王妙妙，江怡帆，趙 悅，姬利海

(1.北京工業(yè)大學(xué),北京 100190；2.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094；3.多倫多大學(xué)，多倫多 M5S 2E8；4.東北師范大學(xué),吉林 長春 130024)

0 引 言

無源定位技術(shù)能在自身不輻射的條件下,隱蔽確定輻射源位置,具有作用距離遠(yuǎn)、抗干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn), 對(duì)于提高系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)效能具有十分重要的作用，因此無源定位已經(jīng)成為電子對(duì)抗的一個(gè)相當(dāng)重要、不可或缺的技術(shù)。雷達(dá)輻射源無源定位方面現(xiàn)有成果主要針對(duì)地面直角坐標(biāo)系意義下開展的工作[1]。眾所周知, 在過去的幾十年中，無源定位技術(shù)的研究不斷深入,主要包括定位精度和效率的分析。其中, 最流行的方法有到達(dá)角(AOA),到達(dá)時(shí)間差(TDOA)和到達(dá)頻率差(FDOA),可參考文獻(xiàn)[2]～ [6]。文獻(xiàn)[7]引入了相位差變化率定位算法(定位速度較快, 但相位差變化率測(cè)量精度需提高), 但該方法對(duì)硬件要求比較高,需要很高的時(shí)差測(cè)量精度，同時(shí)該方法僅適用于大樣本定位, 因此對(duì)于當(dāng)前現(xiàn)代相控陣?yán)走_(dá)的無源偵察很難有效，對(duì)于功率比定位，現(xiàn)有技術(shù)功率測(cè)量精度很有限。由于空對(duì)地偵察過程中受到諸多硬件條件限制, 而基于AOA的單站定位是利用一個(gè)平臺(tái)上單個(gè)或多個(gè)接收機(jī)(絕大部分為單個(gè))在不同時(shí)刻對(duì)信號(hào)方向角測(cè)量和處理獲得目標(biāo)方位經(jīng)緯度信息, 具有經(jīng)濟(jì)性、機(jī)動(dòng)性、靈活性, 同時(shí)不需要對(duì)外數(shù)據(jù)通信等優(yōu)點(diǎn), 所以基于單偵察站(AOA)無源定位是空對(duì)地偵察中應(yīng)用最廣的定位方法[8-10]。遺憾的是, 現(xiàn)有算法基本都是基于直角坐標(biāo)系推導(dǎo)而來, 本文核心算法解決了現(xiàn)有體制采樣設(shè)備與無源定位算法直接對(duì)接問題, 在實(shí)際地坐標(biāo)條件下討論問題, 同時(shí)充分考慮了地球橢球曲率對(duì)定位模型的影響。本文給出了實(shí)際偵察環(huán)境地坐標(biāo)條件下小樣本和大樣本無源定位算法, 具體包括三維情形下, 兩點(diǎn)定位及理論誤差估計(jì)算法、大樣本廣義最小二乘迭代定位算法, 從理論上小樣本兩點(diǎn)定位確定的解可以作為大樣本迭代定位的迭代初值。

下一節(jié)給出三維地坐標(biāo)與地面直角坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，第2節(jié)給出了地坐標(biāo)條件下小樣本定位算法, 該算法可以為后面大樣本條件下迭代算法提供基本的迭代公式, 同時(shí)可以為迭代算法提供一個(gè)比較好的初值, 兩點(diǎn)定位誤差估計(jì)采用等概率曲線來確定誤差協(xié)方差矩陣所對(duì)應(yīng)的誤差橢圓所覆蓋的定位概率。直角坐標(biāo)和地坐標(biāo)條件下廣義最小二乘迭代算法在第3節(jié)中給出，數(shù)值模擬在第5節(jié)中給出, 本節(jié)從數(shù)值角度分析了第2節(jié)中兩點(diǎn)交叉定位和第3節(jié)中2種迭代定位的定位精度, 同時(shí)分析了針對(duì)快速移動(dòng)目標(biāo)的定位收斂速度、定位精度與目標(biāo)移動(dòng)速度之間的依賴關(guān)系。第5節(jié)給出了總結(jié)。

