何春華

原題呈現(xiàn)：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請說明；若不成立，請說明理由.

（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長DB交CF于點(diǎn)H.

①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=2，AD=32時，求線段DH的長.

本題第（1）問、第（2）問①比較簡單，在此不多說明.關(guān)于第（2）問②求DH的長度，備課組教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時展開熱烈討論，并呈現(xiàn)出不同的解題思路.而學(xué)生對此問的解法似乎更勝一籌，值得教師反思總結(jié).整理如下：

解法1（學(xué)生1的解答）：注意到本題中存在一個“8”字形相似，如圖4所示，因此求DH的長考慮分別求出DN和HN的長即可.求DN在Rt△AND中用勾股定理求，求HN利用相似三角形解題.

設(shè)AF與BC交于點(diǎn)M，在Rt△CAB中，AC=AB=2，由勾股定理得：BC=22.由旋轉(zhuǎn)45°可知：∠CAF=∠BAF=∠BAD=45°.∴CM=BM=2，∠AMB=90°=∠DAF，∴BM∥AD，∴△NMB∽△NAD，∴NMNA=BMAD，∴NM=22，∴AN=322=FN.在Rt△AND中，由勾股定理得DN=3210；由①可知BD⊥CF，∴∠DAN=∠NHF=90°，又∠HNF=∠DNA，∴△HNF∽△AND，∴HNFN=ANDN，∴HN=31010，∴DH=HN+DN=3210+31010=9510.

反思：求線段長度一般可利用勾股定理或三角形相似解決，這種解法分別求出構(gòu)成一條線段的兩部分長，需要我們熟悉三角形相似的基本圖形，對同學(xué)們的能力有較高的要求.

解法2（學(xué)生2的解答）：觀察圖形可知DH=BD+BH，因此可分別求出BD與BH的長.

由圖4可知AM=2，∴FM=22.在Rt△CMF中，由勾股定理得CF=10，由（1）可知BD=CF=10.如何求BH呢？仔細(xì)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)Rt△CMF與Rt△CHB中有公共角：∠FCB，∴sin∠FCB=FMCF=BHBC，∴2210=BH22，∴BH=4510，∴DH=BD+BH=9510.

反思：學(xué)生2的解答運(yùn)用了兩個直角三角形的公共角的銳角三角函數(shù)解題，實現(xiàn)了快速解題，這種方法相對思維含量較高，要能發(fā)現(xiàn)Rt△CMF與Rt△CHB中的公共角，往往角等則這兩個角的銳角三角函數(shù)相等，借助這一關(guān)系可列出方程解題，這也是常規(guī)思維，值得學(xué)習(xí).

解法3：（學(xué)生3的解答）由于BD⊥CF，F(xiàn)M⊥BC，因此FM、BH都是△BCF的高，利用三角形面積的不同表示方式也可以求出BH的長.

由解法1、2可知：BC=22，CF=10，NM=22，F(xiàn)N=322，∴FM=22.由S△BCF=12BC×FM=12CF×BH，∴12×22×22=12×10×BH，解得BH=4510，問題得解.

反思：三角形的面積與高緊密相關(guān)，建立面積與高的思維聯(lián)系是一種常規(guī)的通性通法，需要不斷強(qiáng)化對這種方法的認(rèn)識.

總結(jié)：在數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，要給學(xué)生留足探究的空間，學(xué)生會在探究中有所收獲，同時也給學(xué)生留足思維的空間，學(xué)生能思考的問題要留給學(xué)生思考，讓學(xué)生在思考中學(xué)會思維.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)是“悟”出來的，而不是“教”出來的，在習(xí)題課中充分展示學(xué)生的思維，引領(lǐng)學(xué)生靈活探究，給學(xué)生眼前所需要的知識技能、方法技巧等應(yīng)試素質(zhì)，從而為培養(yǎng)學(xué)生未來發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)打好基礎(chǔ).