江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 袁 紅

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)課程的核心能力，主要包含了數(shù)學(xué)模型的儲備、形成、應(yīng)用和拓展等過程。數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不改變數(shù)學(xué)課程的基本屬性，通過信息形態(tài)的轉(zhuǎn)變，著力將需要解決的問題以數(shù)學(xué)的方式轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到從煩瑣到簡單、從未知到已知、從陌生到熟悉的境界。如果學(xué)生在建模的過程中能夠精確且靈活地運用數(shù)學(xué)語言分析問題、解決問題，對于思維的深入化就有了更加深刻的體認(rèn)。否則，學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題將難以閱讀與理解，更無法進(jìn)行思考與表達(dá)，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自然也就談不上了。因此，教師要在建模的過程中引導(dǎo)學(xué)生靈活地運用數(shù)學(xué)語言，在實踐過程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷發(fā)展。

一、激活思維，在模型儲備中強化數(shù)學(xué)語言切換

在模型儲備階段，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)的設(shè)定，創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境，讓學(xué)生以專業(yè)性的數(shù)學(xué)視角提煉出其中所蘊藏的數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)情境之中激活學(xué)生內(nèi)在的知識和活動經(jīng)驗，從而迅速輸入認(rèn)知信息并靈活地轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)語言，這就形成了相對明確的模型方向，為數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的建構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。

例如，教學(xué)釘子板上的多邊形時，兩個相鄰之間的釘子為1厘米的距離，使用一根橡皮筋在釘子上任意圍繞一個多邊形，組織學(xué)生說說這個多邊形面積，學(xué)生們的方法各不相同，有的開始數(shù)橡皮筋所圈定的方格數(shù)，有的嘗試將圈定的不規(guī)則圖形拆解成兩個或者兩個以上的規(guī)則圖形，但有的學(xué)生卻不知所措，在教師直接給出答案之后，好一會才認(rèn)識到教師答案的合理性。隨后，教師再次與學(xué)生用點陣圖進(jìn)行比賽，學(xué)生只要畫出一個多邊形，教師就輕松地說出答案。事實上，教師運用了著名的皮克定理——即點陣中頂點在格點的多邊形面積計算模型。教師及時創(chuàng)設(shè)了比賽的情境，激發(fā)了學(xué)生內(nèi)在的探究性欲望，其實數(shù)格子或借助其他方式計算多邊形面積，就是在解讀圖形語言，并逐步將其轉(zhuǎn)化為符號化語言的過程。在這一過程中，學(xué)生先將實物所展示的圖形轉(zhuǎn)化為點陣圖，然后再演化成為符號性語言。其中，拆解分割的方式相對較慢，而且一部分小面積圖形不規(guī)則不能精確計算，因此探尋數(shù)學(xué)性語言并及時轉(zhuǎn)換方向，就成了當(dāng)時情境下學(xué)生思維內(nèi)在的迫切需求。

在這一過程中，教師所利用的比賽情境激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換動力，不但讓他們首次感性認(rèn)知了皮克定理，更激活了他們內(nèi)在原始的認(rèn)識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，為后續(xù)數(shù)學(xué)語言的巧妙轉(zhuǎn)換奠定了基礎(chǔ)。

二、驗證假設(shè)，在模型建構(gòu)中強化數(shù)學(xué)語言切換

數(shù)學(xué)模型的儲備階段是假設(shè)和驗證的階段：假設(shè)就是在原始性經(jīng)驗基礎(chǔ)上大膽地提出自己的猜測或者設(shè)想；而驗證則是對自己或者他人提出的設(shè)想，通過舉例或者實驗等方式對其正確程度進(jìn)行評判的過程。學(xué)生的思維歷程就是要在驗證的過程中演化成為模型。這一過程中數(shù)學(xué)性語言的切換就能夠有效地幫助學(xué)生在假設(shè)或者驗證的過程中進(jìn)行正確的說理或者判斷。為此，教師就需要引領(lǐng)學(xué)生通過實驗操作、抽象概括等方式，經(jīng)歷鑄造數(shù)學(xué)模型“再創(chuàng)造”的過程。

例如，教學(xué)平行四邊形面積之前，教師出示一個底邊、斜邊和高分別為5厘米、4厘米和3厘米的平行四邊形，讓學(xué)生猜測它的面積，學(xué)生的答案不一而足，有的用5×4，有的用5×3，有的用4×3……教師組織學(xué)生用面積為1平方厘米的小方塊在這個平行四邊形中按序擺放，他們發(fā)現(xiàn)擺放20次就超出了面積，因此5×4的假設(shè)順勢被否定；而擺放12 次，卻不能鋪滿平行四邊形，因此4×3 的假設(shè)也是不正確的。那剩下的15個正方形是否正確呢？此時學(xué)生的興趣高漲，收集了15 個正方形并得出了面積相等的結(jié)論。在這一擺放的過程中，學(xué)生有了全新的發(fā)現(xiàn)，平行四邊形是可以轉(zhuǎn)化為長方形的，從而根據(jù)長方形和平行四邊形的對應(yīng)關(guān)系，推理出平行四邊形的面積公式，進(jìn)而形成了面積模型。

