劉玉亮，鄔樹楠，張開明，吳志剛

1. 大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，大連 116024 2. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

空間太陽能電站(Space Solar Power Station, SSPS)的概念是由美國科學(xué)家Peter Glaser博士于1968年提出[1]。其工作原理可概述為：通過放置在地球軌道上的超大型太陽能電池陣列收集太陽能，并將其轉(zhuǎn)換成微波傳輸?shù)降孛?，之后再將微波轉(zhuǎn)換成電能供用戶使用。相比于地面太陽能發(fā)電系統(tǒng)，SSPS具有發(fā)電效率高，不受晝夜和天氣的影響等優(yōu)點(diǎn)[2]。

與傳統(tǒng)衛(wèi)星相比，SSPS具有超大型的結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)尺寸常達(dá)至千米甚至幾十千米的量級(jí)[2-6]，這個(gè)特點(diǎn)使得重力姿軌耦合效應(yīng)對(duì)其軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)帶來的影響將不能再忽略不計(jì)。實(shí)際上，衛(wèi)星在軌運(yùn)行過程中的軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是通過重力梯度弱耦合在一起的；這種耦合效應(yīng)的大小與衛(wèi)星的質(zhì)量分布，特征尺寸及其指向有關(guān)[7]。傳統(tǒng)衛(wèi)星因具有較小的結(jié)構(gòu)尺寸，在關(guān)于其軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的研究中常忽略它們之間的重力姿軌耦合效應(yīng)。這種做法也應(yīng)用在一些關(guān)于SSPS軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的研究中[8-13]。但對(duì)于SSPS這種具有超大型結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星而言，應(yīng)當(dāng)重新分析重力姿軌耦合效應(yīng)帶來的影響。

目前，在關(guān)于SSPS在軌運(yùn)行中重力姿軌耦合效應(yīng)的研究中，國內(nèi)外的學(xué)者已取得了一些初步的成果?；贖amilton體系，鄧子辰[14]，文奮強(qiáng)[15]，魏乙[16]等建立起了不同構(gòu)型SSPS在軌運(yùn)行過程中的重力姿-軌-結(jié)構(gòu)振動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，并通過數(shù)值仿真結(jié)果分析了其在軌動(dòng)力學(xué)特性，但上述工作并沒有研究重力姿-軌-結(jié)構(gòu)振動(dòng)耦合效應(yīng)對(duì)其軌道，姿態(tài)，及其結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶來的影響。通過對(duì)耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理，Ishimura和Higuchi[17]研究了一種繩系SSPS在軌運(yùn)行過程中軌道，姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的重力耦合動(dòng)力學(xué)特性；研究結(jié)果表明該耦合作用對(duì)其軌道運(yùn)動(dòng)影響較小，可忽略不計(jì)。此外，通過借鑒天體力學(xué)領(lǐng)域中的一些方法和成果[18-19]，一些學(xué)者采用了相似的方法對(duì)SSPS在軌運(yùn)行過程中的重力姿-軌-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析[20-22]。其研究思路可大致概括為：首先將SSPS的結(jié)構(gòu)簡化成板或者梁的形式；之后將其受到的重力，重力梯度力矩和結(jié)構(gòu)振動(dòng)受到的廣義重力進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，保留至有限項(xiàng)，進(jìn)而得到一組具有較高計(jì)算精度但同時(shí)具有強(qiáng)非線性特性的動(dòng)力學(xué)方程；最后通過數(shù)值仿真結(jié)果來評(píng)估重力姿軌耦合效應(yīng)對(duì)其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，軌道運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶來的影響。

然而，上述關(guān)于SSPS重力姿軌耦合效應(yīng)的研究中，大都是僅僅通過數(shù)值仿真的方法進(jìn)行研究[7,14-16,18-22]，并沒有從動(dòng)力學(xué)方程上揭示其內(nèi)部的耦合機(jī)理。此外，由于上述研究中所建立動(dòng)力學(xué)方程強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，其所獲得的仿真結(jié)果也往往具有隨機(jī)性。其主要原因?yàn)椋簩?duì)于強(qiáng)非線性方程，其數(shù)值仿真結(jié)果常常與方程中變量的初值有關(guān)，而在上述研究中變量初值的選取是隨意的。因此，為了更好地了解SSPS在軌運(yùn)行過程中重力姿軌耦合效應(yīng)帶來的影響，有必要從解析的角度對(duì)其耦合動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分析。先前一些學(xué)者的工作為可我們的研究提供參考[23-25]。

