徐文彬　孫敏

【摘 要】估算作為一種與日常生活直接相關(guān)的重要的數(shù)學(xué)能力，已越來越受到數(shù)學(xué)教育理論界和實(shí)踐界的重視。因此，有必要厘清估算的內(nèi)涵和外延以及為什么要進(jìn)行估算教學(xué)，明晰不同類型的估算對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展分別具有怎樣的獨(dú)特價(jià)值。唯有如此，估算的育人價(jià)值才能借助估算教學(xué)得以彰顯。

【關(guān)鍵詞】估算;估算教學(xué);育人價(jià)值

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）89-0007-05

【作者簡介】1.徐文彬，南京師范大學(xué)（南京，210097）課程與教學(xué)研究所常務(wù)副所長，教授，博士生導(dǎo)師;2.孫敏，江蘇省常州市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇常州，213026）副校長，高級(jí)教師，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，常州市中小學(xué)名教師工作室領(lǐng)銜人，常州市優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人。

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們常常會(huì)自覺或不自覺地用到估算。譬如，為了準(zhǔn)時(shí)到達(dá)某地參加某項(xiàng)活動(dòng)，就要估計(jì)一下什么時(shí)候出門比較合適;為了按時(shí)完成某項(xiàng)任務(wù)，需要估計(jì)一下單位時(shí)間需要完成多少工作量才來得及。估算是計(jì)算能力的重要組成部分，也是一種重要的思想方法和數(shù)學(xué)能力。

一、估算的含義及其特征

（一）估算的內(nèi)涵

估算能力是指個(gè)體在利用一些和估算有關(guān)的策略的基礎(chǔ)上，通過觀察數(shù)的特征、比較結(jié)果和某目標(biāo)之間的大小等方法，獲得概略化結(jié)果的能力。它不需要精確的答案，其發(fā)展依賴于近似數(shù)表征。

估算是一個(gè)有機(jī)整體，由多種成分組成，其內(nèi)涵體現(xiàn)在各種成分的組織與整合上。國外有研究者通過調(diào)查研究，確認(rèn)了估算的三個(gè)成分：重新表述，即更改數(shù)字資料以產(chǎn)生一個(gè)從心理上更易管理的形式但保留問題結(jié)構(gòu)不受損傷的過程;轉(zhuǎn)譯，即將問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變成心理上更易管理的形式;補(bǔ)償，即做出調(diào)整，旨在反映作為轉(zhuǎn)譯或重新明確表述問題的結(jié)果而出現(xiàn)的數(shù)字變異。也有研究者發(fā)現(xiàn)估算有這樣三個(gè)成分：事實(shí)提取、心算和重新表述。可見，估算是一個(gè)過程，是一個(gè)帶有主觀意愿的、個(gè)性化的、復(fù)雜的思考過程。

其實(shí)，估算比精算發(fā)展得更早，且受到教育的影響更小;估算比精算更為原始和底層，在非人類的動(dòng)物身上仍然存在。在估算和精算依賴的底層認(rèn)知機(jī)制上，我們可以從行為實(shí)驗(yàn)和腦成像研究中看到，估算比精算更加依賴空間能力，精算比估算更加依賴語言能力。由此可見，估算是一個(gè)人運(yùn)算素養(yǎng)的重要成分，且更實(shí)用、更常用。

（二）估算的外延

估計(jì)、估算、估測、估數(shù)都涉及“估”，因而很有必要對這幾個(gè)概念及其關(guān)系進(jìn)行分析，并結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行清晰界定。

1.估計(jì)?！稘h語大詞典》將估計(jì)描述為“根據(jù)情況，對事物的性質(zhì)、數(shù)量、變化等做大概的推斷”。有學(xué)者認(rèn)為，不能把估計(jì)片面地看成估算，而應(yīng)看作人類頻繁心理活動(dòng)的一種。估計(jì)是個(gè)體結(jié)合具體數(shù)學(xué)情境，依據(jù)已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，無須經(jīng)歷物理操作而快速地產(chǎn)生一個(gè)近似結(jié)果的一種心理加工過程。因此，估計(jì)是一個(gè)對估算、估測、估數(shù)等概念具有統(tǒng)攝性的上位概念。

2.估算。有學(xué)者將估算定義為粗略的計(jì)算，實(shí)質(zhì)上是一種快速的近似計(jì)算，它的基本特點(diǎn)是對數(shù)值作擴(kuò)大或縮小，從而對運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍，或做出一個(gè)估計(jì)。另有學(xué)者將估算定義為個(gè)體未經(jīng)過精確計(jì)算，而只借助原有知識(shí)對問題提出粗略答案的一種估計(jì)形式，是心算、數(shù)概念和算術(shù)技巧之間相互作用的過程。大家對后者的認(rèn)同度較高，因此，可以把估算界定為對計(jì)算的估計(jì)。

