,2 ,2

(1.西安交通大學(xué)動力工程多相流國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 陜西西安 710049；2.西安交通大學(xué)蘇州研究院 江蘇蘇州 215123)

高速透平機(jī)械為滿足較高的效率往往需要維持較高的工作轉(zhuǎn)速，氣體軸承由于其高轉(zhuǎn)速、低摩擦、無油潤滑等特點(diǎn)在高速透平機(jī)械中具有良好的應(yīng)用前景[1]。氣體軸承的工作原理與傳統(tǒng)油潤滑軸承是基本相同的，不同的是采用氣體代替潤滑油作為潤滑介質(zhì)，利用氣體的黏性提高軸承間隙中的壓力以達(dá)到承載的作用[2]。箔片氣體軸承作為氣體軸承的一種，由于其柔性表面與彈性支撐的特性，具有良好的剛度與阻尼特性，可以有效抑制轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的振動與渦動，使轉(zhuǎn)子保持平穩(wěn)運(yùn)行。

國內(nèi)外目前均有將動壓氣體軸承應(yīng)用在工程產(chǎn)品的實(shí)例。美國的Creare公司在研發(fā)應(yīng)用于航天領(lǐng)域的微型透平時使用了動壓氣體軸承，該公司開發(fā)的微型透平轉(zhuǎn)子很小，其直徑僅幾毫米，但轉(zhuǎn)速達(dá)幾千轉(zhuǎn)每秒，使得除動壓氣體軸承之外其他形式的高速軸承均無法滿足要求[3]。西安交通大學(xué)從19世紀(jì)80年代中期開始，對透平機(jī)械采用的動壓氣體軸承進(jìn)行了系統(tǒng)的基礎(chǔ)研究，對動壓氣體軸承的設(shè)計(jì)與應(yīng)用開展了一系列研究工作，先后開發(fā)出十余種動壓氣體徑向與止推軸承[4]。

目前針對箔片軸承的理論研究主要集中在對軸承本身的數(shù)值計(jì)算以及實(shí)驗(yàn)分析，而較少有對整個軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究。箔片軸承的最大特點(diǎn)集中在其柔性特征對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量耗散與穩(wěn)定性方面，因此，僅對軸承進(jìn)行數(shù)值分析是片面的。為了更深層次地揭示高速轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性，本文作者通過有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模的方法對箔片軸承支承的高速透平轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了有限元數(shù)值分析。

1 有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析方法是一種經(jīng)典的轉(zhuǎn)子動力學(xué)頻域分析方法[5]。文中針對箔片軸承有限元數(shù)值分析，是以一臺高速透平膨脹機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對象進(jìn)行有限元離散，通過各單元節(jié)點(diǎn)的位移對整個單元內(nèi)任意位置點(diǎn)的位移進(jìn)行描述，從而建立了運(yùn)動方程并擴(kuò)展到整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，進(jìn)而得到整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動方程。模型中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包括剛性主軸、止推盤和2個起支撐作用的徑向箔片軸承(忽略止推軸承影響)，其中主軸兩端分別裝配有透平工作輪和風(fēng)機(jī)輪。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與有限元離散示意圖如圖1所示，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1和表2所示。

圖1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有限元離散示意圖Fig 1 Finite element discrete schematic diagram of rotor structure

表1 透平膨脹機(jī)的基本尺寸Table 1 Main parameters of the turbo expander

表2 工作輪與風(fēng)機(jī)輪質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量Table 2 Mass and rotary inertia of work wheel and fan wheel

文中針對高速透平膨脹機(jī)建立的有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型由軸段單元、輪盤單元和軸承單元3種單元構(gòu)成。主軸部分采用軸段單元描述，工作輪、風(fēng)機(jī)輪、止推盤采用輪盤單元描述，2個徑向箔片軸承用軸承單元描述[6]。

文中的有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型對軸段單元的有限元分析采用梁理論并考慮其剪切應(yīng)變[7]，軸段單元示意圖如圖2所示，每個節(jié)點(diǎn)有x、y2個方向的撓度和撓曲轉(zhuǎn)角，即每個節(jié)點(diǎn)有4個自由度，每個單元共有8個自由度，但這2個方向的撓度和撓曲轉(zhuǎn)角都是相互獨(dú)立的。根據(jù)一般梁理論，可得到軸段單元的剛度矩陣、質(zhì)量慣性矩陣、轉(zhuǎn)動慣性矩陣和陀螺力矩陣[8]。將軸段單元的轉(zhuǎn)動慣性矩陣、質(zhì)量慣性矩陣和輪盤單元的質(zhì)量矩陣總慣性矩陣M，將輪盤單元的陀螺力矩陣、軸段單元的陀螺力矩陣和軸承單元阻尼矩陣代入總阻尼矩陣B，軸承單元剛度矩陣和軸段單元剛度矩陣代入總剛度矩陣K，得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程：

(1)

