劉玉梅，莊嬌嬌，郭艷秀，熊明燁，趙聰聰

(1.吉林大學(xué)交通學(xué)院，吉林長春 130022；2.北京新能源汽車股份有限公司，北京 102600；3.伊利諾伊大學(xué)電氣與計算機(jī)工程系，烏爾瓦納 IL61801；4.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，吉林長春 130118)

為保證高速列車運(yùn)行的平穩(wěn)性，在線路地形變化區(qū)段一般需要設(shè)置縱向坡度或修建隧道或橋梁，其中，設(shè)置縱向坡度可以在保證列車平穩(wěn)運(yùn)行的基礎(chǔ)上，還能大幅節(jié)省修建工程成本。故列車運(yùn)行時，不可避免地會通過具有縱向坡度的線路段。近些年來，隨著我國機(jī)車車輛各項技術(shù)的提升，高速列車的動力性能和制動性能也有了更高的安全保障，使其可以實(shí)現(xiàn)在較陡線路坡度上的安全行駛，因此，軌道線路的最大坡度標(biāo)準(zhǔn)也在逐步放寬[1-4]。

為了研究軌道車輛系統(tǒng)的曲線通過性能，國內(nèi)外學(xué)者越來越廣泛的利用模擬試驗(yàn)臺。如德國的滾振試驗(yàn)臺能夠?qū)崿F(xiàn)軌道車輛整車實(shí)際軌道激擾下的直線、曲線動態(tài)模擬以及模態(tài)分析[5]。文獻(xiàn)[6]開發(fā)了3自由度實(shí)物轉(zhuǎn)向架防地震振動試驗(yàn)臺[6]。長沙機(jī)務(wù)段與有關(guān)單位合作開發(fā)了機(jī)車轉(zhuǎn)向架模擬負(fù)載運(yùn)行試驗(yàn)裝置，可以模擬機(jī)車上坡、下坡和曲線運(yùn)動[7]。

本文借助于課題組所開發(fā)的轉(zhuǎn)向架動態(tài)模擬試驗(yàn)臺的下部雙六自由度運(yùn)動平臺，研究軌道變坡度的室內(nèi)模擬方法。基于變坡度軌道幾何線型的特征和雙六自由度運(yùn)動平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立雙六自由度運(yùn)動平臺的位姿反解模型以及坡道模擬所對應(yīng)的運(yùn)動平臺的位姿轉(zhuǎn)化模型，利用MATLAB/Simulink實(shí)現(xiàn)某一變坡度軌道幾何線型下雙六自由度運(yùn)動平臺的位姿反解解算。本文的解算結(jié)果不僅為室內(nèi)模擬變坡度軌道的雙六自由度運(yùn)動平臺的仿真控制提供了參數(shù)依據(jù)，同時也為進(jìn)一步研究縱向坡度對轉(zhuǎn)向架性能的影響奠定了基礎(chǔ)。

1 變坡度軌道模擬器及位姿反解模型

1.1 變坡度軌道模擬器

本文所借助的軌道模擬器主要由雙六自由度運(yùn)動平臺組成。該六自由度運(yùn)動平臺通過多組協(xié)調(diào)作用的作動器為鋼軌提供橫向、縱向和垂向作用力，并通過固裝在作動器及六自由度運(yùn)動平臺上的三維力和位移傳感器來實(shí)時測量在模擬運(yùn)動過程中的位移和作用力。由于任意運(yùn)動平臺均可在作動器的作用下實(shí)現(xiàn)沿X、Y、Z軸平移以及繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動的六自由度運(yùn)動，所以該軌道模擬器能夠?qū)崿F(xiàn)各種軌道線型與軌道不平順的動態(tài)模擬，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 變坡度軌道模擬器的三維模型

1.2 模擬器位姿反解模型

設(shè)列車的前進(jìn)方向?yàn)閄軸，橫向?yàn)閅軸，垂直方向?yàn)閆軸，根據(jù)雙六自由度運(yùn)動平臺的幾何結(jié)構(gòu)，首先選取雙六自由度運(yùn)動平臺8個垂向作動器的下鉸鏈點(diǎn)所在平面中心為定坐標(biāo)系原點(diǎn)O，建立定坐標(biāo)系O-XYZ；同時，選取平臺1、平臺2的輪對與夾具的兩個切點(diǎn)中點(diǎn)為兩個局部坐標(biāo)系原點(diǎn)O1、O2，分別建立平臺1和平臺2的局部坐標(biāo)系，即O1-X1Y1Z1和O2-X2Y2Z2。

