章晗 丁漢山

（東南大學(xué)土木工程學(xué)院 南京211100）

引言

彎箱梁橋是一種廣泛應(yīng)用的橋型，一直以來(lái)主要運(yùn)用在城市立交橋的匝道中，近年來(lái)隨著施工技術(shù)的進(jìn)步、國(guó)家經(jīng)濟(jì)實(shí)力的提高，設(shè)計(jì)者對(duì)道路線型的要求也越來(lái)越高。彎箱梁橋不僅能夠很好地適應(yīng)地形地貌和道路線型，而且造型優(yōu)美、富于變化。因此人們對(duì)彎箱梁橋的研究越來(lái)越重視。

橋梁設(shè)計(jì)主要問(wèn)題之一是準(zhǔn)確地計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的內(nèi)力，為了方便而準(zhǔn)確地計(jì)算橋梁內(nèi)力，通過(guò)荷載橫向分布系數(shù)不僅能夠?qū)⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，而且能大大簡(jiǎn)化計(jì)算的工作量。目前，常用的曲線橋梁橫向分布計(jì)算方法主要有梁系理論、板系理論、梁格理論等等。針對(duì)曲線橋梁橫向分布系數(shù)的計(jì)算，李國(guó)豪[1]基于單根曲梁的微分方程，計(jì)算出相應(yīng)變形，然后對(duì)橫截面建立力法正則方程求解截面未知力，從而計(jì)算影響線；姚玲森[2]基于比擬正交異性板法，提出曲線梁的實(shí)用計(jì)算方法；Leon-hardt和Homberg假定橋梁結(jié)構(gòu)為主梁與橫梁處于彈性支承梁關(guān)系的格構(gòu)，按照骨架的力學(xué)性質(zhì)來(lái)求解。

上述理論對(duì)橫向計(jì)算均較精確，本文在梁系理論基礎(chǔ)上，對(duì)鋼-混組合中等跨徑彎梁橋進(jìn)行橫向分布計(jì)算，并進(jìn)行參數(shù)化分析，以得到相應(yīng)的變化規(guī)律。通過(guò)對(duì)鋼-混組合彎橋的橫向分布計(jì)算分析并與有限元計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)比，得出相關(guān)變化規(guī)律，希望對(duì)工程實(shí)踐具有一定參考意義。

1 鋼-混組合彎梁橋的剛接梁法

1.1 單根組合截面曲梁位移的結(jié)構(gòu)力學(xué)解

如圖1所示，在豎向荷載R＝1或扭矩T＝1作用下，結(jié)構(gòu)由同一種材料組成的主梁計(jì)算截面θz＝θp處的撓度及轉(zhuǎn)角計(jì)算公式，根據(jù)文獻(xiàn)[3]如下：

式中：ωR為單位豎向荷載在計(jì)算截面產(chǎn)生的撓度；ωT為單位扭矩在計(jì)算截面產(chǎn)生的撓度；φR為單位豎向荷載在計(jì)算截面產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角；φT為單位扭矩在計(jì)算截面產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角；為主梁的彎扭剛度比；I為主梁的抗彎慣矩；θ0為曲線梁橋的圓心角；θp為荷載作用截面位置；θz為計(jì)算截面位置；θp＝θz為荷載作用截面即為計(jì)算截面。

但是對(duì)于鋼-混組合結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，曲線梁的單梁位移計(jì)算則不能簡(jiǎn)單套用上述公式，必須進(jìn)行截面換算。根據(jù)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]，組合結(jié)構(gòu)抗彎慣性矩和抗扭慣性矩GJ計(jì)算如下：抗彎慣性矩的計(jì)算原則是將混凝土換算成鋼材，遵循保持組合箱梁截面混凝土頂板合力大小不變、合力作用點(diǎn)位置不變以及不改變截面的中性軸，改變混凝土頂板寬度而不改變其高度：