在不受外力的情況下，系統(tǒng)做自由振動的運(yùn)動方程[9]為

(2)

上式可改寫為

(3)

寫為矩陣形式為

(4)

求解上式特征值即可求得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自然頻率隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系[10]。

圖2 軸段單元示意圖Fig 2 Schematic diagram of the shaft element

2 有限元數(shù)值分析

在經(jīng)典轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論中，轉(zhuǎn)子渦動被認(rèn)為是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在自然頻率下的自然振動，計(jì)算得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自然頻率即可獲得轉(zhuǎn)子的渦動頻率[11]。文中通過建立高速低溫透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，計(jì)算得到系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下各模態(tài)的渦動頻率，從而得到各個模態(tài)下的渦動頻率曲線。

根據(jù)鼓泡箔片徑向軸承的數(shù)值模型計(jì)算得到25 mm雙層徑向箔片軸承在65 000 r/min下的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)如表3所示。

將數(shù)值計(jì)算所得到的徑向箔片軸承的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)代入有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速大小。示例的計(jì)算僅提取了1～6階臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速進(jìn)行分析，由于更高階的臨界轉(zhuǎn)速已大大超出了高速透平膨脹機(jī)的工作范圍，文中未討論。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對應(yīng)1～6階臨界轉(zhuǎn)速下的模態(tài)振型示意圖如圖3所示，可以看出低頻渦動頻率均為轉(zhuǎn)子剛體運(yùn)動模態(tài)，而高頻渦動頻率對應(yīng)轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子具有較大的剛性而箔片軸承具有較大柔性而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)頻率遠(yuǎn)大于其運(yùn)動模態(tài)頻率。

表3 鼓泡箔片軸承的剛度與阻尼數(shù)值計(jì)算結(jié)果Table 3 Stiffness and damping of protuberant foil bearing

圖3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速與對應(yīng)振型示意圖Fig 3 Critical speed of rotor system and corresponding diagram of vibration

對于高速透平膨脹機(jī)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其工作轉(zhuǎn)速需要遠(yuǎn)離臨界轉(zhuǎn)速以保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，而在低頻渦動頻率與高頻渦動頻率間的較寬轉(zhuǎn)速范圍即是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全工作范圍。從有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型數(shù)值計(jì)算得到的系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速可以看出：4 000～220 000 r/min之間均為系統(tǒng)的安全轉(zhuǎn)速。對于25 mm透平膨脹機(jī)，220 000 r/min已經(jīng)遠(yuǎn)高于其工作轉(zhuǎn)速，4 000 r/min亦遠(yuǎn)低于其設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速，故轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過程中只需跨越低頻渦動頻率運(yùn)行在低頻、高頻渦動頻率間的安全轉(zhuǎn)速范圍即可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，其中箔片軸承的剛度與阻尼特性是保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以具有較大安全轉(zhuǎn)速范圍的關(guān)鍵因素。對于采用箔片軸承作為支撐的高速透平膨脹機(jī)，在其啟動升速過程即可跨越低頻渦動頻率，且箔片軸承良好的阻尼特性可以很好地耗散轉(zhuǎn)子的渦動能量以保證轉(zhuǎn)子的平穩(wěn)運(yùn)行。

為了比較軸承剛度特性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，文中通過改變箔片軸承的箔片厚度使軸承具有不同支撐剛度大小，進(jìn)而對比分析軸承支撐剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的影響。表4所示為不同箔片厚度下軸承的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)。

表5所示為不同箔片厚度的軸承的臨界轉(zhuǎn)速大小?？梢钥闯觯翰煌穸鹊妮S承對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前4階臨界轉(zhuǎn)速具有較大的影響，但對其高階臨界轉(zhuǎn)速基本無影響；隨著軸承所用箔片厚度的增加，軸承的剛度具有明顯的提升，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低階自然頻率具有明顯的提升現(xiàn)象，當(dāng)箔片厚度由0.1 mm增加至1 mm，軸承低階臨界轉(zhuǎn)速由約3 000 r/min增加至12 000 r/min。

表4 不同箔片厚度下軸承的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)Table 4 Stiffness and damping of protuberant foil bearing with different foil thickness

表5 軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速的影響Table 5 The influence of bearing stiffness on critical speed

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的剛度并無變化，其高階臨界轉(zhuǎn)速基本維持在一定的值，但由于隨著軸承剛度的增大，其低階臨界轉(zhuǎn)速逐漸升高，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全轉(zhuǎn)速范圍具有隨軸承剛度升高而減小的趨勢。因此，采用較低剛度的箔片軸承可以使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有更寬的安全轉(zhuǎn)速范圍。然而，低剛度箔片軸承雖然可以使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有更寬的安全轉(zhuǎn)速范圍，但同時軸承剛度的減小會使其在相同載荷下需要達(dá)到更大的偏心率，這對透平工作輪是不利的。同時，更大的徑向軸承偏心率會使軸承在工作過程中發(fā)生更大的局部不均勻變形，易造成軸承的損壞失效，且柔性較大的軸承在啟動時更易發(fā)生磨損，特別是當(dāng)軸承具有一定預(yù)載荷時軸承極易出現(xiàn)磨損失效。

