■周瑜芽

統(tǒng)計(jì)中的抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，而系統(tǒng)抽樣與分層抽樣是各級(jí)各類(lèi)考試中最常考的抽樣方法。解答相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的含義，弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，靈活選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿颖尽＿@類(lèi)題一般難度都不大，但我們?nèi)詰?yīng)多加重視，以免造成失分。

1.系統(tǒng)抽樣的概念與性質(zhì)問(wèn)題

在系統(tǒng)抽樣中，對(duì)總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)是隨機(jī)的，同時(shí)在第一段中確定的起始的個(gè)體編號(hào)也是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法確定的，當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，也是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除若干個(gè)體的，整體過(guò)程都具有隨機(jī)性。

例1每年的9月20日為“全國(guó)愛(ài)牙日”。為了了解學(xué)生牙齒的健康狀況，某高中采用系統(tǒng)抽樣的方法，從該校高二年級(jí)全體900名學(xué)生中抽取50名學(xué)生做牙齒健康檢查?，F(xiàn)將900名學(xué)生從1到900進(jìn)行編號(hào)，在1～18中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，如果抽到的是8，則從91～108這18個(gè)數(shù)中應(yīng)抽取的數(shù)是（ ）。

A．96 B．97

C．98 D．99

解：系統(tǒng)抽樣的特征之一是等距抽樣，即抽取的樣本的編號(hào)之間的距離是相等的。依題意得分段間隔，由系統(tǒng)抽樣的定義知，第k組抽取的號(hào)數(shù)為nk=8+18（k—1）=18k—10，k∈N*，顯然當(dāng)k=6時(shí)，n6=98。故選C。

解決此類(lèi)問(wèn)題通常需要以下兩步：第一步，分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，即根據(jù)定義每組抽取一個(gè)樣本；第二步，起始編號(hào)的確定應(yīng)使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定。

2.分層抽樣的概念與性質(zhì)問(wèn)題

使用分層抽樣的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例抽取。分層抽樣時(shí)要求對(duì)總體的內(nèi)容有一定了解，明確分層的界限和數(shù)目，只要分層恰當(dāng)，一般來(lái)說(shuō)抽樣結(jié)果比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更能反映總體情況。

例2某地區(qū)有高中生12000人，初中生10000人，小學(xué)生13000人，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)習(xí)方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（ ）。

A．抽簽法

B．隨機(jī)數(shù)法

C．系統(tǒng)抽樣法

D．分層抽樣法

解：因?yàn)槌槿颖镜哪康呐c各學(xué)段的學(xué)生有關(guān)，所以從全體學(xué)生中抽取1%應(yīng)使用分層抽樣法，按各學(xué)段學(xué)生所占的比例抽取。故選D。

本題抽取樣本的目的符合分層抽樣的概念與性質(zhì)，將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例抽取，抽取的樣本有較強(qiáng)的代表性。

3.系統(tǒng)抽樣的基本計(jì)算問(wèn)題

系統(tǒng)抽樣抽取多少個(gè)個(gè)體就需要將總體均分成多少段，不要把分段間隔與分組組數(shù)混淆。根據(jù)容量的大小來(lái)確定分段間隔或根據(jù)分段間隔來(lái)確定容量的大小是比較常見(jiàn)的問(wèn)題。

例3某校為了了解1500名學(xué)生對(duì)高考英語(yǔ)改革方案的意見(jiàn)，打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣方法，則分段間隔k為（ ）。

A．75 B．30

C．20 D．15

解：根據(jù)各選項(xiàng)中分段間隔k的不同取值，分析討論每段中應(yīng)抽取的人數(shù)。若分段間隔為75，則分成20段，每段抽取人；若分段間隔為30，則分成50段，每段抽取1人；若分段間隔為20，則分成75段，每段抽取人；若分段間隔為15，則分成100段，每段抽取人。顯然只有分段間隔為30時(shí)滿(mǎn)足題意，故選B?；蛘?，由1500÷50=30，可知選B。

