趙夢(mèng)晨,趙子龍,馬 青

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

輸氣管道是連接全國(guó)輸送資源的大動(dòng)脈，是我國(guó)發(fā)展必不可少的基礎(chǔ)設(shè)施。西氣東輸工程、川氣東輸工程以及中國(guó)-中亞天然氣管道工程等都是重要的應(yīng)用管線。埋地管道在采空區(qū)，可能會(huì)由于土壤塌方等原因造成輸氣管道暴露在自然環(huán)境中，因此，圍繞裸露管道的基礎(chǔ)性研究是十分必要的。

國(guó)內(nèi)外相關(guān)機(jī)構(gòu)和科研工作者對(duì)裸露的埋地輸氣管道沉降變形、應(yīng)力應(yīng)變及在濕熱環(huán)境中復(fù)合材料梁的振動(dòng)特性等問題已作了大量研究。Hucka[1]等人通過地表的沉降和彎曲變形評(píng)估了管道的應(yīng)力應(yīng)變；張一楠[2]等建立了跨越段的埋地管道與土壤相互作用時(shí)的有限元模型，對(duì)于不同角度的跨越結(jié)構(gòu)和不同規(guī)模土體發(fā)生沉降時(shí)，管道應(yīng)力變化的情況進(jìn)行了研究；Chandiramani[3]等基于高階剪切變形公式建立了復(fù)合材料梁自由振動(dòng)的力學(xué)模型，討論了幾何非線性等對(duì)其振動(dòng)特性的影響；Naidu和Sinha[4]用有限元方法分析了濕熱環(huán)境下復(fù)合材料殼的非線性自由振動(dòng)；蔣寶坤[5]等基于復(fù)合材料在濕熱環(huán)境下的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料梁軸力和彎矩的表達(dá)式，分析了溫度對(duì)軸力和彎矩的影響；孫憲航[6]等用有限容積法建立了裸露輸油管道二維非穩(wěn)態(tài)傳熱模型；魏孔瑞[7]等借助強(qiáng)度理論，建立了懸空管道的沉降變形失效評(píng)估模型，得出了最大允許懸空長(zhǎng)度；楊曉輝[8]等研究了利用變形表達(dá)式對(duì)管道應(yīng)力的影響。

然而，溫度對(duì)裸露管道振動(dòng)特性影響的研究極少，溫度應(yīng)力為σT=EαΔT,可見當(dāng)ΔT較大時(shí)，σT的數(shù)值相當(dāng)可觀。因此，本文基于考慮溫度影響的本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)了管道軸力和彎矩的表達(dá)式，然后利用達(dá)朗貝爾原理得出運(yùn)動(dòng)微分方程，并應(yīng)用里茲法進(jìn)行求解，導(dǎo)出了溫度對(duì)輸氣管道剛度影響的表達(dá)式，最后討論了溫度對(duì)輸氣管道固有頻率的影響。

1 運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

1.1 考慮溫度作用下的管道的本構(gòu)關(guān)系

考慮溫度影響時(shí)管道材料的本構(gòu)關(guān)系[9]可以表示為:

σ=E(ε-εT)

(1)

式中:E為彈性模量；σ為管道應(yīng)力；ε為管道應(yīng)變；εT為管道熱應(yīng)變。

式(1)中的熱應(yīng)變可表示為

εT=αΔT

(2)

式中：α為熱膨脹系數(shù)；ΔT為溫度變化值。

由式(1)和式(2)可得

σ=E(ε-ΔTα)

(3)

式(3)與一般本構(gòu)關(guān)系不同的是可以將溫度效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力考慮在內(nèi)。

1.2 內(nèi)力計(jì)算方程

截面軸力為

式中：A為管道的截面面積，S為靜距。

N=-EΔTαA

(4)

截面彎矩為

(5)

