趙科

（淳安縣姜家鎮(zhèn)初級中學(xué)，浙江 杭州 311722）

一、問題緣起

從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展總包含著數(shù)學(xué)解題策略的產(chǎn)生、積累和發(fā)展，而人們在研究數(shù)學(xué)本身的同時，也就開始了對數(shù)學(xué)解題策略的研究。在初一階段，學(xué)生剛從小學(xué)升入初中，思維能力還處于低級階段，幾乎不會分析問題，解決難題目。只會正向思維，直白的題目做下。而中學(xué)數(shù)學(xué)越來越難，單單直白的解題已經(jīng)完全不能滿足初中數(shù)學(xué)的需求。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)中指出讓學(xué)生“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法”。所以為了使學(xué)生能更好的去解決問題，在同一個問題的解答過程中能使用最優(yōu)方案，就必須培養(yǎng)學(xué)生解題的策略，而且解題策略的研究會使學(xué)生在探索性問題的解答過程更得心應(yīng)手！

二、概念界定

（一）探索性問題的定義

一般來說，探索性數(shù)學(xué)問題具有以下一些特征：非完全性，不確定性，探究性，靈活性。所以本文認為探索性問題就是指數(shù)學(xué)題目中條件、結(jié)論不完整，解題方法、依據(jù)不唯一，需要解題者靈活的運用各種解題方法，去探索思考解決題目。

（二）數(shù)學(xué)解題策略的定義

自從人們提出解題策略這個概念以來，已有很多人對它發(fā)表了自己的理解與看法。我對解題策略的定義是：運用各種數(shù)學(xué)思想來分析題目，再運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法來解決題目，這就是解題策略。

（三）探索性問題的解題策略定義

運用各種數(shù)學(xué)思想來分析不常見的、沒有特定解題步驟的題目，再不斷的嘗試用各種解題方法，直到找到行得通的方法來解決問題。

三、解題策略的產(chǎn)生過程

無論解題策略是怎么定義的，總有選擇的過程，即主體通過審題將原始問題中的信息吸收并且化到主體原有的認知結(jié)構(gòu)中，在追求問題解答的這種內(nèi)驅(qū)力的推動和調(diào)節(jié)下，使原有的認知結(jié)構(gòu)發(fā)生改組和重建，并且提出階梯問題，以便借助這些階梯問題解決原始問題的過程。如探索性問題的求解總是比較困難的，往往需要從不平常的角度來考慮問題，這就需要我們原有的認知結(jié)構(gòu)改組，而從題目中我們獲取了新的信息，這就得與我們原有的知識進行同化，最后重組成新的認知結(jié)構(gòu)，可以更好的分析題目。比如若題目給出2 ⊕3=6，3 ⊕4=12，那么我們就必須重組認知結(jié)構(gòu)，在做這道題目中不能把⊕當(dāng)作+來使用，而應(yīng)當(dāng)作×來使用。

根據(jù)波利亞的解題思想的理解，我將解題策略分為如下四個階段：

1.列出方法 ，即根據(jù)題意，主體盡量多的想出解題的方法來。2.指明方向 ，即主體在弄清問題的基礎(chǔ)上，初步辨認問題的癥結(jié)所在，通過廣泛的聯(lián)想，迅速的局部推理和活躍的直覺，逐漸形成一種產(chǎn)生解題策略的心向。3．選擇策略，對于不同類型的題目，必定有常規(guī)的方法和特殊的方法。選好了策略還得選擇一個正確的解題順序，否則就會影響解題的速度和精確度。4．運行策略，根據(jù)所選的解題策略，一面探索，一面前進。用邏輯的方法驗證策略的可行性。如果驗證的結(jié)果表明所選擇的策略不可行，則應(yīng)檢查是否在運算過程中發(fā)生了錯誤，或是未能充分利用已知條件。如果有補救的方法不妨試之，否則就應(yīng)重新根據(jù)階段二另選策略。那為什么自己選的策略會行不通呢？其原因是解題策略的發(fā)現(xiàn)過程。