式中：b為混凝土頂板實(shí)際寬度；b′換算之后頂板寬度；αE為鋼材彈性模量與混凝土彈性模量之比；Es為鋼材彈性模量；Ec為混凝土彈性模量。

圖1 單根曲線梁計(jì)算圖示Fig.1 Calculation diagram of single curved beam

將截面換算之后，抗彎慣性矩EI就按換算截面計(jì)算，材料為鋼材，同時(shí)還需考慮內(nèi)橫梁對(duì)抗彎慣性矩的影響，參考文獻(xiàn)[6]中相關(guān)內(nèi)容。同理，組合截面抗扭慣性矩GJ的計(jì)算也必須進(jìn)行截面換算，基本原則同上，只將混凝土頂板厚度進(jìn)行換算，之后按鋼材和換算后截面計(jì)算：

式中：h為混凝土頂板厚度；h′為換算之后頂板厚度。

1.2 曲梁系的力法正則方程

1.基本假定

（1）將具有n片梁的多梁式鋼-混凝土組合小箱梁橋的荷載橫向分布，可將其在各梁間的中部切開(kāi)，代之以梁間多余豎向剪力和彎矩等，由于縱向剪力和軸力相對(duì)豎向剪力十分小，故可以忽略它們的影響。如圖2所示。

（2）對(duì)任一梁i，可以根據(jù)每片梁所受的力，建立典型的力法方程，分別計(jì)算出方程的各項(xiàng)柔度系數(shù)，求解各個(gè)多余未知力即可得荷載在各個(gè)梁的橫向分配。如圖2所示。各片曲線梁在切口兩側(cè)在單位力作用下的位移不同，圖3、圖4加上標(biāo)加以區(qū)別。

圖2 組合小箱梁截面內(nèi)力Fig.2 Sectional internal force of small box girder

圖3 縫端單位剪力作用下的撓度與轉(zhuǎn)角Fig.3 Deflection and rotation diagram under the action of unit-sheer

圖4 縫端單位彎矩作用下的撓度與轉(zhuǎn)角Fig.4 Deflection and rotation diagram under the action of unit-moment

2.力法方程

根據(jù)力法原理及圖2、圖3和圖4，建立以豎向剪力、彎矩為贅余力的力法方程為：

式中：[δ]為柔度系數(shù)矩陣；｛X｝為贅余豎向剪力和彎矩矩陣；｛Δ｝為外荷載引起的位移矩陣。

柔度系數(shù)計(jì)算如下：

其余δij＝0。

j為外荷載P作用位置，則有：

其余Δ（i+n-1）p，j＝ 0。

式中：δi，j為荷載xj方向作用單位荷載產(chǎn)生沿荷載xi方向的變形（撓度或轉(zhuǎn)角）；為第i號(hào)曲梁在單位荷載或力P作用下產(chǎn)生的撓度；f為單位豎向荷載作用在小箱梁懸臂端部時(shí)在該處產(chǎn)生的彈性撓度，由于各片梁曲率半徑和跨徑相接近可忽略其影響；φi為單位扭矩作用于第i號(hào)小箱梁截面扭心時(shí)引起的截面扭轉(zhuǎn)角；φi′為第i號(hào)小箱梁懸臂端部作用有單位彎矩在懸臂端部產(chǎn)生的彈性扭轉(zhuǎn)角，同上忽略曲率半徑和跨徑影響；f′在箱梁懸臂端部作用有單位彎矩時(shí)在懸臂端部產(chǎn)生的彈性撓度或在小箱梁端部作用有單位豎向荷載時(shí)在懸臂端部產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角。

1.3 荷載橫向分布影響線

解出上述力法方程為即可得到各切口的未知力，由此便可計(jì)算各主梁分配荷載的橫向分配系數(shù)。由第i行的運(yùn)算，可得第i號(hào)梁的豎向荷載分配系數(shù)：

式中：ηi1為單位豎向荷載作用在1號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的豎向反力；ηii為單位豎向荷載作用在i號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的豎向反力；ηi3為單位豎向荷載作用在3號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的豎向反力；ηi4為單位豎向荷載作用在4號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的豎向反力。

