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(1. 上海機(jī)電工程研究所， 上海 201109；2. 上?？臻g電源研究所， 上海 200245)

0 引 言

導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀是導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)的核心，對(duì)自動(dòng)駕駛儀回路動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能的測試通常是通過搖擺臺(tái)對(duì)導(dǎo)彈上的慣測裝置加動(dòng)態(tài)的正弦激勵(lì)，然后測量導(dǎo)彈的舵面反饋，通過對(duì)激勵(lì)信號(hào)和反饋信號(hào)的比較實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈駕駛儀動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能的測試。動(dòng)態(tài)響應(yīng)中一項(xiàng)重要的指標(biāo)便是測量激勵(lì)信號(hào)與反饋信號(hào)的相位差[1]。因此，對(duì)信號(hào)相位差的準(zhǔn)確測量是實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能測試的關(guān)鍵。求取相位差的方法有多種，常用的有零點(diǎn)比較法、頻域分析法、相關(guān)分析法等。零點(diǎn)比較法是通過計(jì)算兩個(gè)同頻信號(hào)通過零點(diǎn)時(shí)刻的時(shí)間差，將時(shí)間差轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的相位差；頻域分析法是通過離散傅里葉變換對(duì)待檢測信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，得到信號(hào)的相頻特性，通過計(jì)算兩路信號(hào)在主頻率處的差值，即可求得兩個(gè)信號(hào)的相位差；相關(guān)分析法是利用信號(hào)的周期性和噪聲隨機(jī)性的特點(diǎn)，通過相關(guān)運(yùn)算(自相關(guān)或互相關(guān))，達(dá)到去除噪聲的目的。采用相關(guān)技術(shù)可以提取淹沒在噪聲中的信號(hào)，得到信號(hào)的諸如頻率、幅度和相位差等參數(shù)值[2]。

1 零點(diǎn)比較法與頻域分析法

1.1 零點(diǎn)比較法原理及其算法實(shí)現(xiàn)

零點(diǎn)比較法的原理是：確定兩個(gè)同為上升趨勢(或下降趨勢)的同頻信號(hào)通過零點(diǎn)的時(shí)刻，計(jì)算其時(shí)間差，然后根據(jù)時(shí)間差來計(jì)算相位差[3]，其原理如圖1所示。

圖1 零點(diǎn)比較法原理Fig.1 Zero across method schematic

判斷兩路信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻的時(shí)間間隔Δt，將時(shí)間差轉(zhuǎn)化為相位差，相位差計(jì)算公式為

(1)

式中，T為信號(hào)周期。

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于實(shí)際信號(hào)是經(jīng)過采樣量化后的離散信號(hào)，故式(1)不能直接應(yīng)用。設(shè)信號(hào)1(x(t))和信號(hào)2(y(t))首次經(jīng)過的零點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)為數(shù)組的第i元素和第j元素，采用式(2)計(jì)算相位差。

(2)

式中：f為被測信號(hào)頻率，fs為采樣頻率。

通常，在實(shí)際測量中直接測到經(jīng)過零點(diǎn)的數(shù)據(jù)的幾率較小，實(shí)際采集的是零點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)據(jù)。如圖1(b)所示的第i和第i+1個(gè)采集點(diǎn)。這樣，可以通過插值的方法求出過零點(diǎn)的值，此時(shí)過零點(diǎn)時(shí)間采用式(3)計(jì)算。

(3)

式中：ti+1為第i+1個(gè)采樣點(diǎn)的采樣時(shí)間；ui和ui+1分別為第i和第i+1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值。由式(4)可以得到兩同頻信號(hào)x(t)和y(t)的相位差為

Δφ=360°(tx-ty)f

(4)

在虛擬儀器編程時(shí)，搜索信號(hào)1中滿足ui>0且ui+1=0或ui+1<0的第i個(gè)采集點(diǎn)，同理搜索出信號(hào)2中對(duì)應(yīng)的第j個(gè)采集點(diǎn)，即可求得兩信號(hào)的相位差。

1.2 零點(diǎn)比較法誤差分析

1.3 頻域分析法原理及其算法實(shí)現(xiàn)

頻域分析法是通過離散傅里葉法對(duì)被檢測信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，從而獲得信號(hào)的相頻特性，然后計(jì)算兩路信號(hào)在主頻率處的相位差值。

在有限區(qū)間(t,t+T)內(nèi)，絕對(duì)可積的任一周期函數(shù)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

(5)

在實(shí)際計(jì)算中，實(shí)際信號(hào)x(t)為離散信號(hào)。設(shè)在周期函數(shù)x(t)和y(t)的一個(gè)周期內(nèi)有N個(gè)采樣點(diǎn)，則他們的基波傅里葉系數(shù)和初相位如式(6)所示。

(6)

則x(t)和y(t)的基波分量的相位差為

(7)