四、對探索性問題的解題策略

新課標(biāo)的教學(xué)建議指出“教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)行為，處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考”。而探索性問題的教學(xué)能很好的這點做到，所以結(jié)合有關(guān)文獻資料和對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解，我對探索性問題的解題策略經(jīng)行了研究，總結(jié)出以下幾點：

（一）問題轉(zhuǎn)化

解答數(shù)學(xué)習(xí)題，作為創(chuàng)造性的思維活動過程，其重要的特點是思維的變通性和流暢性。當(dāng)主體接觸的問題難以入手，那么思維不應(yīng)停留在原問題上，而應(yīng)將原問題轉(zhuǎn)化成一個比較熟悉的，比較容易解決的問題。通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的。所以問題轉(zhuǎn)化也叫做化歸。

（二）以退求進

解數(shù)學(xué)習(xí)題時“先退到足夠我們所最容易看清楚問題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去”。這就是以退求進。也就是常說的從一般到特殊，從復(fù)雜到簡單，從抽象到具體，從多到少等等。但是用這種策略時我們必須防止以偏概全的毛病，必須注意特殊化本身的局限性。要“善于‘退’、足夠的‘退’，‘退’到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”（華羅庚語），在教學(xué)中對于有些復(fù)雜難解得問題，可引導(dǎo)學(xué)生退到簡單易解得地步，以探求原題的階梯信息是解困的又一方略[4]。

（三）特殊化與一般化

梅森（J.Mason）是英國開放大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中心的主任，他在數(shù)學(xué)方法論的領(lǐng)域內(nèi)著有《數(shù)學(xué)地思維》（Thinking Mathematically）、《學(xué)數(shù)學(xué)、搞數(shù)學(xué)》(Learning and Doing Mathematics)等著作。在這些著作中，梅森集中地研究了數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化方法及其解題過程中的作用。按照梅森的觀點，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時也是怎樣解題的關(guān)鍵所在。

特殊化通常是指考慮一般性命題的特殊例子，或如波利亞所說：“是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集，或僅僅一個對象?！痹跀?shù)學(xué)中，特殊化可以指用具體的數(shù)字去進行代入，也可以指就“極端”的情況進行考慮，還包括作出具體的圖象等。

例：一個農(nóng)夫有若干雞和兔子，他們共有50 個頭和140 只腳，問雞和兔子各有多少？

該題其實與七年級數(shù)學(xué)教材2.3 解二元一次方程組的節(jié)前題是同一道題，只是數(shù)據(jù)不一樣。對于這道題目波利亞給出了一個十分巧妙的解法，其核心就是如下的假設(shè)：“農(nóng)夫驚異地看著雞兔們非凡的表演：每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來?！憋@然，在這種情況下，總腳數(shù)只出現(xiàn)了一半，即70 只腳。在70 這個數(shù)里，雞的腳數(shù)是與雞頭數(shù)相同的，而兔子的腳數(shù)則是頭數(shù)的二倍，從而，從70 里減去總的頭數(shù)50，就是兔子的頭數(shù)70-50=20。20 只兔子，當(dāng)然雞就是30 只了。

這就是特殊化的應(yīng)用，即將原題目用特殊的方法來做。梅森指出，由于數(shù)學(xué)中特殊化具有明確的目的性，即為了更好地了解所面臨的問題、發(fā)現(xiàn)可能的解題策略等，我們在此就不應(yīng)對任意的特例去進行考慮，而應(yīng)特別注意那些我們較為熟悉的、能較有信心地進行操作的對象。因此，梅森寫到：“特殊化是一個相對的概念?！边@就是說，特殊化是與個人的特殊經(jīng)驗和能力直接相關(guān)的，在某個人看來是特殊化的東西對另一個人來說就可能是十分抽象的。一般地說，有如下法則：有效的特殊化意味著使用你能夠很有信心地予以操作的對象。這種做法當(dāng)然是因為波利亞有很強的功底，但主要還是憑偶然的試算和運氣?？刹恢滥惆l(fā)現(xiàn)沒有，這種方法其實是有一般的式子的。梅森指出，相對與特殊化而言，一般話是較為困難的。然而，一般化又是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，因為，數(shù)學(xué)認識的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實或規(guī)律。