第i號(hào)梁扭矩分配系數(shù)：

式中：φi1為單位豎向荷載作用在1號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的扭矩；φii為單位豎向荷載作用在i號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的扭矩；φi3為單位豎向荷載作用在3號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的扭矩；φi4為單位豎向荷載作用在4號(hào)梁對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的扭矩。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，對(duì)計(jì)算所得橫向分配系數(shù)采取線性內(nèi)插方法計(jì)算第i號(hào)梁的荷載橫向分布影響線。任意位置處的荷載P＝1對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的豎向荷載計(jì)算如圖5所示，至于任意位置處荷載P＝1對(duì)i號(hào)梁產(chǎn)生的扭矩則只需將相應(yīng)豎向荷載分配系數(shù)η換為扭矩分配系數(shù)φ。

圖5 i號(hào)梁荷載橫向分布影響線計(jì)算示意Fig.5 Transverse distribution influence line of beam i

2 參數(shù)分析

為了探索出彎梁橋橫向分布系數(shù)與橋梁跨徑L以及曲率半徑R的關(guān)系，利用MATLAB程序，根據(jù)上述相關(guān)理論，編寫(xiě)相關(guān)程序得到理論計(jì)算結(jié)果用以分析多梁式鋼-混組合彎箱梁橋橫向分布與橋梁跨徑和曲率半徑之間的關(guān)系。

計(jì)算模型如下：彎箱梁橋的組合箱梁由U型鋼梁通過(guò)剪力連接件和混凝土頂板連接而成，U型鋼梁設(shè)有加勁肋和橫隔板。主梁組合箱梁橋面寬17.8m，梁高為2.47m，每個(gè)U 梁寬2.27m，混凝土板厚220mm，U型鋼梁腹板與底板厚20mm，底板縱向加勁肋與腹板橫向加勁肋厚也為20mm，橫隔板厚16mm。鋼材為Q235B，彈性模量為2.06×1011MPa，泊松比為0.3?；炷翗?biāo)號(hào)為C50，彈性模量為3.45×1010MPa，泊松比為0.167。主梁截面如圖6所示。

圖6 箱梁橫截面示意Fig.6 Cross section of box girder

由于截面不變，故參數(shù)L只從20m～50m變化，以5m每級(jí)遞增；參數(shù)R從50m～300m變化，以50m每級(jí)遞增。結(jié)合曲線梁橋外側(cè)主梁受力撓度大的特點(diǎn)，本文主要研究一號(hào)梁，計(jì)算結(jié)果如表1～表8所示。

由表1～表8可知：對(duì)于中等跨徑曲線橋梁，隨著跨徑的增大，一號(hào)主梁豎向荷載橫向分布系數(shù)逐漸減小，扭矩分布系數(shù)絕對(duì)值卻逐漸增大；隨著曲率半徑的增大，一號(hào)主梁的豎向荷載橫向分布系數(shù)則逐漸增大，扭矩分布系數(shù)絕對(duì)值卻逐漸減小。

表1 η11Tab.1 η11

表2 φ11Tab.2 φ11

表3 η12Tab.3 η12

表4 φ12Tab.4 φ12

表5 η13Tab.5 η13

表6 φ13Tab.6 φ13

表7 η14Tab.7 η14

表8 η14Tab.8 η14

為了更直觀地反映一號(hào)梁橫向分布系數(shù)隨跨徑、曲率半徑的變化規(guī)律，將表中數(shù)據(jù)畫(huà)成變化趨勢(shì)圖，如圖7～圖10所示。由圖7～圖10可知：對(duì)于中等跨徑曲線梁橋，當(dāng)半徑不變時(shí)，一號(hào)梁豎向荷載橫向分布系數(shù)曲線和扭矩橫向分布系數(shù)曲線變化趨勢(shì)與線性變化十分接近；當(dāng)跨徑不變時(shí)，一號(hào)梁豎向荷載橫向分布系數(shù)曲線和扭矩橫向分布曲線斜率均減小，變化趨勢(shì)均類似于指數(shù)變化。