3.估測。估測是十分實(shí)用的日常數(shù)學(xué)技能之一，主要包括對距離、面積、速度、溫度、價(jià)格和重量等方面的估計(jì)。Bright將估測界定為在不使用一般的測量工具的情況下，以某種方法推測出測量結(jié)果的一種心理加工過程。這一定義受到國內(nèi)外研究者的廣泛認(rèn)同，因此，估測就是對測量的估計(jì)。

4.估數(shù)。估數(shù)被認(rèn)為是一種有關(guān)數(shù)字判斷的數(shù)學(xué)問題解決形式，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種適應(yīng)性問題解決方式;是在缺乏充分的時(shí)間來計(jì)數(shù)對象的數(shù)量，或者計(jì)數(shù)對象的數(shù)量過大，或者運(yùn)動(dòng)過快的對象不能準(zhǔn)確計(jì)數(shù)的情況下做出的粗略估計(jì)，是一種高層次的認(rèn)知加工過程。因此，估數(shù)實(shí)際上是對數(shù)量的估計(jì)。

據(jù)此，可以歸納出估計(jì)的一些本質(zhì)特征：運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn);結(jié)合實(shí)際情境;相對快速;滿足一定條件;是心理活動(dòng);結(jié)果是產(chǎn)生一個(gè)判斷。因此，數(shù)學(xué)估計(jì)是主體結(jié)合實(shí)際情境運(yùn)用已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)相對快速且滿足一定條件的數(shù)學(xué)判斷的心理加工過程。有的數(shù)學(xué)估計(jì)是獲得一個(gè)量的判斷，有的是獲得一個(gè)猜想、思路或方法等非量的判斷，前者稱為定量數(shù)學(xué)估計(jì)，后者稱為定性數(shù)學(xué)估計(jì)。

由此可知，估計(jì)是對數(shù)與量體驗(yàn)和感悟、對運(yùn)算過程加工改造和對運(yùn)算結(jié)果預(yù)測估計(jì)的過程。結(jié)合數(shù)學(xué)四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)研究和不同類型數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略研究，以及人們的習(xí)慣，本文不用“估計(jì)”而統(tǒng)一使用“估算”這一概念，并將其細(xì)分為：數(shù)量估算、計(jì)算估算、測量估算、統(tǒng)計(jì)估算。

（三）估算的特征

1.主觀性。估算是一項(xiàng)帶有強(qiáng)烈主觀意愿的活動(dòng)，估算目的、估算過程以及對估算結(jié)果的處理都具有主觀性，可以激發(fā)人主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主探究的愿望，促進(jìn)個(gè)性發(fā)展。

2.意義性。估算不是為估而估，不論是數(shù)學(xué)情境還是生活情境，都能激發(fā)人們估的需求，估算問題具有意義性，能引導(dǎo)人們用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值。

3.開放性。眾多研究者通過對不同年齡階段、不同學(xué)科背景、不同生活經(jīng)驗(yàn)的人的估算能力進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)估算方法因人、因時(shí)、因問題而不同，估算方法具有極大的開放性，可以較好地促進(jìn)學(xué)習(xí)者的知識(shí)與技能之間融會(huì)貫通，培養(yǎng)其思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性。

4.復(fù)雜性。估算雖然可以通過改寫、簡化相對快捷地得出結(jié)果，但其思維過程中步驟更多，具有復(fù)雜性，可以較好地發(fā)展思維的條理性和抽象性，促進(jìn)數(shù)感、數(shù)據(jù)分析能力、推理能力的提升。

5.思辨性。估算出來的結(jié)果往往不能（直接）解決問題，還需要與問題進(jìn)行比較，依據(jù)估算目標(biāo)進(jìn)行推理。因而估算結(jié)果具有思辨性，需要人們用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，最終提升思維的綜合性和概括性。

由此可見，估算活動(dòng)過程中蘊(yùn)含著深刻的教學(xué)意義和多元的育人價(jià)值，估算對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有不可忽視的作用。

二、估算教學(xué)及其特點(diǎn)

（一）我國估算教學(xué)的歷史

1963年，我國就將估算作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容寫進(jìn)了《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》。在2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，“估算”一詞出現(xiàn)了27次之多，估算教學(xué)被提到了前所未有的高度?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將估算作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力和推理能力的重要途徑和手段。

