李 娜

構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明不等式是高等數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，有關(guān)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法十分豐富，并且有一定的技巧性，沒有固定的模式和方法，插值法的思想是根據(jù)有限個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或是導(dǎo)數(shù)結(jié)果來(lái)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)p(x)，其實(shí)就是用p(x)來(lái)逼近要研究的函數(shù)f(x)，此法有章可循，且有統(tǒng)一的公式，本文利用插值法的公式可以簡(jiǎn)潔地證明一類含導(dǎo)數(shù)的不等式。

1 預(yù)備知識(shí)

定義2. 若在區(qū)間[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，則其截?cái)嗾`差為Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。關(guān)于插值余項(xiàng)估計(jì)有以下定理。

定理1. 設(shè)f(n)(x)在[a,b]上連續(xù),f(n+1)(x)在(a,b)內(nèi)存在,設(shè)ax0

其中ξ∈(a,b)，記ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。

Rn(x)

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，拉格朗日插值多項(xiàng)式稱為線性插值，它的余項(xiàng)為

當(dāng)n=2時(shí)，拉格朗日插值多項(xiàng)式稱為拋物線插值，它的余項(xiàng)為

2 證明一類含導(dǎo)數(shù)不等式舉例

例 設(shè)f(x)∈C2a,b且f(a)=f(b)=0，求證：

其中C2a,b表示在區(qū)間a,b上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)空間。

法1： 由于要證一具體點(diǎn)滿足某個(gè)不等式，且題中所涉函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)，容易聯(lián)想到泰勒公式. 證明如下：

分別將x=a，x=b代入上式，得

(2)

將(1)，(2)相加，又f(a)=f(b)=0，得

有

·

通過(guò)上述證明過(guò)程可以看出，利用泰勒公式證明該類型題，需要根據(jù)已知條件先判斷在哪個(gè)具體位置進(jìn)行泰勒展開，很靈活，有一定的技巧性，不易掌握，完整的證明出來(lái)需要系統(tǒng)地掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)。

法2：根據(jù)公式，已知兩點(diǎn)(a,f(a))及(b,f(b))，代入公式，得到線性插值多項(xiàng)式為

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間a,b上二階連續(xù)可導(dǎo)， 且題目待證的不等式包含x的二階導(dǎo)，我們利用插值余項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)-L1(x)，

又因?yàn)?x-a)(x-b)=(a-x)(x-b)， 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)

又已知f(a)=f(b)=0，所以有

3 結(jié) 語(yǔ)

在已知條件中含有一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)值以及高階導(dǎo)數(shù)值，研究函數(shù)或它的各階導(dǎo)數(shù)滿足的性質(zhì)這類問(wèn)題，我們可以考慮用插值思想構(gòu)造插值多項(xiàng)式，此法有公式可依，容易操作，可以簡(jiǎn)潔地完成證明。