1.4 頻域分析算法誤差分析

一般來說，采樣點(diǎn)數(shù)越多，對(duì)信號(hào)做頻譜分析越能反映實(shí)際信號(hào)的幅頻和相頻特性。在實(shí)際仿真計(jì)算中，在噪聲幅值一定的情況下，采樣頻率越高，測得相位差誤差率越小，這與理論分析一致。在沒有噪聲的情況下，采樣頻率對(duì)測量誤差影響很小，用頻域分析法求出相位差的測量誤差為零，隨著噪聲幅值的增大，測得的相位差誤差也越大，當(dāng)噪聲信號(hào)與有用信號(hào)幅值的比值為0.5時(shí)，誤差率達(dá)到了24.1%，算法已基本失效，算法在低信噪比情況下精度不高。

2 相關(guān)分析法

2.1 相關(guān)分析法原理及其虛擬儀器編程

相關(guān)分析法利用兩個(gè)同頻率正弦信號(hào)的延時(shí)τ=0時(shí)的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差。假如有兩個(gè)同頻信號(hào)，其描述如式(8)所示。

(8)

式中：Nx(t)，Ny(t)為噪聲信號(hào)；A、B為信號(hào)的幅值；ω為信號(hào)的角速度；φ1為信號(hào)x(t)的初始相位；φ2為信號(hào)y(t)的初始相位。兩信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為

(9)

式中：T為信號(hào)周期，當(dāng)τ=0時(shí)有

(10)

理想情況下，噪聲和信號(hào)不相關(guān)，且噪聲之間也不相關(guān)，積分后可得

(11)

另外，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義可知，信號(hào)的幅值和在延時(shí)τ=0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)值關(guān)系如式(12)所示。

(12)

實(shí)際處理的信號(hào)是經(jīng)過采樣后的離散點(diǎn)序列，式(13)～(15)是相應(yīng)的離散時(shí)間計(jì)算公式，其中N為采樣點(diǎn)數(shù)[5]。

(13)

(14)

(15)

相關(guān)分析法計(jì)算原理如圖2所示，含改進(jìn)后算法原理圖，Labview虛擬儀表編程的程序框圖不再列出。

圖2 相關(guān)分析法計(jì)算原理Fig.2 Correlation analysis schematic

2.2 仿真結(jié)果及分析

在仿真實(shí)驗(yàn)1中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號(hào)(混合同頻0.2 V的均勻白噪聲)，采樣頻率為1 kHz、5 kHz、10 kHz和50 kHz的測量值如表1所示。

在仿真實(shí)驗(yàn)2中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號(hào)，采樣頻率為5 kHz和50 kHz，正弦信號(hào)混合噪聲幅值分別為0 V、0.1 V、0.5 V、1 V、2 V和5 V的同頻均勻白噪聲，測量值如表2所示。

表1 相關(guān)分析法中信號(hào)采樣頻率對(duì)相位差測量結(jié)果影響的對(duì)比關(guān)系

表2 相關(guān)分析法中噪聲幅值對(duì)相位差測量結(jié)果影響的對(duì)比關(guān)系

續(xù)表2

從表1可以看出，在噪聲幅值一定的條件下，隨著采樣頻率的提高，測得相位差的誤差率隨之降低。同時(shí)，將相關(guān)分析法計(jì)算結(jié)果與零點(diǎn)比較法和頻域分析法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，相關(guān)分析法對(duì)于信號(hào)中的直流偏移、噪聲等干擾有很強(qiáng)的抑制能力，相比零點(diǎn)比較法和頻域分析法有較高的測量精度[6]。

從表2可以看出，在沒有噪聲的情況下，采樣頻率對(duì)測量誤差影響很小，用相關(guān)分析法求出相位差的測量誤差為零，隨著噪聲幅值的增大，測得的相位差誤差隨之增大。當(dāng)實(shí)際相位差為14.36°且噪聲信號(hào)與有用信號(hào)幅值的比值為0.2時(shí)，測得相位差為19.21°，誤差率達(dá)到了33.7%；當(dāng)噪聲信號(hào)與實(shí)際信號(hào)幅值的比值為0.5時(shí)，測得相位差為34.56°，誤差率達(dá)到了140.7%，算法已經(jīng)失效。但是，當(dāng)實(shí)際相位差為75.63°且噪聲信號(hào)與實(shí)際信號(hào)幅值比值為0.5時(shí)，測得相位差為79.32°，誤差率為4.88%?？梢娫诘托旁氡鹊那闆r下，該相關(guān)分析法仍然保持了較高的測量精度。經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信號(hào)相位差為70°～110°時(shí)，該相關(guān)分析法在低信噪的情況下，仍然能保持較高的測量精度；但當(dāng)信號(hào)相位差為-20°～20°時(shí)，在噪聲比較小的情況下，該算法能保持較高的測量精度，在噪聲幅值比較大，即低信噪比的情況下，該算法誤差較大，因此需要對(duì)該相關(guān)分析法進(jìn)行優(yōu)化與改進(jìn)。

