楊佳秀， 張大偉

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

最近幾年，T-S模糊系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在工業(yè)、航空、醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.由于T-S模糊系統(tǒng)可以有效地逼近實(shí)際應(yīng)用中的非線性系統(tǒng)，因此受到越來越多的關(guān)注.目前，T-S模糊系統(tǒng)的研究已經(jīng)得到了大量的成果，特別是對于時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)[1-2].那么，對于一個(gè)T-S模糊系統(tǒng)要得到可允許的時(shí)延上界來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如何構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)和如何估計(jì)LKF關(guān)于時(shí)間的倒數(shù)得到較小保守性的穩(wěn)定性條件是最基本的兩個(gè)問題，也正是本文的研究目的.

Tian E等[3]通過使用自由矩陣方法來得到穩(wěn)定性判據(jù).而Li L等[4]通過引入一些積分不等式和自由變量改善了Tian E等[3]的結(jié)果.Kwon O M等[5]利用含雙積分項(xiàng)的增廣Lyapunov-Kroviskil泛函(LKF)得到較小保守性的結(jié)果.Peng C等[6]采用了時(shí)滯分割和相互凸組合方法，這種方法與Kwon O M等[5]的方法相比，有更小的保守性.最近，Souza F O等[7]通過使用帶有雙積分項(xiàng)的部分非正定LKF提出一個(gè)新的方法來降低保守性，但是，Souza F O等[7]的方法基于Jensen不等式得到的結(jié)果導(dǎo)致了較大的保守性，則為了降低保守性，F(xiàn)eng Z G等[8]提出相互凸組合方法，對上述的問題進(jìn)行改進(jìn)，得到較好的結(jié)果.同時(shí)，研究時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的無限維性質(zhì)時(shí)，相比于先前的文獻(xiàn)， Seuret A等[9]提出的Bessel-Legendre不等式可以提供一個(gè)更可能緊的上界，并且使用Bessel-Legendre不等式時(shí)，構(gòu)造的LKF應(yīng)該依賴于Bessel-Legendre不等式.因此，如何使用Bessel-Legendre不等式得到使具有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定的較小保守性判據(jù)，正是本文的主要工作.

本文也將討論具有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.通過構(gòu)造一個(gè)新穎的合適的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)，并且基于Bessel-Legendre不等式及相互凸組合引理，給出具有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性條件.相比于先前文章中的Wirtinger不等式[10]、輔助函數(shù)積分不等式[11]和自由矩陣不等式[12]等，本文所提出的新的穩(wěn)定性條件是對它們的推廣，并且可以推廣到一些常(離散或分布式的)時(shí)滯T-S模糊系統(tǒng)中.最后，通過數(shù)值例子，能夠更直觀地看出文中定理的優(yōu)越性.

1 問題描述

考慮一個(gè)具有時(shí)變時(shí)滯的非線性系統(tǒng)，由下列的T-S模糊時(shí)變時(shí)滯模型定義：

規(guī)則i：

如果θ1(t)是Mi1，…，θp(t)是Mip，則：

(1)

系統(tǒng)(1)中：x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，Ai和Adi是適當(dāng)維的常數(shù)矩陣.在區(qū)間[-τ,0]上定義初始函數(shù)φ(t).Mip是第i條模糊規(guī)則的前件變量θp(t)的模糊集，i∈{1,2,…,r}是模糊規(guī)則的個(gè)數(shù).τ(t)是時(shí)變時(shí)滯函數(shù)，滿足下列關(guān)系：其中，τ和μ都是正常數(shù).

(2)

通過中心加權(quán)反模糊化，乘積推理和單點(diǎn)模糊化，可以將系統(tǒng)(1)表達(dá)為T-S模糊系統(tǒng)：

(3)

系統(tǒng)(3)中：λi(θ(t))為Mip的隸屬度函數(shù)，

引理1[13]對于給定的整數(shù)N≥0,一個(gè)實(shí)對稱正定矩陣R，兩個(gè)標(biāo)量a和b,且b>a,和一個(gè)向量值微分函數(shù)ω:[a,b]→n，則下列不等式成立：

(4)

式(4)中：

(5)

(6)

RN∶=diag{R,3R,…,(2N+1)R}

(7)

?N∶=col{ω(b),ω(a),δ1,δ2,…,δN}

(8)

(9)

引理2[14]令T1,T2∈(p×p)是實(shí)對稱正定矩陣，?1,?2∈p,α∈(0,1).對于任意X1,X2∈(p×p)，下列不等式成立：

(10)