圖7 η11隨跨徑變化Fig.7 Variation of η11with span

3 有限元對(duì)比分析

根據(jù)上述計(jì)算模型，采用大型通用有限元程序ANSYS建立三維空間模型進(jìn)行計(jì)算分析。其中混凝土頂板采用SOLID65單元模擬，U型鋼梁采用SHELL63單元模擬。一共建立12個(gè)有限元模型用以用來(lái)和理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，模型如圖11所示。12個(gè)模型為跨徑L從20m～50m變化，以10m遞增；半徑R從100m～300m變化，以100m遞增。

圖8 φ11隨跨徑變化Fig.8 Variation of φ11with span

圖9 η11隨半徑變化Fig.9 Variation of η11with radius

圖10 φ11隨半徑變化Fig.10 Variation of φ11with radius

根據(jù)前述單梁撓度計(jì)算公式，以R＝100m，L＝30m、40m、50m 為例分別計(jì)算在F＝140kN作用在一號(hào)梁跨中時(shí)，一號(hào)梁的跨中撓度（見(jiàn)表9）。其他曲率半徑和跨徑下的撓度計(jì)算同理。

圖11 有限元模型Fig.11 Finite element model

表9 R＝100m撓度理論計(jì)算結(jié)果Tab.9 Deflection of R ＝100m

表10 理論與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.10 Results of theory and finite element method

根據(jù)表10可得：當(dāng)跨徑較小和曲率半徑較大時(shí)，理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果誤差稍大，但大多都在5%～8%內(nèi)變化且均不超過(guò)10%，對(duì)于其他情況則結(jié)果誤差很小，甚至能達(dá)到小于2%。說(shuō)明剛接梁法適用于計(jì)算多梁式鋼-混組合橋梁而且計(jì)算精度是足夠的，用該方法計(jì)算總結(jié)所得規(guī)律也是正確的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)多梁式鋼-混組合中等跨徑彎箱梁橋的橫向分布計(jì)算問(wèn)題，結(jié)合曲線橋受力特點(diǎn)，通過(guò)改變跨徑和曲率半徑等參數(shù)利用MATLAB程序進(jìn)行理論計(jì)算，得出各主梁的橫向分布系數(shù)并分析總結(jié)相關(guān)變化規(guī)律，然后與ANSYS有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。文中只列出一號(hào)梁的數(shù)據(jù)，但是由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)各梁規(guī)律是類似的，且彎橋外側(cè)梁受力大、撓度大，故選擇一號(hào)梁進(jìn)行分析。最終得出如下結(jié)論：

1.剛接梁法不僅適用于鋼-混組合直橋以及混凝土彎橋的橫向分布，對(duì)鋼-混組合彎橋也同樣適用，而且計(jì)算結(jié)果精度相當(dāng)高，對(duì)工程實(shí)踐具有一定的參考意義。

2.對(duì)于中等跨徑曲線橋梁，隨著跨徑的增大，主梁豎向荷載橫向分布系數(shù)逐漸減小，扭矩分布系數(shù)絕對(duì)值卻逐漸增大；隨著曲率半徑的增大，主梁的豎向荷載橫向分布系數(shù)則逐漸增大，扭矩分布系數(shù)絕對(duì)值卻逐漸減小。

3.對(duì)于中等跨徑曲線梁橋，當(dāng)半徑不變時(shí)，主梁豎向荷載橫向分布系數(shù)曲線和扭矩橫向分布系數(shù)曲線變化趨勢(shì)與線性變化十分接近；當(dāng)跨徑不變時(shí)，主梁豎向荷載橫向分布系數(shù)曲線和扭矩橫向分布曲線斜率均減小，變化趨勢(shì)均類似于指數(shù)變化。