趙蒙川, 楊 雁, 向 毅

(1. 四川理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 四川 自貢 643000； 2. 四川大學(xué) 商學(xué)院, 四川 成都 610011)

多屬性群決策(MAGDM)問(wèn)題是從含有多個(gè)屬性的一組備選方案中,對(duì)所有備選方案排序并從中選取最優(yōu)方案,廣泛存在于各類社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)中,如政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)、社會(huì)文化學(xué)、建筑學(xué)等.在群決策過(guò)程中,決策者根據(jù)主觀認(rèn)知和判斷對(duì)每一方案的各個(gè)屬性進(jìn)行評(píng)價(jià),如何將具有不同偏好的各個(gè)決策者的決策信息進(jìn)行聚合,并得到一致性的結(jié)果,專家們進(jìn)行了相關(guān)的研究[1-5].

由于模糊和不確定性現(xiàn)象廣泛存在實(shí)際生活中,再加上人類認(rèn)知水平及主觀判斷的局限性,造成決策信息不僅僅是以精確數(shù)的形式出現(xiàn).為了準(zhǔn)確描繪決策過(guò)程中的模糊不確定性,專家學(xué)者針對(duì)不同的語(yǔ)義環(huán)境相繼提出了多種形式的模糊集.1965年,美國(guó)加利福尼亞大學(xué)控制論專家Zadeh[6]首次提出模糊集FS(Fuzzy Sets)的概念,模糊集合的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)的理論和方法能夠處理模糊不確定性現(xiàn)象,至此以后模糊集理論發(fā)展迅速并成功應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.受到人們認(rèn)知水平的限制,常用區(qū)間數(shù)的形式描寫(xiě)決策信息.因此,1986年Turksen[7]提出了區(qū)間模糊集IVFS(Interval-Valued Fuzzy Sets)的理論,其隸屬度都以區(qū)間數(shù)的形式出現(xiàn).由于前述兩類模糊集無(wú)法完整地表達(dá)決策信息,這樣就造成了信息的丟失.為了克服信息丟失而造成決策結(jié)果的不準(zhǔn)確的缺陷.Atanassov[8]在1986年提出直覺(jué)模糊集IFS(Intuitionistic Fuzzy Sets)的基本概念.引入隸屬度、非隸屬度和猶豫度表達(dá)決策的信息,該理論更加全面?zhèn)鬟_(dá)了決策者的主觀意愿.1989年Atanassov等[9]將直覺(jué)模糊集推廣到區(qū)間的形式,給出了區(qū)間直覺(jué)模糊集IVIFS(Interval-Valued IFS)的定義.多屬性群決策問(wèn)題其實(shí)是多名決策者對(duì)某一待評(píng)屬性進(jìn)行評(píng)價(jià),如果遇到?jīng)Q策者們猶豫不決、優(yōu)柔寡斷,同時(shí)他們還無(wú)法說(shuō)服彼此,將會(huì)造成最終的決策結(jié)果很難達(dá)成一致.于是,在2009年文獻(xiàn)[10-11]提出了猶豫模糊集HFS(Hesitant Fuzzy Sets)的基本概念,其隸屬度是由所有可能的值構(gòu)成的集合.2013年,Chen等[12]在猶豫模糊集和區(qū)間模糊集的基礎(chǔ)上,定義了區(qū)間猶豫模糊集IVHFS(Interval-Valued HFS)，其隸屬度是由所有可能的區(qū)間數(shù)構(gòu)成的集合.

逼近理想解排序(TOPSIS)法[13]是最常用的多屬性群決策方法.常規(guī)的TOPSIS方法[13-18]是用精確數(shù)、模糊數(shù)、區(qū)間數(shù)、直覺(jué)模糊數(shù)、區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)以及猶豫模糊元表示決策矩陣中的決策信息.但是,對(duì)于多屬性群決策中以區(qū)間猶豫模糊元表示決策信息的情形,常規(guī)的TOPSIS方法不能有效地解決.為此,本文將TOPSIS法和區(qū)間猶豫模糊集相結(jié)合提出了區(qū)間猶豫模糊TOPSIS(IVHF-TOPSIS)法,用于解決屬性評(píng)價(jià)值為區(qū)間猶豫模糊元的多屬性群決策問(wèn)題.