3 相關(guān)分析法改進(jìn)及優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對(duì)第二章中發(fā)現(xiàn)的問題，對(duì)相關(guān)分析法進(jìn)行改進(jìn)，由于在信號(hào)相位差較小(-20°～20°)且低信噪比的情況下，相位差誤差率較大。因此對(duì)式(8)中的信號(hào)x(t)做90°相移，經(jīng)過移相后，信號(hào)變?yōu)閤1(t)。

x1(t)=Asin(ωt+φ1+0.5π)+Nx(t)
=Acos(ωt+φ1)+Nx(t)

(16)

式(11)中的互相關(guān)函數(shù)表達(dá)式變?yōu)?/p>

(17)

在仿真實(shí)驗(yàn)3中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號(hào)，采樣頻率為50 kHz，正弦信號(hào)混合同頻的均勻白噪聲，噪聲幅值分別為2 V和5 V的測量值如表3所示。

表3 移相后相關(guān)分析法噪聲幅值對(duì)相位差測量結(jié)果影響的對(duì)比關(guān)系

從表3可以看出：經(jīng)過移相后，當(dāng)真實(shí)相位差為14.36°、噪聲幅值達(dá)到5 V時(shí)，測得相位差為12.73°，誤差為1.63°，仍能保持較高的測量精度；當(dāng)真實(shí)相位差為75.63°、噪聲幅值為2 V時(shí)，誤差為4.85°，當(dāng)噪聲幅值達(dá)到5V時(shí)，誤差達(dá)到了20.34°，誤差較大。因此，經(jīng)過移相后，雖然在計(jì)算較小相位差(-20°～20°)時(shí)算法精度有了很大提高，但在計(jì)算較大相位差時(shí)(70°～110°)，算法仍然有較大誤差，仍然有待改進(jìn)。

將式(11)與式(12)對(duì)比，可得

(18)

(19)

4 算法應(yīng)用與結(jié)果分析

對(duì)式(19)進(jìn)行仿真計(jì)算與分析，在仿真實(shí)驗(yàn)4中，取峰值為10 V、頻率為50 Hz的正弦信號(hào)，采樣頻率為50 kHz，正弦信號(hào)混合同頻的均勻白噪聲，噪聲幅值分別為2 V和5 V的測量值如表4所示。

從表4可以看出，在實(shí)際信號(hào)幅值為10 V、噪聲幅值達(dá)到2 V和5 V的低信噪比情況下，改進(jìn)后的算法仍然有較高的測量精度。噪聲幅值5V情況下，實(shí)際相位差為14.36°時(shí)，誤差為0.71°;實(shí)際相位差為44.28°時(shí)，誤差為-0.91°;實(shí)際相位差為75.63°時(shí)，誤差為-0.86°。

表4 改進(jìn)后相關(guān)分析法噪聲幅值對(duì)相位差測量結(jié)果影響的對(duì)比的關(guān)系

圖3為某型號(hào)導(dǎo)彈駕駛儀回路測試中偏航回路速率測試的數(shù)據(jù)，紅色曲線表示搖擺臺(tái)輸出數(shù)據(jù)，白色曲線表示三號(hào)舵舵面反饋信號(hào)，使用未改進(jìn)的相關(guān)分析法計(jì)算信號(hào)的相位差為14.52°，使用改進(jìn)后的相關(guān)分析法計(jì)算信號(hào)的相位差為6.90°。通過實(shí)際觀察，搖擺臺(tái)輸出信號(hào)與三號(hào)舵舵面反饋信號(hào)的相位差為5°左右。因此，經(jīng)過仿真計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用分析，改進(jìn)后的相關(guān)分析法能有效提高相位差的測量精度。

圖3 搖擺臺(tái)輸出信號(hào)與舵面反饋信號(hào)曲線Fig.3 Swing table output signal and the rudder surface feedback signal graph

5 結(jié)束語

本文針對(duì)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀回路測試中相位差的測量，介紹和分析了目前常用的測量相位差的三種算法，即零點(diǎn)比較法、頻域分析法和相關(guān)分析法的原理，并運(yùn)用Labview虛擬儀器技術(shù)分別對(duì)這三種算法進(jìn)行了仿真與分析。

零點(diǎn)比較法適用于噪聲幅值較小，即高信噪比的情況。在使用該算法前，可先對(duì)過零點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)擬合，這樣有利于抑制零點(diǎn)噪聲，提高測量精度。

頻域分析法對(duì)噪聲和干擾有一定的抑制能力，但在噪聲幅值比較大的情況下，該方法作用有限。因此，在低信噪比和信號(hào)不規(guī)則的情況下，該算法測量誤差較大。

相關(guān)分析法對(duì)于信號(hào)中的直流偏移、噪聲等干擾有很強(qiáng)的抑制能力，在相同條件下，相關(guān)分析法比零點(diǎn)比較法和頻域分析法有更高的測量精度。在對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化后，在低信噪比的情況下，該算法仍然能保持較高的測量精度。同時(shí)，提高采樣頻率也可以提高測量精度。在對(duì)某型號(hào)導(dǎo)彈駕駛儀回路測試中記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算后，使用該算法計(jì)算相位差能有效提高測量精度且能夠滿足系統(tǒng)對(duì)相位差測試的精度要求。