雙六自由度運(yùn)動平臺包括平臺1和平臺2，平臺1、平臺2上分別放置轉(zhuǎn)向架的一位輪對和二位輪對。由圖1可知，每個平臺中分別包含：4個垂向作動器，其關(guān)于平臺局部坐標(biāo)系的X軸和Y軸對稱布置；2個縱向作動器，其關(guān)于平臺局部坐標(biāo)系的X軸對稱布置，且作動器鉸鏈點(diǎn)在平臺局部坐標(biāo)系的Z軸坐標(biāo)為0；1個橫向作動器，橫向作動器在整體上關(guān)于定坐標(biāo)系的Y軸對稱布置，且作動器鉸鏈點(diǎn)在平臺局部坐標(biāo)系的X軸、Z軸坐標(biāo)均為0。平臺的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。為了表述方便，將作動器與運(yùn)動平臺的鉸接點(diǎn)定義為上鉸鏈點(diǎn)，將作動器與鑄鐵平臺或反力支座的鉸接點(diǎn)定義為下鉸鏈點(diǎn)。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

確定雙六自由度運(yùn)動平臺14個作動器的鉸鏈點(diǎn)在定坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示是解算平臺位姿的前提，本文利用齊次坐標(biāo)表示鉸鏈點(diǎn)的空間位置。由于作動器的下鉸鏈點(diǎn)固定安裝在鑄鐵平臺上，故不會產(chǎn)生任何位移和轉(zhuǎn)動，因此只需引入齊次變換矩陣表示上鉸鏈點(diǎn)在空間的平移和轉(zhuǎn)動即可。根據(jù)雙六自由度運(yùn)動平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)(表1)，可得到各作動器的上、下鉸鏈在其局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

作動器1.1～1.7的上鉸鏈點(diǎn)A1在局部坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1中的坐標(biāo)向量可以表示為

( 1 )

作動器1.1～1.7的下鉸鏈點(diǎn)B1在局部坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1中的坐標(biāo)向量可以表示為

( 2 )

作動器2.1～2.7的上鉸鏈點(diǎn)A2在局部坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2中的坐標(biāo)向量可以表示為

( 3 )

作動器2.1～2.7的下鉸鏈點(diǎn)B2在局部坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2中的坐標(biāo)向量可以表示為

( 4 )

利用廣義坐標(biāo)Pi=(αi,βi,γi,li,mi,ni) (i=1,2)描述局部坐標(biāo)相對于定坐標(biāo)的位姿，其中，αi、βi和γi為局部坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系繞X、Y、Z軸的姿態(tài)角;li、mi和ni為局部坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系沿X、Y、Z坐標(biāo)軸的平移量。

根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]定坐標(biāo)(靜坐標(biāo))與局部坐標(biāo)(動坐標(biāo))的轉(zhuǎn)換方法可知，兩個模擬平臺的空間齊次變換矩陣Ti(i=1, 2)可以表示為

( 5 )

各作動器上、下鉸鏈點(diǎn)之間位置向量關(guān)系為

(6)

伸縮量可以表示為

( 7 )

2 變坡度軌道模擬

坡道的坡度一般規(guī)定為上坡為正，下坡為負(fù)，平道為零。平道與坡道、坡道與坡道的交點(diǎn)稱為變坡點(diǎn)。根據(jù)GB 50090—2006《鐵路線路設(shè)計規(guī)范》[10]，道路路線縱斷面是沿道路中線豎直剖切后再展開得到的，根據(jù)鐵路等級、行車速度、工程條件、地形類別和牽引種類等因素將路線縱斷面設(shè)計成一條有起伏的空間線。縱斷面設(shè)計線由直坡線和豎曲線組成，如圖2所示。下面將利用雙六自由度運(yùn)動平臺分別模擬分析直坡線和豎曲線的軌道坡度。

圖2 縱斷面設(shè)計線示例

2.1 直坡線坡道的模擬

在模擬坡度為ir‰的縱向坡道時(圖2中的A1-A2段)，由于轉(zhuǎn)向架通過車輪夾具與運(yùn)動平臺固定，可將兩個臺面視為一體，并將平臺1或平臺2的中心作為運(yùn)動參考點(diǎn)，以簡化計算。

本文選取平臺1的中心為參考點(diǎn)，兩平臺繞通過該點(diǎn)的Y軸做旋轉(zhuǎn)角為θr的圓周運(yùn)動。圖3所示為模擬直坡線坡道時雙六自由度運(yùn)動平臺的狀態(tài)圖，其中O1、O2分別為雙六自由度運(yùn)動平臺中心的初始位置，O1′、O2′分別為雙六自由度運(yùn)動平臺中心運(yùn)動后的位置，θr=arctan(ir‰)。