本文將重點(diǎn)研究任意相控陣天線式[6]SSPS在地球引力場中的重力姿軌耦合問題，并采用解析法與數(shù)值仿真相結(jié)合的方法對(duì)其耦合動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。本文大致脈絡(luò)如下：首先，通過Hamilton原理推導(dǎo)出SSPS的重力姿軌耦合動(dòng)力學(xué)方程；之后，通過解析法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分析；最后，進(jìn)行數(shù)值仿真與分析，并給出本文的結(jié)論。

1 太陽能電站動(dòng)力學(xué)方程建立

1.1 坐標(biāo)系與假設(shè)

為了便于描述SSPS在空間中的運(yùn)動(dòng)，本小節(jié)將給出一些坐標(biāo)系和符號(hào)的定義。這里忽略結(jié)構(gòu)柔性振動(dòng)帶來的影響，將任意相控陣天線式SSPS簡化為剛體，且只考慮軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。Oe和O分別為地球質(zhì)心和SSPS的質(zhì)心。OeXeYe和OXoYo分別為慣性坐標(biāo)系和軌道坐標(biāo)系。OXbYbZb為SSPS的固聯(lián)坐標(biāo)系，其中，OXb、OYb和OZb均為慣性主軸，且共同構(gòu)成右手坐標(biāo)系。R為O相對(duì)于Oe的位置矢量。ρ為SSPS上任一質(zhì)量微元dm相對(duì)于其質(zhì)心O的位置矢量。r為dm相對(duì)于Oe的位置矢量，且滿足：r=R+ρ。φ為OXb軸相對(duì)于OXo軸的轉(zhuǎn)角，同時(shí)也是SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的俯仰角。θ為位置矢量R相對(duì)于OeXe軸的轉(zhuǎn)角。

圖1 SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic of orbital and attitude motions of SSPS

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

在本節(jié)中，將通過Hamilton原理推導(dǎo)出SSPS在地球引力場中的重力姿軌耦合動(dòng)力學(xué)方程。

SSPS在軌運(yùn)行過程中所具有的動(dòng)能可表示為

(1)

在地球引力場中，質(zhì)量微元dm所具有的引力勢能可表示為

(2a)

(2b)

[(1-3sin2φ)Ixx+(1-3cos2φ)Iyy+Izz]

(3)

將式(1)和式(3)代入到Hamilton原理中：

(4)

可得到SSPS在地球引力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的重力姿軌耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(5a)

(5b)

(5c)

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

在本節(jié)中，將采用解析法對(duì)式(5a),式(5b)和式(5c)進(jìn)行處理，進(jìn)而分析SSPS在軌運(yùn)行過程中的重力姿軌耦合動(dòng)力學(xué)特性。

R=R0+ΔR

(6a)

(6b)

式中：ΔR和Δn分別為重力姿軌耦合效應(yīng)作用下，SSPS的軌道半徑和軌道角速度相比于圓形軌道的偏差。

(7a)

(7b)

C1=R0Δn(t0)+2n0ΔR(t0)

(7c)

(7d)

式中：t0為起始時(shí)間，在本文中設(shè)t0=0。將式(7b) 和式(7d)中的sin 2φ和cos 2φ兩項(xiàng)進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開：

(8a)

(8b)

將式(8a)和式(8b)代入式(7b)和式(7d)，可得ΔR和Δn的解析解形式如下所示：當(dāng)Tφ≠2iπ/n0(i=1,2,3,…)時(shí)，其解析解為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

當(dāng)Tφ=2kπ/n0(k=1,2,3,…)時(shí)，其解析解為

(10a)

(10b)