3 轉(zhuǎn)子動力學(xué)時域分析

文中所建立的有限元轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，需先通過攝動法計(jì)算得到箔片軸承的動態(tài)剛度系數(shù)與動態(tài)阻尼系數(shù)，帶入模型再進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算分析。攝動法屬于頻域分析方法的一種，其根據(jù)轉(zhuǎn)子軸心周期運(yùn)動的特點(diǎn)將模型中的時間項(xiàng)得以簡化分析。然而實(shí)際的轉(zhuǎn)子運(yùn)動狀態(tài)并非為準(zhǔn)確周期運(yùn)動，其頻率也可能并未單一，這種情況下攝動法運(yùn)用的假設(shè)條件并不成立，使模型的數(shù)值計(jì)算存在較大的誤差。因此文中提出一種時域分析模型。

假定一個質(zhì)量為mr、轉(zhuǎn)動慣量為J而偏心為em的轉(zhuǎn)子，其形心為(xo,yo)質(zhì)心為(xc,yc)，形心與質(zhì)心連線與水平面的夾角為θr，得到轉(zhuǎn)子的運(yùn)動方程并通過Newton-Raphson法進(jìn)行求解。模型的結(jié)構(gòu)簡圖如圖4所示。

圖4 時域模型結(jié)構(gòu)簡圖Fig 4 Schematic diagram of the time domain model

通過轉(zhuǎn)子動力學(xué)時域分析模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的轉(zhuǎn)子軸心軌跡如圖5所示，可以看出：低頻渦動的存在使轉(zhuǎn)子的軸心軌跡呈現(xiàn)明顯的帶狀分布。后續(xù)對轉(zhuǎn)子軸心軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到轉(zhuǎn)子在x、y方向的位移信號，對位移信號進(jìn)行頻譜分析即可獲得轉(zhuǎn)子運(yùn)動的頻率信息。

為了探究時域模型對于轉(zhuǎn)子運(yùn)動狀態(tài)描述的準(zhǔn)確性，文中對一臺采用箔片軸承的高速透平膨脹機(jī)進(jìn)行了相關(guān)試驗(yàn)研究，并將試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證時域分析對于高速透平轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為分析的有效性。試驗(yàn)研究的測試系統(tǒng)與測試元件如圖6所示。

圖5 時域分析模型計(jì)算的軸心軌跡與頻譜分析結(jié)果Fig 5 The orbit of rotor center and the frequency analysis results of the time domain model (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

圖6 試驗(yàn)測試系統(tǒng)與測試元件圖Fig 6 Test system and the tested turbo expander

試驗(yàn)測得25 mm轉(zhuǎn)子在60 000 r/min轉(zhuǎn)速下的軸心軌跡如圖7所示。與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行直觀地對比可以發(fā)現(xiàn)：試驗(yàn)所得轉(zhuǎn)子軸心軌跡與頻譜分析結(jié)果與數(shù)值模型模擬所得結(jié)果吻合良好，兩者均同時存在主頻與低頻2個渦動頻率成分，其中的主頻由轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量引起，與轉(zhuǎn)速頻率一致。由此可見，轉(zhuǎn)子動力學(xué)時域分析模型可以更加直觀準(zhǔn)確地對轉(zhuǎn)子的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行分析。

圖7 試驗(yàn)測得的轉(zhuǎn)子軸心軌跡與頻譜分析結(jié)果Fig 7 The orbit of rotor center and the frequency analysis results by experiment (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

4 結(jié)論

(1)軸承的剛度特性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自然頻率具有重要影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低頻渦動頻率隨軸承剛度的增大而增大，其高階渦動頻率由轉(zhuǎn)子剛度決定。

(2)高速透平轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低階臨界轉(zhuǎn)速與所采用軸承的支撐特性具有重要的聯(lián)系，軸承剛度越大系統(tǒng)低階臨界轉(zhuǎn)速越大。

(3)高速透平轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的高階臨界轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)高于透平的工作轉(zhuǎn)速，其高階臨界轉(zhuǎn)速與軸承的剛度特性無關(guān)，僅由轉(zhuǎn)子剛度決定，采用箔片軸承進(jìn)行支撐可以使透平轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有更寬的安全轉(zhuǎn)速范圍，且其低頻渦動頻率相比透平的工作轉(zhuǎn)速要低得多，僅需在啟動過程中跨越其低階臨界轉(zhuǎn)速即可平穩(wěn)運(yùn)行。

(4)采用轉(zhuǎn)子動力學(xué)時域模型可以更加直觀地描述轉(zhuǎn)子的運(yùn)動狀態(tài)，可以得到轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動軌跡，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好且更加貼合工程實(shí)際。