有了特殊化，學(xué)生能在解決填空選擇題時節(jié)約很多時間，特殊化一般沒有什么特定的書寫格式，而且一般能快速的解決一些題目，比如說“特殊值法”學(xué)生能更快的得到答案；而一般化是學(xué)生將知識點內(nèi)化的一個必不可少的過程，如果沒有這個過程，學(xué)生在做題時會感到每次都在做新題目，會浪費很多時間。有了一般化以后的知識點，再特殊化的題目只要能發(fā)現(xiàn)其中的基本題型，就能找到突破口，從而使學(xué)生在解決探索性問題時事半功倍。

（四）化歸原則

匈牙利著名數(shù)學(xué)家Rosza Peter 在其名著《無窮的玩藝》中曾舉過一個有趣的事例：

有人提出了這樣一個問題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)該怎么樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答。但是，他又追問：“如果其他的條件不變，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做呢？”這時被提問者往往會很有信心地回答道：“點燃煤氣，再把水壺放上去?！钡?，這一回答卻未能使提問者感到滿意，因為，在后者看來，更為恰當(dāng)?shù)幕卮鹗牵骸爸挥形锢韺W(xué)家才會這樣做。而數(shù)學(xué)家則會倒掉壺中的水，并聲稱他已經(jīng)把后一問題化歸成先前的已經(jīng)解決了的問題了?！?/p>

Rosza Peter 指出，這種思維方式對數(shù)學(xué)家來說是十分典型的。這就是說，“他們往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題。如果把“化歸”理解為“由未知到已知、由難到易、由復(fù)雜到簡單的”轉(zhuǎn)化，那么，我們就可以說，數(shù)學(xué)家思維的重要特點之一，就是他們特別善于使用化歸的方法去解決問題。從解題策略的角度來說，這也就是所謂的“化歸原則”。

數(shù)學(xué)中的化歸有其特定的方向，一般為化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體、化生疏為熟悉、化難為易、化一般為特殊、化特殊為一般、化“綜合”為“單一”、化“高維”為“低維”等。

在教學(xué)過程中讓學(xué)生逐漸悟出數(shù)學(xué)中常常把新知識轉(zhuǎn)化已知知識、把特殊轉(zhuǎn)化為一般的解決問題的思路和方法。教師重視數(shù)學(xué)思想教育發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中的作用，確實是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與應(yīng)用能力、提高學(xué)生綜合素質(zhì)的一個重要途徑。將探索性問題化歸成幾個基本題型是教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的方向。

（五）建立模型

新課標(biāo)的設(shè)計思路中有提到“使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”。這就是我們常說的數(shù)學(xué)建模，所謂數(shù)學(xué)建模，就是將某一領(lǐng)域或部門的某一實際問題，通過一定的假設(shè)，找出這個問題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)解題策略，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。實際問題一般都類似于探索性問題，學(xué)生能運用數(shù)學(xué)建模來解決實際問題，是一種數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也是自身的能力體現(xiàn)。

五、結(jié)束語

對于學(xué)生解題策略的多樣性是靠平時做題時積累的，沒有平時積累的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，那就不能找到最好的解題策略，也許還不能解決問題，所以這就需要老師平時要多總結(jié)，以便讓學(xué)生可以有目的性的積累。根據(jù)我在論文寫作過程中對資料的理解，我認為解題策略即是指自己能又快又準(zhǔn)確的解出題目，從而選擇的各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的一個集合體。當(dāng)你發(fā)現(xiàn)別人的方法比自己的好時，你下次做題目肯定會選擇那更好的方法，也就是你新的解題策略。