圖3 直坡線坡道的靜態(tài)模擬

當(dāng)雙六自由度運(yùn)動平臺處于中位時，兩模擬平臺的位姿分別為

( 8 )

結(jié)合坡度定義、車輛的運(yùn)動規(guī)律以及平臺的幾何結(jié)構(gòu)尺寸對圖3的幾何關(guān)系進(jìn)行分析計算，得到平臺的旋轉(zhuǎn)量和平移量為

( 9 )

式中：Δαi、Δβi、Δγi分別為平臺的局部坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)量；Δli、Δmi、Δni分別為沿X、Y、Z軸的平移量(i=1,2)。

兩運(yùn)動平臺的位姿分別為

(10)

將得到的運(yùn)動平臺的理論位姿輸入上述位姿反解模型并進(jìn)行解算，即可得到14個作動器的伸縮量，從而可控制平臺運(yùn)動以實(shí)現(xiàn)變坡度軌道線型的模擬。

2.2 變坡處豎曲線坡道的模擬

豎曲線是一種在線路垂直面上的曲線，當(dāng)兩相鄰坡度的代數(shù)差達(dá)到一定值時，應(yīng)在相鄰坡段間用圓曲線進(jìn)行連接，以改善列車的運(yùn)行環(huán)境，從而保證列車安全平穩(wěn)運(yùn)行。

《鐵路工程技術(shù)規(guī)范》[11]規(guī)定，最大相鄰坡段的坡度代數(shù)差不得超過重車方向的限制坡度值。Ⅰ、Ⅱ級鐵路相鄰坡段的坡度代數(shù)差大于3‰、Ⅲ級鐵路大于4‰ 時，應(yīng)以豎曲線連接[11]。線路所采用的豎曲線按形狀可分為3種：圓曲線形豎曲線、拋物線形豎曲線、連續(xù)短坡(鏈條坡)形豎曲線。

(1)圓曲線形豎曲線坡道的模擬

在直線坡段的變更處，用一個半徑較大的圓弧把相鄰兩個坡段連接起來的豎曲線，稱為圓曲線形豎曲線。當(dāng)列車行駛在如圖4所示的圓曲線形豎曲線坡道時，車輪與路面的切點(diǎn)C1、C2同時處在同一圓弧線上，設(shè)圓弧方程為(x-a)2+(z-b)2=R2(其中a、b和R均為已知值)。模擬圓曲線形豎曲線坡道時(圖2中的A2-A3段)，點(diǎn)C1、C2在軌道模擬器中分別對應(yīng)于平臺的中點(diǎn)O1、O2。根據(jù)圓弧方程及車輛的運(yùn)動規(guī)律，將自變量為x的函數(shù)轉(zhuǎn)變成自變量為t的函數(shù)，即

(11)

結(jié)合列車行駛速度、路線幾何線形可得C1、C2的坐標(biāo)為

(12)

兩運(yùn)動平臺與水平面所成夾角的變化規(guī)律為

(13)

兩運(yùn)動平臺的旋轉(zhuǎn)量和平移量為

(14)

經(jīng)上述分析得出，模擬圓曲線形豎曲線坡道時，兩運(yùn)動平臺的位姿分別為

(15)

圖4 車體在圓曲線形豎曲線坡道上的模擬

(2)拋物線形豎曲線坡道的模擬

拋物線形豎曲線的曲度逐漸變化，將一端的坡度緩緩變化而成為他端的坡度，其圖形與拋體運(yùn)動的軌道形狀相同。該曲線軌道的模擬方法與圓曲線形豎曲線坡道的模擬方法相同，在此不再贅述。

(3)連續(xù)短坡形豎曲線坡道的模擬

連續(xù)短坡是由許多坡度逐漸變化的連續(xù)短小直線組合而成，這些坡度不同的短小直線構(gòu)成一個很平緩的縱斷面。列車通過該坡段可分為兩種情況，一種是車體的前后車輪處在同一坡度的坡段上；另一種是車體的前后車輪處在不同坡度的坡段上。前一種情況與上述直坡線坡道的模擬相同。后一種情況(圖5)下道路的折線方程可表示為

(16)

將自變量為x的函數(shù)轉(zhuǎn)變成自變量為t的函數(shù)，有

(17)

車輪與路面切點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)可以表示為

(18)

經(jīng)上述分析得出兩運(yùn)動平臺的位姿分別為

(19)

