張煜彬
一、了解考點與命題趨向,明確解綜合題的要求
(一)知識考點及能力培養(yǎng)要求
1.準確地掌握基礎知識,具有熟練的基本技能;2.弄清概念,熟記全部定理、法則、公式,特別是定理、法則、公式的適用條件;3.加強分析問題、解決問題的思維訓練,逐步提高解題能力;4.通過變式訓練,拓展學生思維,提高學生的辨別能力,有利于學生克服思維定勢;5.在解題中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,巧解復雜、綜合的數(shù)學問題;6.善于把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力,這也是素質(zhì)教育的要求。
(二)解綜合題的思想方法和解題過程要求
1.認真審題,善于分解,使綜合問題向典型問題轉(zhuǎn)化;2.善于拾漏補遺,力求答案準確無誤; 3、善于運用數(shù)學思想、方法解綜合題;數(shù)學方法有待定系數(shù)法、分類討論法、反證法等;數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、轉(zhuǎn)化、方程等,在解題中能自如地運用。
二、解題方法與技巧的探索,思路方法的培養(yǎng)
學生能力的提高,要依靠在平時的知識積累,在教學中適時拓展知識范圍,引導學生自覺地去思考,從特殊想到一般,從抽象想到具體,由此及彼,由里到外,從而培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力,逐步提高學生歸納、整理知識的能力。使學生走上發(fā)展創(chuàng)新之路,真正實現(xiàn)提高學生解答綜合題的能力與技巧的愿望。
下面是我在教學中,根據(jù)教學內(nèi)容適時補充如下類型題目作學生課后思考題,具體實施辦法:①先用小黑板公布思考題,并作簡要分析,點明解題思路。②多位學生作解后,作評講,肯定最優(yōu)方法。③解題方法規(guī)律總結(jié)。通過長期的訓練,學生解綜合題能力提高較快,取得了較好的教學效果。 類型題目舉例如下。
方法1:數(shù)形結(jié)合法。(借助圖形聯(lián)想,巧解題)
【例1】如圖所示,Rt△AOB的頂點A是直線y=x+m與雙曲線y=mx在第一象限內(nèi)的交點直線y=x+m和x軸交于點C,且S△AOB=3
求:(1)m的值
(2)△ACB的面積
【分析】要求m的值,只需求xy的值即可,由S△AOB=12OB·AB=3,即xy=6,從而求出m的值,確定了直線和雙曲線的解析式,最后解方程組,求出兩圖象的交點A的坐標和BC的長,S△ACB就可以求出。
【解】(略)
【規(guī)律總結(jié)】此題是函數(shù)類形綜合題,凡是求函數(shù)圖象交點問題,常轉(zhuǎn)化為方程組求解,解函數(shù)問題常借助圖象,這就是數(shù)形結(jié)合思想的表現(xiàn)形式。
方法2:分類討論法。(此類題課本中少出現(xiàn)的探索型問題)
【例2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(2,4),頂點的橫坐標為12,它的圖象與x軸交于兩點B(x1,0),C(x2,0),與y軸交于點D,且x12+x22=13,試問:y軸上是否存在點p,使得△POB與△DOC相似(O為坐標原點)?若存在,試求出過P,B兩點直線的解析式,若不存在,請說明理由。
【分析】易求拋物線的解析式為y=-x2+x+6,與x軸交點坐標為(-2,0),(3,0),與y軸的交點坐標為D(0,6),因為題中未給出B,C的確定位置,所以要分兩種情況討論。
【解】(略)
【規(guī)律總結(jié)】此題是就點的不確定性進行討論,即點B的坐標有(3,0)或(-2,0)兩種情況。分類討論思想方法是解探索型問題的一個重要的思想方法。分類的關鍵是捕捉問題中的不確定因親,把握了這一點,一些復雜問題也就轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的簡單問題。
方法3:變換視角。(是逆向思維的運用,巧妙解決問題)
【例3】已知關于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個實根,求實數(shù)a的范圍。
【分析】按常規(guī)思路,把x當成主元,求出x,再對a進行討論,解題過程相當繁瑣,若把a當作主元,這種反“客”為“主”的轉(zhuǎn)換思維技巧很新穎別致。
【解】原方程可變?yōu)椋篴2-(x2+2x)a+x3-1=0,即[a-(x-1)][a-(x2+x+1)]=0,∴x=a+1或x2+x+1-a=0
因為原方程有且只有一個實根,所以方程x2+x+1-a=0無實根。由△<0 ?∴1-4(1-a)<0即a<34。
【規(guī)律總結(jié)】此題順向思維不易解決,變換主元,使問題得以巧解達到創(chuàng)新的解法,令人耳目一新。
方法4:轉(zhuǎn)化法。(幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,也可將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段比去解答)
【例4】如圖,在正方形ABCD中,F(xiàn)是CD上一點,AE⊥AF,AE交CB的延長線于E,連結(jié)EF交AB于G。
(1)求證:DF·FC=BG·CE;
(2)已知當tan∠DAF=13時,△AEF的面積為10m2問當tan∠DAF=23時,△AEF的面積是多少?
【分析】(1)由題設易證Rt△ADF≌Rt△ABEAF=AE,DF=BE,可證Rt△EBG∽Rt△ECF,從而DF·FC=BG·CE。(2)由tan∠DAF=13,可設DF=x,AD=3x,則AE、AF都可由x表示,再根據(jù)ΔAEF的面積即可求得x的值,即得AD的值。
【證明】(略)
【規(guī)律總結(jié)】解此類問題時,若已知條件中合有角的三角函數(shù)值,可將其轉(zhuǎn)化為線段的比,這樣可使問題得到簡解。
方法5:等量轉(zhuǎn)換。(通過幾何,代數(shù)式的等量代換,使條件和結(jié)論能聯(lián)系一起,使問題易解決)
【例5】如圖,已知△ABC及AB邊上任意一點D,DE∥BC交AC于E,DEFG的邊GF在直線BC上,設DE=x,BC=a。
求證:DEFG的面積S不大于三角形ABC的面積的一半。
【分析】DEFG與△ABC兩圖形有一部分重疊,不易觀察面積的大小關系,如對DEFG作等積變換,改用△ABC內(nèi)的某個平行四邊形來觀察,則容易找到兩圖形的關系。
【證明】(略)
【規(guī)律總結(jié)】此題條件與結(jié)論之間的聯(lián)系比較隱蔽,可以通過幾何量的等量移動,實現(xiàn)轉(zhuǎn)暗為明的等量轉(zhuǎn)換。
通過以上形式多樣的訓練,使學生從多種角度,不同方向去分析、思考問題,克服了思維定勢的不利因素,開拓思路,達到以點帶面,舉一反三,觸類旁通的目的,大大提高了解綜合題的能力。
責任編輯 徐國堅