1 三維地坐標(biāo)與地面直角坐標(biāo)間的變換

地球的實(shí)際形狀為橢球, 以地球的球心o1為坐標(biāo)原點(diǎn),B點(diǎn)為零度經(jīng)緯線的交點(diǎn)之一。以o1B所在直線為x1軸的方向, 赤道所在平面上與x1軸垂直的方向?yàn)閥1軸所在方向,o1z是地心軸所在的直線。赤道接近圓,且半徑為r=a=6 378 137 m。y1o1z1所在平面對(duì)應(yīng)的橢圓短半軸為：b=6 356 752 m。

圖1 地坐標(biāo)與地面直角坐標(biāo)關(guān)系示意圖

(1)

如圖1所示,設(shè)以A點(diǎn)為坐標(biāo)圓點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)架為x2y2z2o2(o2與A重合),其中o2y2為過A點(diǎn)的正北方向,o2x2為過A點(diǎn)的正東方向,o2z2過A點(diǎn)鉛直于地面。結(jié)合公式(1),若僅考慮直角坐標(biāo)系x1y1z1o1與x2y2z2o2之間的平移關(guān)系, 則：

(2)

本文中其它地方也用類似的表示方法。另外,顯而易見,兩坐標(biāo)架之間還存在著依賴于α,γ的旋轉(zhuǎn)變換,結(jié)合公式(2)與旋轉(zhuǎn)變換,一般地,直角坐標(biāo)系x1y1z1o1與x2y2z2o2之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為：

(3)

(4)

2 三維地坐標(biāo)小樣本定位算法

設(shè)兩偵察點(diǎn)位P1(α1,γ1,h1),P2(α2,γ2,h2)及其相應(yīng)的2個(gè)點(diǎn)位的偵察目標(biāo)到達(dá)方位角和俯仰角為(θ1,β1),(θ2,β2),基于這些已知條件求偵察目標(biāo)的經(jīng)緯度(αR,γR,hR)。三維地坐標(biāo)小樣本定位算法基于直角坐標(biāo)系下的交叉定位算法,因此需借助上一節(jié)中的坐標(biāo)變換，先把經(jīng)緯度坐標(biāo)變換為直角坐標(biāo)下的形式。由式(1)知,P1(α1,γ1,h1)在x1y1z1o1坐標(biāo)架中的坐標(biāo)為:

(5)

(6)

類似地,P2(α2,γ2,h2)在x1y1z1o1坐標(biāo)架中的坐標(biāo)為：

(7)

(8)

(9)

(10)

由公式(9)～(10)可知：

(11)

(12)

在直角坐標(biāo)系下三維交叉定位模型為:

(13)

由公式(6)～(8),(11)～(13)可聯(lián)立進(jìn)行兩點(diǎn)交叉定位計(jì)算(只需用公式(13)中的3個(gè)表達(dá)式,這時(shí)不失一般性, 假設(shè)用前3個(gè)表達(dá)式來交叉定位)。

3 三維地坐標(biāo)大樣本定位算法

接下來討論三維地坐標(biāo)條件下廣義最小二乘迭代定位算法：

(14)

(15)

根據(jù)公式(14),有：

(16)

從式(12)可得到：

(17)

(18)

因此,公式(16)和(17)變成：

(19)

hR)cosαRcosγR-

(20)

(21)

經(jīng)一階泰勒展開，上式可簡化為：

(22)

(23)

經(jīng)一階泰勒展開，上式可簡化為：

-NPicosθicos2γi-(1-

2e2)NPitanβicosγisinγi+

(NR+hR)(1-e2)sinγRtanβicosγi-

(24)

(25)

若樣本量m較大時(shí), 可通過下面推廣形式的最小二乘估計(jì), 滿足公式(21)的待估參數(shù)使得采樣點(diǎn)擬合殘差最小:

(26)

(27)