式中:ΔRp1、Δnp1、ΔRp2和Δnp2均表示方程中的周期變化的項(xiàng)；C2、C3為常數(shù)。

從式(9a)、式(9b)、式(10a)和式(10b)中還可以看出，當(dāng)C2≠0和C3≠0時(shí)，ΔR和Δn中將存在常數(shù)項(xiàng)，這就意味著SSPS的實(shí)際軌道半徑和實(shí)際軌道角速度將會(huì)產(chǎn)生相對(duì)于圓形軌道半徑R0和軌道角速度n0的恒定偏差；由于Δn中存在常數(shù)項(xiàng)，SSPS的位置將會(huì)產(chǎn)生相對(duì)于圓形軌道的線性漂移，即Δθ將會(huì)隨著時(shí)間線性增加(或減小)。當(dāng)C3=0時(shí)，即滿足條件：

(11)

SSPS的位置漂移將會(huì)消失。從式(11)中可以看出，當(dāng)SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定時(shí)，通過選擇適當(dāng)?shù)腃1，即Δn(t0)和ΔR(t0)的值，即可消除重力姿軌耦合效應(yīng)引起的位置漂移。設(shè)SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)為角速度為n0的恒定轉(zhuǎn)動(dòng)，φ的初始值為φ0=0 rad，將上述參數(shù)代入式(11)，并設(shè)Δn(t0)=0 rad/s(或ΔR(t0)=0 km)，可得

圖2 存在恒定對(duì)地指向誤差時(shí)線性模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.2 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by the linear model when there exists a constant earth-pointing error in the pitch angle

(12a)

(12b)

不同軌道初始條件下，ΔR和Δθ隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖3所示。其中，情況1所對(duì)應(yīng)軌道運(yùn)動(dòng)初值為：ΔR(t0)=(2Izz-2.5Ixx+0.5Iyy)/(4mR0)，Δn(t0)=0 rad/s；情況2所對(duì)應(yīng)軌道運(yùn)動(dòng)初值為：ΔR(t0)=0 km，Δn(t0)=0 rad/s。從圖3中可以看出，當(dāng)SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知時(shí)，通過合理地選擇軌道運(yùn)動(dòng)的初始條件即可消除重力姿軌耦合效應(yīng)引起的位置漂移。

圖3 不同軌道初始條件下線性模型 SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.3 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model corresponding to different initial conditions of orbital motion

圖4 共振發(fā)生時(shí)線性模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.4 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model when resonance in orbital motion occurs

3 重力梯度穩(wěn)定式空間太陽能電站

為了節(jié)約運(yùn)行成本，SSPS的主體結(jié)構(gòu)常被設(shè)計(jì)成重力梯度穩(wěn)定式的[3-4,6]。接下來將討論無外界作用力下，重力梯度穩(wěn)定式SSPS的姿態(tài)和軌道動(dòng)力學(xué)特性。相比于SSPS受到的重力梯度力矩，重力姿軌耦合效應(yīng)對(duì)其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的干擾為小量[20-22]。設(shè)外界作用力矩τ=0，且先忽略重力姿軌耦合效應(yīng)帶來的影響，其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為

(13)

式中：kz=(Ixx-Iyy)/Izz。

在本文中僅考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)為擺動(dòng)的情況，設(shè)φ0=0 rad，則式(13)的解為[26]

(14a)

(14b)

(15)

將式(14a)代入sin 2φ和cos 2φ，并進(jìn)行Fourier級(jí)數(shù)展開可得

(16a)

(16b)

式中：k=1,2,3…；從式(16a)和式(16b)可以看出，由于Jocobian橢圓函數(shù)特殊的性質(zhì)[23]，sin 2φ的Fourier級(jí)數(shù)中僅含有奇次項(xiàng)諧波分量，而cos 2φ的Fourier級(jí)數(shù)中則僅含有偶次項(xiàng)諧波分量。由第2節(jié)的分析可知，由于A0=0，故在此種運(yùn)動(dòng)模式下，ΔR和Δn中將不存在隨時(shí)間線性增長的項(xiàng)。此外，當(dāng)Ixx≠Iyy，且滿足條件：Ts=2kπ/n0(k=1,2,3，…)，Ak≠0或Bk≠0時(shí)，SSPS的軌道運(yùn)動(dòng)將會(huì)產(chǎn)生共振。將式(16)與式(15) 進(jìn)行聯(lián)合可得

(17)