近二十年來，我國小學(xué)估算教學(xué)得到了快速發(fā)展。其在教材中的覆蓋面不斷擴(kuò)大，編排也拾級(jí)而上;教師的估算教學(xué)意識(shí)和水平不斷提高，教學(xué)方法和估算策略逐步走向多樣化;學(xué)生的估算能力得到了一定提高，其思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性也得到了一定的發(fā)展;與估算相關(guān)的能力評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也在逐步探索和強(qiáng)化中。

（二）估算教學(xué)的內(nèi)容

為了讓學(xué)生感受“估”的意義，體驗(yàn)“估”的思想，學(xué)會(huì)“估”的方法，教材在呈現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、常見的量和測量、統(tǒng)計(jì)與概率等教學(xué)內(nèi)容時(shí)，有意識(shí)地滲透“估”的意識(shí)和方法。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要體現(xiàn)于數(shù)量估算、計(jì)算估算和測量估算。從20以內(nèi)數(shù)的估一估、數(shù)一數(shù)到“一億有多大”的實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)量估算旨在讓學(xué)生初步體驗(yàn)估算的作用，逐步滲透估算意識(shí)，提升數(shù)感，它是計(jì)算估算、測量估算的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。計(jì)算估算源于較大數(shù)的計(jì)算困難，滲透在實(shí)際問題情境中，落實(shí)到學(xué)生真實(shí)的生活情境中，如購物、乘車、安排座位等，旨在讓學(xué)生提高問題解決能力和思維的深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。測量估算融于對長度、質(zhì)量、貨幣等相關(guān)度量單位的學(xué)習(xí)之初和運(yùn)用之中，旨在讓學(xué)生在測量估算時(shí)會(huì)用到對數(shù)量和計(jì)算的估算。

“圖形與幾何”領(lǐng)域主要體現(xiàn)于對圖形周長、面積、體積等幾何量的估測、估量等。旨在讓學(xué)生通過估一估、算一算感受量的大小或多少，培養(yǎng)量感，并讓學(xué)生在估測過程中與估數(shù)等經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行對接，使學(xué)生對估算的認(rèn)識(shí)更立體、更多元、更豐富。

“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域主要體現(xiàn)于對可能性的估計(jì)、預(yù)測等?？赡苄约瓤梢泽w現(xiàn)于收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、表現(xiàn)數(shù)據(jù)過程中的判斷與推理，發(fā)展學(xué)生觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、合情推理的能力當(dāng)中，也可以體現(xiàn)于簡單概率，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)問題答案的不確定性以及可能性的大小，初步體會(huì)概率的含義當(dāng)中。

“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域主要體現(xiàn)于生活實(shí)踐中的計(jì)劃與安排等?！靶⌒∩痰辍薄拔覀?nèi)ゴ河巍薄吧蠈W(xué)時(shí)間”等活動(dòng)都是帶領(lǐng)學(xué)生綜合運(yùn)用其他內(nèi)容領(lǐng)域中習(xí)得的方法或策略進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，以增強(qiáng)學(xué)生的估算意識(shí)，提高其估算技巧，在解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)。

（三）估算教學(xué)的特點(diǎn)

1.多元目標(biāo)指向素養(yǎng)的綜合提升。估算教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生善觀察、會(huì)思考的能力，可以提高學(xué)生的生活能力，是提高學(xué)生計(jì)算正確率的基礎(chǔ)，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。此外，估算教學(xué)還有利于訓(xùn)練學(xué)生的思維，有益于學(xué)生對相應(yīng)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)的理解及其數(shù)感和思維的正確性、靈活性、敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性的培養(yǎng)。

2.豐富內(nèi)容以穿插滲透的方式展開。各版本教材都依據(jù)各學(xué)段關(guān)于估算教學(xué)的課程目標(biāo)和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律、知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)合理地安排了估算內(nèi)容，并要求教師通盤考慮、分步實(shí)施。以蘇教版教材為例，例題和習(xí)題中與估算有關(guān)的內(nèi)容共有113處，均圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心與主線，將估算內(nèi)容合理穿插其中，逐級(jí)遞進(jìn)，螺旋上升，做到了整體與局部的有機(jī)統(tǒng)一。