在假設(shè)過程中，學(xué)生將原本的圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；驗證時，則通過觀察含有面積單位個數(shù)的方式將原本的圖形語言轉(zhuǎn)化為了新的圖形語言，自然地否定兩種假設(shè)結(jié)論。隨后，學(xué)生利用自己在操作實踐過程中的發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，更是一種典型圖形語言之間的相互切換……這樣的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言不斷置換，最終將平行四邊形的面積計算公式鑄造成為固定的模型，建模素養(yǎng)也得到了有效地訓(xùn)練。

三、解決問題，在模型應(yīng)用中強化數(shù)學(xué)語言切換

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值不在于知識的積累，而在于問題的解決，數(shù)學(xué)建模的意義就在于運用這種模型來解決數(shù)學(xué)問題，并發(fā)現(xiàn)全新的問題，在再思考、再解決的過程中獲取新知，甚至于可以自主構(gòu)建出全新的模型結(jié)構(gòu)，學(xué)生所獲取的就不再是純粹的知識積累，同時還得到了內(nèi)在能力的訓(xùn)練。

例如，幫助學(xué)生構(gòu)建了梯形面積模型之后，教師為了達(dá)到鞏固的目的設(shè)置了這樣的題型：一塊梯形空地，上底為40 米，下底為80 米，高為50 米。在這塊空地上每種上一棵青菜，需要占據(jù)2平方分米的面積，那這塊空地可以栽種多少棵青菜？這是一道典型的運用模型解決問題的應(yīng)用題，題目中文字語言清晰地描述了生活中遇到的問題，在閱讀的過程中學(xué)生就需要將文字問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，并借助于梯形的面積公式，通過模型結(jié)構(gòu)下的符號語言計算這塊梯形空地的面積，并根據(jù)每棵青菜的占地面積，最終得出可以栽種的青菜棵數(shù)。尤其要指出的是，這道題中教師并沒有簡單地讓學(xué)生利用模型來計算梯形的面積，而是借助栽種青菜的情境，讓梯形的面積模型有了解決問題的原始儲備，使得模型成為了解決實際問題的有效推手。

從中可以看出，數(shù)學(xué)模型絕不是割裂而零散的，而是彼此關(guān)聯(lián)的，甚至是可以轉(zhuǎn)化和運用的。正是在這種運用的過程中，梯形的面積模型有了更加深遠(yuǎn)的意義，使得這一知識內(nèi)容更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化地貯存在學(xué)生的“經(jīng)驗倉庫”中。教師所設(shè)置的有層級的訓(xùn)練對不同類別的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行了多種形式的轉(zhuǎn)化，學(xué)生的建模素養(yǎng)也在這樣的過程中得到了有效的歷練。

四、拓展訓(xùn)練，在模型延伸中強化數(shù)學(xué)語言切換

所謂模型延伸就是在已經(jīng)建構(gòu)的模型中進(jìn)行適度地改變和推進(jìn)，從而能夠衍生出更加完善或者全新的模型。在學(xué)生初步建模之后，教師可以利用一些拓展性訓(xùn)練，對原本的模型進(jìn)行重塑，這不僅可以推動學(xué)生對已有模型的理解，而且能夠擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生從不同角度來理解并掌握數(shù)學(xué)的基本模型，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。

例如，學(xué)習(xí)間隔排列時，學(xué)生在簡單的實踐運用之后就得出了這樣的數(shù)學(xué)模型：“兩種物體排成一行，兩端物體相同時，兩端物體個數(shù)-中間物體個數(shù)=1”，隨后教師出示了這樣兩道延伸題：（1）曉軍將圓形和正方形一個個地排列成一行。如果圓形有5 個，那正方形最多有幾個，最少有幾個；（2）圓形的花圃周圍一共栽種柳樹75 棵，如果每隔兩棵柳樹就栽種一棵梧桐樹，可以栽種多少棵梧桐？針對第一個問題，學(xué)生在初步構(gòu)建出來的模型下，能夠形成一條直線上物體間隔排列的基本圖式，這是他們在靈活運用原有模型的基礎(chǔ)上形成全新模型的過程，需要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，隨后再裂變成為文字語言；而第二個問題，學(xué)生需要封閉圖形，用文字進(jìn)行描述，然后再將語義轉(zhuǎn)化成為圖形語言，這一傾吐與內(nèi)化的過程，也正是在數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程中形成全新模型的過程。

從這一案例就可以看出，學(xué)生運用原始性的模型解決問題的過程不僅是運用模型的過程，更是擴(kuò)展并重塑模型的過程，學(xué)生能夠從更高的層面中審視自己原始的模型結(jié)構(gòu)，有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換和建模素養(yǎng)的不斷提升。

在數(shù)學(xué)建模的過程中能夠有效地對數(shù)學(xué)語言進(jìn)行加工、轉(zhuǎn)換，不僅可以充分地感受到數(shù)學(xué)模型思想和模型建構(gòu)的價值意義，同時也為數(shù)學(xué)語言之間的切換提供了平臺，真正為學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。