如圖4所示。

圖4 蜂窩胞元y向受力示意圖

取AB段分析，將AB段視為歐拉懸臂梁。將P延軸向與垂直軸向分解為F與N，如圖3所示。F=Pcosθ,N=Psinθ。單位厚度等效體變形能

AB段彎曲應(yīng)變能等于F，M的外力功。

AB軸向應(yīng)變能僅由N引起

AB總應(yīng)變能U1=UAB1+UAB2

BC總應(yīng)變能U2=U1

3.3 Gcxy的推導(dǎo)

蜂窩胞元受切應(yīng)力τ影響時(shí)，等效模型的受力如圖5所示。在模型建立時(shí)，引入以下假設(shè)：

(1)A、B、C節(jié)點(diǎn)沒(méi)有相對(duì)位移;

(2)各節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角相同;

(3)剪切變形是由BE繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)和BE的彎曲形成的。

由圖5可知

等效單元體的剪切應(yīng)變能

圖5 面內(nèi)剪切模量模型圖

AB軸向應(yīng)變能僅由N引起

AB總應(yīng)變能U1=UAB1+UAB2

BC總應(yīng)變能U2=U1

BD總應(yīng)變能

推出

綜上，正六邊形蜂窩的等效面內(nèi)彈性模量

(12)

4 算例分析與討論

以正六邊形微尺度鈦蜂窩為例，鈦彈性模量E=106.4 GPa，μ=0.33，材料尺度參數(shù)[15]為1.573 μm。蜂窩壁長(zhǎng)L=5 mm，蜂窩厚度t=1 mm。計(jì)算得到微觀彈性模量并與趙金森的宏觀模型[6]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,其結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 毫米級(jí)胞元宏微觀模型對(duì)比 GPa

蜂窩壁長(zhǎng)L=5 μm，蜂窩厚度t=1 μm。計(jì)算得到結(jié)果并與宏觀模型[6]結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 微米級(jí)胞元宏微觀模量對(duì)比 GPa

由上表可知：

正六邊形蜂窩宏觀、微觀等效模型的Ecx=Ecy，這說(shuō)明正六邊形蜂窩芯層的彈性模量在面內(nèi)具有各向同性。

由表1可知，毫米級(jí)胞元的宏觀面內(nèi)彈性模量與微觀面內(nèi)彈性模量差值很小。由表2可知，微米級(jí)胞元的宏觀面內(nèi)彈性模量與微觀面內(nèi)彈性模量差距較大，剪切模量更為明顯。

這說(shuō)明當(dāng)胞元尺寸較大時(shí)，本文模型可退化為宏觀模型[6]；而當(dāng)胞元尺寸較小時(shí)，本文模型結(jié)果與宏觀模型結(jié)果存在較大差距，材料的尺度效應(yīng)不容忽視，本文模型可以有效地反映尺度效應(yīng)。

綜上，微觀計(jì)算結(jié)果均大于宏觀結(jié)果，當(dāng)蜂窩的幾何尺寸處于宏觀時(shí)(尺度參數(shù)遠(yuǎn)小于幾何尺寸)，兩種理論結(jié)果基本相同，本文模型反映出材料的宏觀剛度。當(dāng)梁的幾何尺寸處于微觀狀態(tài)時(shí)，材料出現(xiàn)了尺度效應(yīng)，材料較宏觀狀態(tài)下有更高的剛度。這種材料剛度受幾何尺寸影響的結(jié)果與微觀實(shí)驗(yàn)[7]觀察到的現(xiàn)象相符，因此能夠證明本文模型較傳統(tǒng)模型能有效地反映尺度效應(yīng)。