1.3 管道振動(dòng)控制方程

管道長(zhǎng)為l，外直徑為D，如圖1所示。

圖1 管道模型
Fig.1 Model of pipeline

管道受力分析如圖2所示

圖2 管道受力
Fig.2 Force acting on pipeline

基于達(dá)朗貝爾原理，可得管道振動(dòng)微分方程為:

進(jìn)而可得

(6)

將式(4)和式(5)代入式(6)可得

(7)

式(7)即為管道振動(dòng)微分方程。

2 方程解法

本文以兩端簡(jiǎn)支為例，其邊界條件可表示為

(8)

本文采用里茲法進(jìn)行求解，令

其中Φi(x)為滿足邊界條件(8)的一組線性無(wú)關(guān)的試函數(shù)，取

其中qi(t)廣義坐標(biāo)；N為模態(tài)階數(shù)。

將y(x,t)代入式(7)，使等式兩端同乘以Φj(x)并沿管道長(zhǎng)l積分，可得如下方程組

(9)

式中，M為質(zhì)量陣；K為剛度陣，它們分別為

M=[mij]N×N，K=[kij]N×N，i,j=1,2,…,N

其中

將Φi、Φj代入mij和kij得到

取q=Qsin(ωt+Φ)

(10)

式中，Q為廣義模態(tài)，ω為頻率，t為時(shí)間

將式(10)代入式(9)，有

(K-ω2M)Q=0

(11)

式中，(K-ω2M)為系統(tǒng)的特征矩陣，由此求得輸氣管道頻率方程為

|K-ω2M|=0

(12)

將mij、kij代入式(12)中得到

(13)

利用式(13)，即可求得各階固有頻率ωi.

3 數(shù)值計(jì)算與討論

本文管道材料采用X60(L415)，不考慮管道材料參數(shù)隨溫度變化，視為常數(shù)。

表1 管道的相關(guān)參數(shù)
Tab.1 Parameters of pipeline

管道外徑D508 mm管道壁厚t6

3.1 計(jì)算不同長(zhǎng)度下溫度對(duì)固有頻率的影響

在本文中選取管道裸露長(zhǎng)度l分別為10 m、20 m、30 m, 壁厚t=8 mm，計(jì)算溫度變化值在0 ℃到50 ℃時(shí)，溫度對(duì)輸氣管道固有頻率的影響。

由圖3可以看出，溫度對(duì)低階固有頻率的影響較小，對(duì)高階頻率的影響較大，各階固有頻率均隨溫度的升高而降低；管道裸露長(zhǎng)度越長(zhǎng)，溫度對(duì)管道固有頻率的影響越大。

3.2 計(jì)算不同壁厚下溫度對(duì)固有頻率的影響

在本文中取在裸露管道長(zhǎng)度l為30 m，壁厚t=6 mm、8 mm、10 mm.計(jì)算溫度變化值在0 ℃到50 ℃時(shí)，溫度對(duì)輸氣管道固有頻率的影響。

壁厚t=8 mm時(shí)如圖3(c)所示。圖4結(jié)果可以看出，溫度對(duì)低階固有頻率影響不大，對(duì)高階固有頻率影響明顯，影響隨著壁厚的增加而變大，但影響不大。

(a)l=10 m

(b)l=20 m

(c)l=30 m

圖3 三種長(zhǎng)度下溫度對(duì)固有頻率的影響
Fig.3 The influence of temperature on natural frequency in three lengths

(a)t=6 mm

(b)t=10 mm

圖4 三種壁厚下溫度對(duì)固有頻率的影響

Fig.4Theinfluenceoftemperatureonnaturalfrequencyinthreewallthickness

4 結(jié) 論

(1)在最大允許懸空長(zhǎng)度范圍內(nèi)，隨著裸露長(zhǎng)度和壁厚的增加，溫度對(duì)管道固有頻率影響加劇，但影響微小。

(2)溫度對(duì)低階固有頻率的影響較小，對(duì)高階頻率的影響較大。

(3)輸氣管道各階固有頻率隨溫度變化值增大而減小。