圖5 不同初始姿態(tài)角下K(d)的值Fig.5 Values of K(d)corresponding to different values of initial pitch angles

從式(17)可以看出，當(dāng)SSPS的初始姿態(tài)條件d和其質(zhì)量分布特性參數(shù)kz滿足一定條件時(shí)，其軌道運(yùn)動(dòng)將會(huì)產(chǎn)生共振。然而，當(dāng)k取值較大時(shí)，共振常不易發(fā)生；其主要原因有3個(gè)：① 當(dāng)k取值較大時(shí)，式(16a)和式(16b)所對(duì)應(yīng)的共振分量的幅值很小，幾乎為零；② 對(duì)于固定kz，越大的共振周期對(duì)應(yīng)的初始姿態(tài)角φ0越大；由圖5可知，φ0越大，其擺動(dòng)周期對(duì)φ0的變化越敏感，這就意味著由微小的外界擾動(dòng)(如上述分析中所忽略的重力姿軌耦合效應(yīng)帶來的擾動(dòng))引起的φ0微小變化將會(huì)引起擺動(dòng)周期很大的變化，進(jìn)而會(huì)抑制共振的產(chǎn)生；③ 對(duì)于很小的kz，其所對(duì)應(yīng)的重力梯度力矩也會(huì)很小(如式(13)所示)。此時(shí)，重力姿軌耦合效應(yīng)產(chǎn)生的干擾力矩將會(huì)對(duì)其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生較大影響，從而會(huì)抑制共振的產(chǎn)生。

從圖6中可以看出，當(dāng)SSPS的初始姿態(tài)角較小時(shí)，其共振情況所對(duì)應(yīng)的kz約為kz=1/3，kz=1/12 及kz=1/27。其原因?yàn)椋寒?dāng)d取值較小時(shí)，即SSPS的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)為小角度的擺動(dòng)時(shí)，K(d)≈0.5π，將其代入式(17)可得小角度擺動(dòng)時(shí)軌道運(yùn)動(dòng)共振所對(duì)應(yīng)的kz為

(18)

由于重力梯度穩(wěn)定的衛(wèi)星常常在平衡位置附近做小角度的擺動(dòng)，因此在對(duì)SSPS的質(zhì)量分布特性參數(shù)kz進(jìn)行設(shè)計(jì)的過程中，應(yīng)當(dāng)盡量避開式(18) 中所對(duì)應(yīng)的kz的值。

圖6 共振條件下不同kz對(duì)應(yīng)的初始姿態(tài)角φ0Fig.6 Values of initial φ0 corresponding to different values of kz under the resonance condition

圖7 不同kz下線性模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.7 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model corresponding to different values of kz

4 數(shù)值仿真與分析

為了驗(yàn)證第2節(jié)和第3節(jié)中分析的正確性，本節(jié)將采用未簡化后的方程組(式(5a)，式(5b)和式(5c))進(jìn)行仿真，并與第2節(jié)和第3節(jié)的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)SSPS存在恒定的對(duì)地指向誤差時(shí)的軌道動(dòng)力學(xué)特性如圖8所示，其中，仿真初值與圖2相同。

從圖8中可以看出，ΔR和Δn的變化規(guī)律與變化范圍均與圖2相同，說明了第2節(jié)中理論分析的正確性。

不同軌道初始條件下，SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)特性如圖9所示，其中，仿真條件和初值與圖3相同。從圖9中可以看出，兩種情況下，ΔR和Δn的變化規(guī)律與變化范圍與圖3大致相同，但略有區(qū)別，其微小的差別是由忽略的高階非線性項(xiàng)導(dǎo)致的。

圖8 存在恒定對(duì)地指向誤差時(shí)非線性 模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.8 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by the nonlinear model when there exists a constant earth-pointing error in the pitch angle

圖9 不同軌道初始條件下非線性模型 SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.9 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different initial conditions of orbital motion

當(dāng)SSPS的姿態(tài)角φ以0.5n0的恒定姿態(tài)角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)(即滿足共振條件時(shí))的軌道動(dòng)力學(xué)特性如圖10所示。其中，仿真的初始條件與圖4相同。從圖10中可以看出，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖4差別較大，其主要原因是隨著ΔR的增加，圖4中所忽略的高階非線性項(xiàng)將會(huì)改變式(7a)的共振頻率，進(jìn)而會(huì)抑制共振的發(fā)生。相似的分析已在第2節(jié)中進(jìn)行了說明。