1 基本理論

定義1[12]令X為一給定的集合,D[0,1]表示區(qū)間[0,1]上的所有閉子區(qū)間組成的集合,則關(guān)于X的區(qū)間猶豫模糊集(IVHFS)為

A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X,i=1,2,…,n}.

(1)

其中,hA(xi):X→D[0,1]表示元素xi∈X屬于集合A的所有可能區(qū)間隸屬度組成的集合,稱hA(xi)為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊元(IVHFE),即

hA(xi)={γ|γ∈hA(xi)},

(2)

這里γ=[γL,γU]是一個(gè)區(qū)間數(shù),γL=infγ和γU=supγ分別表示γ的下界和上界.

IVHFE是IVHFS的基本單元,它可以看成是IVHFS的一個(gè)特例.IVHFE和IVHFS之間的關(guān)系類似于區(qū)間值模糊數(shù)和區(qū)間值模糊集之間的關(guān)系.

定義2[12]假如a=[aL,aU],a=[aL,aU]為2個(gè)給定的區(qū)間數(shù),la=aU-aL,lb=bU-bL,則a≥b的可能度為

(3)

(3)式可以用于比較2區(qū)間數(shù)的大小.

定義3對(duì)于任意的2個(gè)猶豫模糊元h1、h2,它們之間的的距離公式[19]如下：

(4)

(5)

2 廣義區(qū)間猶豫模糊元的距離公式

假設(shè)有2個(gè)區(qū)間猶豫模糊元h1、h2,l=max{lh1,lh2},lh1、lh2分別表示區(qū)間猶豫模糊元h1、h2的區(qū)間數(shù)的個(gè)數(shù).由于區(qū)間猶豫模糊元h1、h2中區(qū)間數(shù)的個(gè)數(shù)不總是相同的.因此,為了便于度量它們之間的距離可以運(yùn)用添加原則,對(duì)區(qū)間數(shù)較少的區(qū)間猶豫模糊元添加或最大或最小的區(qū)間數(shù),直到2個(gè)區(qū)間猶豫模糊元達(dá)到相同的區(qū)間數(shù)個(gè)數(shù).有如下2種添加原則：一是樂(lè)觀者原則,二是悲觀者原則.樂(lè)觀者原則即添加最大值直到lh1與lh2相等,悲觀者原則為添加最小值直到lh1與lh2相等,則區(qū)間猶豫模糊元h1、h2的廣義區(qū)間猶豫模糊元距離公式為

(6)

其中,λ>0,h1,σ(q)、h2,σ(q)分別表示區(qū)間猶豫模糊元h1、h2第q個(gè)最大值；區(qū)間數(shù)的大小按(3)式比較.

顯然該定義滿足距離測(cè)度的3個(gè)條件：

1) 0≤d(h1,h2)≤1,當(dāng)且僅當(dāng)h1=h2時(shí),d(h1,h2)=0；

2)d(h1,h2)=d(h2,h1)；

3) 設(shè)h3為任意的區(qū)間猶豫模糊元,則d(h1,h2)≤d(h1,h3)+d(h3,h2).

特別地,當(dāng)λ=1時(shí),d被稱為區(qū)間猶豫模糊元海明距離；當(dāng)λ=2時(shí),d被稱為區(qū)間猶豫模糊元?dú)W氏距離.

3 區(qū)間猶豫模糊TOPSIS的多屬性群決策方法

對(duì)于一個(gè)多屬性群決策(MAGDM)問(wèn)題,假如有n個(gè)備選方案可供選擇,A={A1,A2,…,An}；每一備選方案需要考慮m個(gè)屬性,X={x1,x2,…,xm},則區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)n×m可以表示如下：

(7)

這里hij表示方案Ai在屬性xj下屬性評(píng)價(jià)值,hij以區(qū)間猶豫模糊元的形式給出.

考慮決策過(guò)程中,屬性類別有2類：

1) 利益型屬性,值越大越好；

2) 耗費(fèi)型屬性,值越小越好.需要將耗費(fèi)型屬性的值轉(zhuǎn)化為利益型的值,即按(8)式原則將區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)n×m正則化為矩陣R=(rij)n×m,

(8)

3.1權(quán)重在多屬性群決策過(guò)程中,每一屬性具有不同的重要程度,因而,獲得屬性的權(quán)重向量至關(guān)重要.本文針對(duì)各決策者主觀給出屬性評(píng)價(jià)值的前提下,根據(jù)各屬性評(píng)價(jià)值的最大化離差度尋求更加符合決策者心理的屬性權(quán)重向量.最大化離差度確定權(quán)重的思想為：當(dāng)某個(gè)屬性在所有的備選方案之間具有越大的離差度時(shí),賦予該屬性較大的權(quán)重；當(dāng)某個(gè)屬性在所有的備選方案之間具有越小的離差度時(shí),賦予該屬性較小的權(quán)重.