圖5 車體在連續(xù)短坡形豎曲線坡道上的模擬

由于實(shí)際縱切面的坡道線是由多種坡段組合而成，所以在模擬變坡度坡道時需分段進(jìn)行，將輸入部分以時間t為變量劃分成多個時間段并分別建立坡道的模擬輸入函數(shù)。每個階段的輸入函數(shù)可參照上述坡道線路的模擬方法進(jìn)行確立。

3 坡度模擬仿真及驗(yàn)證

3.1 坡度模擬仿真

基于上述理論分析，利用Simulink建立坡度模擬仿真模型，如圖6所示。該模型主要包括期望坡度輸入模塊、平臺位姿協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)化模塊、坐標(biāo)變換模塊、作動器位移解算模塊以及輸出顯示模塊。其中平臺位姿協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)化模塊根據(jù)期望坡度及雙六自由度運(yùn)動平臺的位姿協(xié)調(diào)關(guān)系，輸出雙六自由度運(yùn)動平臺位姿。

本文選取轉(zhuǎn)向架常見軸距L=2 500 mm，列車速度根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求確定，這里為后面計算方便選擇列車速度為v=72 km/h。設(shè)列車駛?cè)雸D2所示的變坡度坡道，并對該線型坡道進(jìn)行仿真模擬，對雙六自由度運(yùn)動平臺進(jìn)行位姿反解解算。根據(jù)圖6的Simulink坡度模擬仿真模型，得到作動器的實(shí)時位移解算結(jié)果，如圖7所示。

圖6 坡度模擬仿真模型

圖7 平臺作動器位移

3.2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中平臺1與平臺2的位姿反解數(shù)學(xué)模型、位姿轉(zhuǎn)化模型以及坡度模擬仿真模型的正確性，結(jié)合圖2、圖3所示的變坡度時軌道模擬器的運(yùn)動狀態(tài)，通過對比幾何解析方法計算作動器的伸縮量與仿真模型解算的結(jié)果進(jìn)行分析。鑒于篇幅的限制，此處僅以25‰ 坡度值下作動器2.1、2.3、2.5及2.7為例計算作動器的伸縮量。當(dāng)列車完全駛?cè)肫露葹?5‰ 的坡道時，各作動器的伸縮量見表2。

表2 坡度值為25‰ 時作動器各自伸縮量 mm

因此，作動器2.1的上鉸鏈點(diǎn)A21和下鉸鏈點(diǎn)B21相對于O1的初始二維坐標(biāo)為

(20)

(21)

結(jié)合直角三角形相關(guān)理論可得

(22)

進(jìn)一步可求得A21′的坐標(biāo)為

(23)

(24)

根據(jù)向量范數(shù)可得

(25)

作動器2.1的伸縮量為

(26)

根據(jù)表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)，將x1=400 mm，z1=990 mm，z2=3 920 mm，l0=1 250 mm帶入可得ΔL21=ΔL22=52.89 mm。同理可得，ΔL23=ΔL24=72.89 mm，ΔL25=ΔL26= 1.834 mm，ΔL27=0.662 mm。仿真模型計算得到的伸縮量為：ΔL21= ΔL22=52.89 mm，ΔL23=ΔL24=72.89 mm，ΔL25=ΔL26= 1.834 mm，ΔL27=0.666 2 mm。由上述可知，利用仿真模型解算得到的作動器伸縮量與幾何分析法得到的結(jié)果具有較好的一致性，從而驗(yàn)證了該雙六自由度運(yùn)動平臺位姿反解仿真模型以及本文坡道線路的模擬方法的正確性。

4 結(jié)束語

本文基于變坡度軌道幾何線型的特征和雙六自由度運(yùn)動平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)，建立雙六自由度運(yùn)動平臺的位姿反解模型以及坡道模擬所對應(yīng)的平臺位姿轉(zhuǎn)化模型，并且借助MATLAB/Simulink搭建了變坡度模擬仿真模型，進(jìn)而對列車在某段變坡度線路行駛情況進(jìn)行了仿真。本文以模擬列車駛?cè)肫露?5‰的坡道為例，通過幾何解析方法對作動器伸縮量進(jìn)行計算，并與位姿解算模型結(jié)果進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證了本文所建模型的正確性。本文的解算方法為室內(nèi)模擬變坡度軌道的雙六自由度運(yùn)動平臺的仿真控制提供了參數(shù)依據(jù)，同時也為研究變坡度下車輛或轉(zhuǎn)向架的性能奠定了基礎(chǔ)。