當(dāng)僅考慮SSPS受到的保守力，且其質(zhì)量分布特性參數(shù)kz取不同的值時(shí)，其軌道動(dòng)力學(xué)特性如圖11所示，其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)特性如圖12所示。其中，仿真的初始條件與圖7相同。

圖10 共振發(fā)生時(shí)非線性模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.10 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model when resonance in orbital motion occurs

圖11 不同kz下非線性模型SSPS的軌道動(dòng)力學(xué)行為Fig.11 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different values of kz

圖12 不同kz下非線性模型SSPS的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)行為Fig.12 Attitude dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different values of kz

從圖11和圖12可以看出，當(dāng)kz=0.9和kz= 1/12時(shí)，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖7相同；其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)也均為等幅振動(dòng)，說明了第3節(jié)中分析的正確性。其中，當(dāng)kz=1/12時(shí)未發(fā)生共振的原因?yàn)椋菏?16a)和式(16b)中的共振分量幅值很小，幾乎為零，且此時(shí)SSPS受到的重力梯度力矩較小，其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)周期易受到重力姿軌耦合效應(yīng)的影響，進(jìn)而抑制了共振的產(chǎn)生。此外，從圖11和圖12中還可以看出，當(dāng)kz=1/3時(shí)，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖7差別較大，其主要原因?yàn)椋弘S著ΔR的增加，其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的周期將會(huì)受到軌道運(yùn)動(dòng)的影響而產(chǎn)生變化(如式(5c)所示)，進(jìn)而會(huì)抑制共振的發(fā)生。而且從圖12中還可以看出，當(dāng)kz=1/3時(shí)，姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)幅值產(chǎn)生了周期性的變化，其主要原因是由于當(dāng)僅存在保守力時(shí)，重力姿軌耦合效應(yīng)會(huì)引起軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)之間的周期性能量交換。在起始時(shí)刻，SSPS姿態(tài)運(yùn)動(dòng)擺動(dòng)周期為共振周期，軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生共振，能量從姿態(tài)運(yùn)動(dòng)向軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行轉(zhuǎn)移，由于總能量恒定，故姿態(tài)運(yùn)動(dòng)能量變小，即振幅減??；隨著ΔR振幅的增加，重力姿軌耦合效應(yīng)產(chǎn)生的干擾力矩會(huì)改變姿態(tài)運(yùn)動(dòng)擺動(dòng)周期，進(jìn)而軌道運(yùn)動(dòng)共振會(huì)受到抑制，能量又從軌道運(yùn)動(dòng)向姿態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行轉(zhuǎn)移，如此循環(huán)往復(fù)。類似的現(xiàn)象也存在于Mohan等[25]的分析中。

5 結(jié) 論

通過采用解析的方法研究了任意相控陣天線式空間太陽能電站在軌運(yùn)行過程中重力姿軌耦合作用對(duì)其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)的影響，并進(jìn)行了數(shù)值仿真，研究結(jié)果表明：

1) 當(dāng)空間太陽能電站的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)滿足一定規(guī)律時(shí)，軌道運(yùn)動(dòng)將會(huì)產(chǎn)生共振。

2) 重力姿軌耦合效應(yīng)會(huì)引起軌道運(yùn)動(dòng)的長期漂移，通過選擇合適的軌道運(yùn)動(dòng)初始條件可以消除漂移；而且，當(dāng)空間太陽能電站存在恒定的對(duì)地指向誤差時(shí)，重力姿軌耦合效應(yīng)還會(huì)引起軌道運(yùn)動(dòng)的發(fā)散。

3) 當(dāng)空間太陽能電站只受到保守力作用，且kz=(Ixx-Iyy)/Izz=1/3時(shí)，其中，Izz為俯仰軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ixx和Iyy為另外兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；小角度擺動(dòng)下，重力姿軌耦合效應(yīng)將會(huì)引起軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生共振，且姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的振幅也將產(chǎn)生周期性變化，軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)之間存在周期性的能量交換。