對(duì)于屬性xj∈X,方案Ai與所有備選方案之間的離差度計(jì)算如下：

i=1,2,…,n,j=1,2,…,m.

(9)

其中

d(rij,rkj)=

是區(qū)間猶豫模糊元rij與rkj之間的廣義區(qū)間猶豫模糊元距離.令

其中dj(w)表示屬性xj∈X的所有備選方案與其他方案偏差度.

本文通過(guò)最大化離差度求解權(quán)重向量,建立非線性規(guī)劃模型,模型如下：

為了求解上述模型,令

(12)

(12)式表示上述優(yōu)化模型的拉格朗日函數(shù),其中ξ是一個(gè)實(shí)數(shù),表示拉格朗日乘數(shù)變量.則f關(guān)于wj與ξ的偏導(dǎo)數(shù)分別為：

(13)

(14)

根據(jù)(13)和(14)式可以得到

(15)

令

(16)

所以

(17)

歸一化權(quán)重向量

(18)

3.2利用IVHF-TOPSIS法確定貼近度通過(guò)最大化離差度法獲取了各個(gè)屬性的權(quán)重,在屬性評(píng)價(jià)信息給定的情況下,需要尋求一種方法來(lái)綜合評(píng)判每一方案的整體性能,然后對(duì)各個(gè)方案進(jìn)行排序,從中選取最優(yōu)方案.當(dāng)屬性評(píng)價(jià)值為區(qū)間猶豫元,如果采用復(fù)雜的聚合算子進(jìn)行聚合,將造成決策信息的大量丟失,使得最終結(jié)果的可信程度降低.為了克服上述缺陷,本文擴(kuò)展TOPSIS法,將區(qū)間猶豫模糊集和TOPSIS法想結(jié)合,提出區(qū)間猶豫模糊TOPSIS(IVHF-TOPSIS)法,用于解決屬性評(píng)價(jià)值為區(qū)間猶豫模糊元情況下的多屬性群決策問(wèn)題.TOPSIS法的基本思想是在一組備選的方案中,選擇一個(gè)離負(fù)理想解最遠(yuǎn)且離正理想解最近的方案.

因此,在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下,需要重新定義區(qū)間猶豫模糊正理想解A+、區(qū)間猶豫模糊負(fù)理想解A-,定義式如下所示：

j=1,2,…m;i=1,2,…,n〉}=

(19)

j=1,2,…m;i=1,2,…,n〉}=

(20)

(21)

(22)

則方案Ai的相對(duì)貼近度系數(shù)為

(23)

不難發(fā)現(xiàn)

0≤c(Ai)≤1,i=1,2,…,n.

當(dāng)一個(gè)方案離區(qū)間猶豫模糊負(fù)理想解越遠(yuǎn)且離區(qū)間猶豫模糊正理想解越近時(shí),c(Ai)的值就越趨近于1,該方案也越好.因此,可以根據(jù)c(Ai)值的大小,對(duì)備選方案進(jìn)行排序并選出最優(yōu)方案.

3.3算法步驟在屬性權(quán)重完全未知以及屬性評(píng)價(jià)值為區(qū)間猶豫模糊元的條件下,本文給出基于區(qū)間猶豫模糊TOPSIS法的多屬性群決策的決策步驟：

Step 1：對(duì)于一個(gè)多屬性群決策(MAGDM)問(wèn)題,決策矩陣H=(hij)n×m是由決策者以區(qū)間猶豫模糊元形式給出的.然后,根據(jù)(8)式將決策矩陣H=(hij)n×m正則化為矩陣R=(rij)n×m.

Step 2：在權(quán)重信息完全未知的條件下,運(yùn)用(15)～(18)式計(jì)算屬性權(quán)重向量w′.

Step 3：利用(19)和(20)式分別得到區(qū)間猶豫模糊正理想解A+,區(qū)間猶豫模糊負(fù)理想解A-.