結(jié)合傳統(tǒng)的最小二乘估計(jì)表達(dá)式可給出下面的迭代估計(jì)算法：

(4) 循環(huán)迭代至收斂。

4 數(shù)值模擬

例1(靜態(tài)偵察目標(biāo)情形)，設(shè)偵察機(jī)飛行速度為(300,200)km/h, 初始坐標(biāo)為(28.5°E,37.3°N),初始到達(dá)角為θ=π/3,偵察機(jī)初始高度為h=8 km。設(shè)每隔dt=0.01 s采集1組數(shù)據(jù), 數(shù)據(jù)量為200, 共采集時(shí)間長度為T=1 s。并設(shè)采集到樣本的誤差服從N(0,0.12)的正態(tài)分布。假設(shè)最小二乘方法初始迭代步數(shù)為200, 迭代初值選取為(28.5°E,37.3°N,0.8 km), 迭代收斂誤差限制為10-6，則不同目標(biāo)位置所需要的迭代步數(shù)、迭代結(jié)果以及相對(duì)誤差如表1～表3所示。

在以下的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,定義相對(duì)誤差如下:

(28)

(29)

表1 目標(biāo)位置為(126°E,37°N,1 km)的估計(jì)結(jié)果

表2 目標(biāo)位置為(130.49°E,30.38°N,0.5 km)的估計(jì)結(jié)果

另外, 我們選取2種不同的迭代初值, 定位同一個(gè)目標(biāo)(30°E, 40°N, 1 km)，定位收斂速度、定位精度如表4和表5所示。

表3 目標(biāo)位置為(127°E,40°N,0.3 km)的估計(jì)結(jié)果

表4 初值為(20°E,30.30°N,0.8 km)的估計(jì)結(jié)果

表5 初值為(10°E,60°N,4 km)的估計(jì)結(jié)果

同時(shí), 我們?nèi)匀贿x擇同一個(gè)定位目標(biāo)(30°E, 40°N, 1 km), 選擇的初值分別為小樣本交叉定位坐標(biāo)與任意坐標(biāo), 從定位結(jié)果表5和表6可以看到, 利用小樣本交叉定位的解作為迭代算法的初值收斂速度更快, 迭代所需要的樣本更少, 因此在針對(duì)現(xiàn)代相控陣?yán)走_(dá)的無源定位偵察過程中很有必要引入該迭代定位思路。

從表4～表6結(jié)果可以發(fā)現(xiàn), 本文提出的廣義最小二乘算法對(duì)迭代初值的依賴不強(qiáng), 在另一個(gè)層面上表明本文所提算法具有很好的穩(wěn)定性。

表6 初值選取為到達(dá)角(AOA)計(jì)算得到的值

例 2(動(dòng)態(tài)情形)，假設(shè)偵察機(jī)的初始參數(shù)設(shè)置和例1中一樣, 不失一般性，假設(shè)目標(biāo)初始位置坐標(biāo)為(30°E,40°N,1 km), 并設(shè)其勻速直線運(yùn)動(dòng)速度為VR，則在不同移動(dòng)速度、不同時(shí)刻、相同的迭代初值(20°E,30°N,0.8 km)情況下, 利用最小二乘方法計(jì)算結(jié)果如表7～表10所示。

表7 速度VR=30 km/h的估計(jì)結(jié)果

表8 速度VR=45 km/h的估計(jì)結(jié)果

表9 速度VR=72 km/h的估計(jì)結(jié)果

表10 速度VR=100 km/h的估計(jì)結(jié)果

從表7～表10的數(shù)值模擬結(jié)果可以看出。本文算法對(duì)地面移動(dòng)目標(biāo)的定位性能。算法的定位收斂速度很快, 收斂誤差及相對(duì)誤差都比較小，定位精度很高, 由此可見本文算法可以成功應(yīng)用于實(shí)際應(yīng)用中。

5 結(jié)束語

本文算法主要應(yīng)用于對(duì)靜態(tài)目標(biāo)或慢速移動(dòng)目標(biāo)的定位,并且能夠達(dá)到較高的定位精度。對(duì)于移動(dòng)目標(biāo)定位可以從數(shù)值分析得到滿足不同精度需求時(shí)本文算法能定位的目標(biāo)速度的大小, 基本可以滿足實(shí)際應(yīng)用中對(duì)靜態(tài)目標(biāo)和地面快速移動(dòng)目標(biāo)的定位需求。缺點(diǎn)是計(jì)算太復(fù)雜, 影響計(jì)算速度，硬件化不太方便等,以后可進(jìn)一步通過大量例子進(jìn)行模擬和改進(jìn)。