3.過程和結(jié)果都要關(guān)注開放與包容。教學(xué)估算時(shí)，往往需要選擇學(xué)生熟悉的實(shí)際問題作為素材，借助知識(shí)積累或生活經(jīng)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，使其估算能力與估算意識(shí)同生共長。由于不同問題對估算的要求有所不同，不同主體對估算的理解也有所不同，因而估算過程相對于精算過程而言更加開放，估算過程的差異也會(huì)導(dǎo)致估算結(jié)果不盡相同。這就要求教師以一種包容的心態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生既要重視估算過程中方法的選擇與指導(dǎo)，尊重估算方法的差異性，鼓勵(lì)估算方法的多樣化，又要承認(rèn)估算結(jié)果與精算結(jié)果不一致，讓學(xué)生既體會(huì)到估算的簡捷高效，又明晰在解決某些特定問題時(shí)估算的局限性，客觀地處理好估算過程與結(jié)果的關(guān)系。

三、估算教學(xué)的育人價(jià)值

（一）能夠滿足學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的需要

隨著信息技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算工具的普及，人們的計(jì)算方式和觀念都發(fā)生了很大改變。隨之而來的就是基于現(xiàn)實(shí)情境對計(jì)算方法的選擇和對計(jì)算結(jié)果的大致估計(jì)：一是學(xué)生在完成某項(xiàng)任務(wù)，如給同學(xué)分發(fā)糖果、設(shè)計(jì)黑板報(bào)、給禮品盒買包裝紙時(shí)，可以先對糖果的數(shù)量、黑板的面積及其能容納的字?jǐn)?shù)、禮品盒的長寬高等做出粗略的初步估計(jì)，以確定其可行性;二是在計(jì)算器和計(jì)算機(jī)廣泛使用的今天，大量繁雜的計(jì)算被工具所替代，但使用工具的人也需要對計(jì)算結(jié)果的合理性有一個(gè)估計(jì)，因而學(xué)生可以或者說需要在筆算前后用估算進(jìn)行范圍的估計(jì)或驗(yàn)證;三是日常生活中有很多實(shí)際問題不需要精確計(jì)算，有的是因?yàn)槠湫《溃鐚W(xué)生買東西時(shí)，往往會(huì)抹去零頭估一估，有的是因?yàn)槠浯蠖?，如學(xué)生在學(xué)習(xí)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，通過收集數(shù)據(jù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在一些大型的貿(mào)易往來和商品交易中，一些零頭尾數(shù)往往就被忽略不計(jì)了。總之，通過估算教學(xué)，可以幫助學(xué)生逐步掌握自由地用一種非機(jī)械的方法去考慮問題，可以培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)果有概括性、整體性的認(rèn)識(shí)和理解。

（二）能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將估算納入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，與口算、計(jì)算并重。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對估算的要求更加具體化：更關(guān)注估算背景與學(xué)生生活的實(shí)際關(guān)系，更強(qiáng)調(diào)估算對于培養(yǎng)數(shù)感、增強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用，主張淡化估算的知識(shí)性，強(qiáng)調(diào)估算的方法與思想，尤其注重估算的實(shí)踐功能。

具體而言，數(shù)量估算：在生活情境中感受大數(shù)的意義，并通過觀察、畫圖、測量、類比、歸納等活動(dòng)，在發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律、猜測某些結(jié)論的過程中發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)數(shù)感，提高對事物的綜合性和概括性的認(rèn)知能力。

計(jì)算估算：根據(jù)具體情境判斷是否選用估算來解決問題;能根據(jù)具體情境進(jìn)行推理、猜測，并選擇適當(dāng)?shù)墓浪惴椒▉斫鉀Q問題，感受方法的多樣性與合理性;能對估算結(jié)果進(jìn)行合理的判斷和解釋，體會(huì)估算的簡便性和靈活性;體會(huì)估算在生活中的作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展分析、判斷、理性思考能力，發(fā)展可能性思維。

測量估算：依托單位表象、身體尺或參照物等估測生活中一些物體的長度、質(zhì)量、時(shí)間等，在估計(jì)給定簡單圖形的面積、體積或用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積的活動(dòng)中培養(yǎng)量感，提高靈活解決問題的能力，發(fā)展空間想象能力。

統(tǒng)計(jì)估算：結(jié)合具體的生活情境，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想，通過簡單的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集驗(yàn)證猜想;能根據(jù)平均數(shù)的意義估計(jì)樣本的范圍;體驗(yàn)隨機(jī)事件，初步感受概率和公平性;能理解運(yùn)用隨機(jī)抽樣的方式估計(jì)總數(shù)的思想并能加以運(yùn)用;能通過分析折線統(tǒng)計(jì)圖的變化情況估計(jì)發(fā)展的趨勢，發(fā)展基于數(shù)據(jù)分析的判斷、推理能力。

由此可見，數(shù)學(xué)估算無所不在。它分布在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面，潛浸在人類的數(shù)學(xué)思維過程中，應(yīng)用于日常熟悉的生活中。

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