2 穩(wěn)定性分析

假設(shè)時(shí)變時(shí)滯τ(t)函數(shù)滿足條件(2)，在這種情況下，通過使用標(biāo)準(zhǔn)積分不等式分析T-S模糊系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性.在此，定義：

(11)

(12)

定理1對于給定的標(biāo)量τ和μ，在條件(2)下系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，如果存在實(shí)對稱正定矩陣PN,Q1,Q2,R和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y1N和Y2N使得對于任意的τ(t)∈{0,τ} 有下面的不等式成立：

(13)

(14)

式(13)、(14)中：

C11Ni∶=col{e1,e2,e3,τ(t)e6,…,τ(t)eN+5,

(τ-τ(t))e(N+6),…,(τ-τ(t))e2N+5}

C21Ni∶=col{e1,e2,e3,e6,…,eN+5}

C31Ni∶=col{e1,e2,e3,eN+6,…,e2N+5}

?11,…,?1N}

C32Ni∶=col{(τ-τ(t))ADi,

(τ-τ(t))e5,?21,…,?2N}

ADi∶=Aie1+Adie2,ε1Ni∶=col{e1,ADi}

ε3Ni∶=col{e3,e5},ε2Ni∶=col{e2,e4}

LN∶=col{l1,l2,…,lN},lj∶=col{l1j,l2j}

Γ1N∶=ΘNΛNcol{e1,e2,e6,…,eN+5}

Γ2N∶=ΘNΛNcol{e2,e3,eN+6,…,e2N+5}

ei∶=[(0n×(i-1)nIn0n×(N+5-i)n],(i=1,…,N+5)

證明：構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函如下所示：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式(16)、(17)、(18)中:

τ(t)φ(t),(τ-τ(t))ψ(t)}

φ(t)∶=col{φ1(t),φ2(t),…,φN(t)}

ψ(t)∶=col{ψ1(t),ψ2(t),…,ψN(t)}

對V(t,xt)求導(dǎo)，得：

定義：

η(t)∶=col{x(t),x(t-τ(t)),x(t-τ),η1(t)}

(j=1,2,…,N)

因此，Lyapunov函數(shù)(15)式的導(dǎo)數(shù)可被改寫為：

(20)

(21)

然后，使用引理1對式(21)進(jìn)行估計(jì)，則有：

(22)

(23)

根據(jù)引理2 ，對式(22)、(23)中的凸組合項(xiàng)進(jìn)行處理，可以得到：

(24)

式(24)中：α∶=τ(t)/τ.最后，聯(lián)立 (20)、(24)式有：

(25)

定理2給定時(shí)滯系統(tǒng)(3),可允許時(shí)延滿足式(2)，如果存在正整數(shù)N0，使得定理1的線性矩陣不等式滿足N0，那么證明同樣的線性矩陣不等式滿足所有的N≥N0.

3 數(shù)值例子

在這一節(jié)提出一個(gè)數(shù)字例子證明定理1的有效性.現(xiàn)考慮T-S模糊系統(tǒng)(3)，其中系統(tǒng)矩陣如下：

隸屬函數(shù)為：

λ2(θ(t))=1-λ1(θ(t)),θ(t)=x1(t)

應(yīng)用定理1，在這里令μ=0.1，利用Matlab中的Yalmip工具箱求得當(dāng)N={1,2,3}時(shí)的最大允許時(shí)延上界.文獻(xiàn)[8]中τ(t)的最大允許上界與定理1得到的最大允許上界列于表1中.很容易得出本文所提方法比上述文獻(xiàn)有較低的保守性.

表1 μ=0.1，τ(t)的最大允許時(shí)延上界

在初始條件φ(t)=[1.5 1]T下，在圖1、2中給出了τ(t)=2.2+0.1sin(t),τ(t)=2.623 8+0.1sin(t)的系統(tǒng)軌跡圖，以此證明所考慮的系統(tǒng)對于任意時(shí)延在τ≤2.623 8時(shí)是漸近穩(wěn)定的，但隨著時(shí)延允許范圍的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定所需要的時(shí)間也越長.

圖1 τ(t)=2.2+0.1sin(t)

4 結(jié)論

本文討論了具有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題.構(gòu)造了一個(gè)依賴于標(biāo)準(zhǔn)Bessel-Legendre不等式的合適的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，提出帶有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.這種方法是對基于先前文章中的不等式得到的穩(wěn)定性判據(jù)的一個(gè)推廣，也有了明顯的改進(jìn)，從仿真例子中可得知.并且，這組線性不等式條件形成了一個(gè)分層，也就是隨著Legendre不等式N的階數(shù)的增大，能有效改善結(jié)果的保守性.