Step 5：用(23)式計(jì)算得到每個(gè)方案Ai的相對(duì)貼近度系數(shù)c(Ai)；

Step 6：根據(jù)每個(gè)方案Ai的相對(duì)貼近度系數(shù)c(Ai)的大小,對(duì)所有方案進(jìn)行排序并選出最優(yōu)方案.

4 實(shí)例分析

某網(wǎng)絡(luò)零售企業(yè)為了提高其服務(wù)效率及質(zhì)量,決定在某地區(qū)新建一個(gè)大型倉(cāng)庫(kù),有3個(gè)備選地點(diǎn)A1、A2、A3可供選擇.在倉(cāng)庫(kù)的選址過(guò)程中,需要綜合考慮3個(gè)主要屬性：城市的發(fā)展水平(x1)、銷售目標(biāo)市場(chǎng)及客戶分布(x2)、交通條件(x3),它們都為利益型屬性,如圖1所示.邀請(qǐng)業(yè)內(nèi)專家對(duì)3個(gè)備選地點(diǎn)的各個(gè)屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)打分,屬性評(píng)價(jià)值用區(qū)間猶豫模糊元來(lái)表示,得到對(duì)應(yīng)的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3,如表1所示.

圖 1 倉(cāng)庫(kù)選址考慮的3個(gè)因素

不難發(fā)現(xiàn),表1中的各個(gè)區(qū)間猶豫模糊元的數(shù)量不同,為了方便計(jì)算各區(qū)間猶豫模糊元之間的距離,本文基于樂(lè)觀者原則將表1中所有的區(qū)間猶豫模糊元的數(shù)量統(tǒng)一為3,擴(kuò)充后的結(jié)果如表2所示.

表 1 區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3

表 2 擴(kuò)充后的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

由于所有屬性都為利益型屬性,不需要正則化.在此基礎(chǔ)上,取λ=1,首先,運(yùn)用(15)～(18)式分別確定屬性x1、x2、x3權(quán)重,得到相應(yīng)的權(quán)重向量w′=(0.3658,0.2927,0.3415).

然后,運(yùn)用(19)及(20)式得到區(qū)間猶豫模糊正理想解A+和區(qū)間猶豫模糊負(fù)理想解A-:

A+={〈x1,{[0.7,0.8],[0.5,0.7],[0.3,0.4]}〉,

〈x2,{[0.4,0.7],[0.4,0.7],[0.4,0.7]}〉,

〈x3,{[0.7,0.8],[0.6,0.7],[0.6,0.7]}〉},

A-={〈x1,{[0.3,0.4],[0.3,0.4],[0.2,0.3]}〉,

〈x2,{[0.3,0.6],[0.3,0.6],[0.3,0.6]}〉,

〈x3,{[0.5,0.6],[0.5,0.6],[0.2,0.3]}〉}.

表 3 分離測(cè)度和貼近度系數(shù)

因?yàn)閏(A1)>c(A3)>c(A2),所以最優(yōu)的倉(cāng)庫(kù)選址為備選地址A1.

5 結(jié)論

本文將區(qū)間猶豫模糊元與TOPSIS法想結(jié)合,提出區(qū)間猶豫模糊TOPSIS法,并考慮了在權(quán)重信息完全未知的情況下,采用最大化離差度方法確定屬性權(quán)重,選用本文提出的區(qū)間猶豫模糊TOPSIS法解決屬性權(quán)重完全未知條件下的區(qū)間猶豫模糊群決策問(wèn)題,從而進(jìn)行方案排序優(yōu)選.與已有多屬性群決策方法相比,本文運(yùn)用區(qū)間猶模糊元表示決策信息,一方面,由于區(qū)間猶模糊元在刻畫(huà)客觀世界的模糊性本質(zhì)上更為準(zhǔn)確,且更貼近實(shí)際生活；另一方面,本文是根據(jù)備選方案與正負(fù)理想解的貼近程度而進(jìn)行的排序,相對(duì)于基于聚合算子的區(qū)間猶模糊多屬性群決策方法,可以有效減少?zèng)Q策信息的損失.最后,將本文所提方法用于解決某網(wǎng)絡(luò)企業(yè)的倉(cāng)庫(kù)選址問(wèn)題,檢驗(yàn)了本文方法的有效性.本文所提的區(qū)間猶豫模糊TOPSIS法也可以運(yùn)用到其他領(lǐng)域排序優(yōu)選類問(wèn)題.