根據(jù)選項(xiàng)中不同的分段間隔結(jié)合實(shí)際問(wèn)題加以分析也是比較常用的解題方法。還可以利用對(duì)應(yīng)的公式加以判斷，即當(dāng)（N是總 體個(gè) 數(shù)，n是樣本容量）是整數(shù)時(shí)，取分段間隔為k=當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，取分段間隔為k=（取整數(shù)部分）。

4.分層抽樣的基本計(jì)算問(wèn)題

進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下技巧：總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比，或者樣本容量n:總體個(gè)數(shù)N=某層抽取的個(gè)數(shù):該層的個(gè)體數(shù)。

例4用分層抽樣的方法在一個(gè)企業(yè)中抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本，其中管理營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)抽取了15人，技術(shù)部門(mén)抽取了10人，其余在生產(chǎn)工人中抽取。已知該企業(yè)有生產(chǎn)工人375人，那么這個(gè)企業(yè)共有職工____人。

解：先根據(jù)條件算出在生產(chǎn)工人中抽取的樣本個(gè)數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特征，即生產(chǎn)工人與企業(yè)總職工的比和從生產(chǎn)工人中抽取的樣本數(shù)與樣本容量的比相等，可得抽取的樣本中的生產(chǎn)工人有50—15—10=25（人）。那么這個(gè)企業(yè)共有職工人數(shù)為750，即這個(gè)企業(yè)共有職工750人。

解答與分層抽樣有關(guān)的計(jì)算題的切入點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體都是等可能入樣，因此利用分層抽樣時(shí)一定要注意按比例抽取，樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值是分層抽樣的比例常數(shù)，按照這個(gè)比例可以確定各層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)、各層原有的個(gè)體數(shù)等。

5.創(chuàng)新綜合應(yīng)用問(wèn)題

系統(tǒng)抽樣與分層抽樣也是創(chuàng)新綜合應(yīng)用問(wèn)題的一大陣地，這類(lèi)問(wèn)題通常根據(jù)系統(tǒng)抽樣與分層抽樣自身的概念與特點(diǎn)，巧妙地把相關(guān)知識(shí)加以融合，達(dá)到問(wèn)題的創(chuàng)新與知識(shí)的綜合的目的。

例5經(jīng)問(wèn)卷調(diào)查，某班學(xué)生對(duì)攝影分別執(zhí)喜歡、不喜歡和一般三種態(tài)度，其中執(zhí)一般態(tài)度的比執(zhí)不喜歡態(tài)度的多12人。用分層抽樣的方法從全班選出部分學(xué)生座談攝影，如果選出的同學(xué)有6位執(zhí)喜歡態(tài)度、1位執(zhí)不喜歡態(tài)度和3位執(zhí)一般態(tài)度，那么全班學(xué)生中喜歡攝影的比全班人數(shù)的一半還多____人。

解：根據(jù)題目條件可知，3位執(zhí)一般態(tài)度對(duì)應(yīng)1位執(zhí)不喜歡態(tài)度，即執(zhí)一般態(tài)度的人數(shù)是執(zhí)不喜歡態(tài)度的人數(shù)的3倍，而他們的差為12人，故執(zhí)一般態(tài)度的有18人，執(zhí)不喜歡態(tài)度的有6人。又因?yàn)閳?zhí)喜歡態(tài)度的人數(shù)是執(zhí)不喜歡態(tài)度的人數(shù)的6倍，可得執(zhí)喜歡態(tài)度的有36人，所以全班共有18+6+36=60（人）。那么所求結(jié)果為6（人）。

正確分析與厘清題目條件是解決此類(lèi)創(chuàng)新綜合應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵。同時(shí)，還要根據(jù)分層抽樣中各層之間的比例關(guān)系，結(jié)合具體的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題來(lái)確定相應(yīng)各層之間的比例與數(shù)字關(guān)系，進(jìn)而加以具體的分析與處理。