■何 敏 劉大鳴(特級(jí)教師)

直線與圓的幾何性質(zhì)在解析法中的應(yīng)用,一直是高考命題的熱點(diǎn),凸顯了代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)和幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的本質(zhì)屬性。下面以近年高考題為載體,對(duì)直線與圓中的熱點(diǎn)題型進(jìn)行歸類剖析,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

熱點(diǎn)1：求直線的傾斜角或斜率

例1(2014 年高考安徽卷)過(guò)點(diǎn)P(- 3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.(0 ,6π] B.(0 ,3π]

C.[0 ,6π] D.[0 ,3π]

解：借助直線與圓的位置關(guān)系,利用幾何法構(gòu)建斜率的不等式求解。易知直線l的斜率存在,可設(shè)直線,即kx-y+ 3k-1=0。因?yàn)橹本€l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),所以圓心(0,0)到直線l的距離≤1,即k2- 3k≤0,解得0≤。依據(jù)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,則直線l的傾斜角的取值范圍是應(yīng)選D。

評(píng)析：直線傾斜角的取值范圍為[0,π),把握直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)斜率的變化是解題的關(guān)鍵。

變式1：若過(guò)點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )。

A.[0 ,6π]∪[56π,π)

B.[0 ,6π]

C.[56π,π)

D.(0 ,6π)∪(56π,π)

提示：(方法1)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),利用直線與圓有公共點(diǎn)可得圓心(1,0)到直線l的距離

(方法2)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),代入圓的方程整理可得(k2+1)x2-(6k2+2)x+9k2=0,由Δ=4(1-3k2)≥0,解得。依據(jù)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,則直線l的傾斜角的取值范圍是。應(yīng)選A。

熱點(diǎn)2：求圓的方程

例2(2018年高考天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為_____。

解：由圓經(jīng)過(guò)已知的三點(diǎn),利用待定系數(shù)法求解。設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,注意隱含條件D2+E2-4F＞0。由圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),可得解得由此可得所求圓的方程為(x-1)2+y2=1。

評(píng)析：一般地,與圓心和半徑有關(guān)的問(wèn)題,選擇標(biāo)準(zhǔn)式;否則,選擇一般式。不論是選擇哪種形式,都要確定三個(gè)參數(shù),利用方程組求解。

變式2：已知以點(diǎn)(t∈R,且t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)O,B兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(1)求證:△OAB的面積為定值。

(2)設(shè)直 線y=-2x+4 與 圓C交 于 點(diǎn)M,N,若,求圓C的方程。

提示：(1)選擇標(biāo)準(zhǔn)方程求解。 因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)O,所以r2=|OC|2=t2+。設(shè)圓C的方程為。令x=0得y1=0,y2=,令y=0得x1=0,x2=2t,則S△AOB=。故△OAB的面積為定值4。

當(dāng)t=2 時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),,此時(shí)點(diǎn)C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn),符合題意;

湯翠在電腦上百度釘子戶這個(gè)詞，屏幕上出現(xiàn)了125，000，000 條相關(guān)結(jié)果。湯翠數(shù)學(xué)不太好，個(gè)十百千萬(wàn)地?cái)?shù)了數(shù)，才知道是一億多條。第一條百度百科這樣解釋它：用來(lái)指代某些由于種種原因沒(méi)有拆遷，而又身處鬧市或開發(fā)區(qū)域的房屋。再后面是不計(jì)其數(shù)的“釘子戶”新聞。有一個(gè)真正的“釘子”戶，為防被強(qiáng)拆，在房頂上釘了一萬(wàn)八千枚鐵釘。湯翠覺得很搞笑，她無(wú)論如何也沒(méi)想到，有一天自己竟然成了開發(fā)商眼中的釘子戶。

當(dāng)t= -2 時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(-2,,此時(shí)點(diǎn)C到直線y=-2x+4的距離,可知圓C與直線y=-2x+4不相交,可知t=-2不合題意。

故所求圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5。

熱點(diǎn)3：直線與圓相交關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題

例3(2018年高考新課標(biāo)卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0 相交于A,B兩點(diǎn),則=_____。

解：借助弦心距、半徑和半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形求解。已知圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,所以圓心為(0,-1),且半徑r=2。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,可得弦心距。利用圓中的弦長(zhǎng)公式,可得

評(píng)析：利用圓的半徑,圓心到直線的距離(弦心距)以及半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形是解答本題的關(guān)鍵。

變式3：已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2 相 交 于A,B兩 點(diǎn)(O為 坐 標(biāo) 原點(diǎn)),且△AOB為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a的值為( )。

A.6或- 6 B.5或- 5

C.6 D.5

熱點(diǎn)4：直線與圓位置關(guān)系中的最值問(wèn)題

例4(2018 年高考全國(guó)卷)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2 上,則△APB面積的取值范圍是( )。

A.[2,6] B.[4,6]

C.[ 2,3 2] D .[2 2,3 2]

解：已知三角形的底邊長(zhǎng)為定值,當(dāng)頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),所求面積的取值范圍問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離的最值問(wèn)題。由直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),可得點(diǎn)A(-2,0),B(0,-2),所以。 因 為 點(diǎn)P在 圓(x-2)2+y2=2上,所以圓心到直線x+y+2=0的距離為。由圓的幾何性質(zhì)可知,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d2的取值范圍為,即,則。應(yīng)選A。

評(píng)析：把握底邊長(zhǎng)為定值和頂點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)的特征,可使所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)(圓心)到直線的距離的最值問(wèn)題,這也是圓的幾何性質(zhì)確定的。

變式4：已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),若點(diǎn)M是圓x2+y2-2x+2y=0 上的動(dòng)點(diǎn),則△ABM面積的最小值為_____。

提示：已知圓方程可化為(x-1)2+(y+1)2=2,其圓心為(1,-1),半徑r= 2。由于點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),所以=2 2。要求△ABM面積的最小值,即求圓上的動(dòng)點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值,而圓心(1,-1)到直線AB:的距離為,△ABM的高的最小值為d=2 2- 2= 2,則△ABM面積的最小值為S△ABM=

熱點(diǎn)5：直線與圓相切中的最值問(wèn)題

例5(2015年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____。

解法1：(幾何法)直線系m(x-2)-y-1=0,恒過(guò)定點(diǎn)(2,-1)。過(guò)點(diǎn)(2,-1)的直線與圓心為(1,0)的圓相切,當(dāng)且僅當(dāng)切線與過(guò)(1,0),(2,-1)兩點(diǎn)的連線垂直時(shí),圓的半徑最大,此時(shí)有。故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

解法2：(代數(shù)法)構(gòu)造對(duì)鉤函數(shù)求解。由直線與圓相切的條件,可構(gòu)建半徑的函數(shù)。令函數(shù),利用對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)且僅當(dāng)m=1 時(shí),u=m+取 最小值,此時(shí)半徑取最大值。故半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2。

解法3：通過(guò)換元,構(gòu)造二次方程,利用判別式求解。由題意可得,設(shè),則(t-1)m2-2m+t-1=0。由于m∈R,所以Δ=(-2)2-4(t-1)2≥0,解得0≤t≤2,所以dmax= 2。由此可得半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2。

評(píng)析：依據(jù)直線與圓相切的條件,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的通法。當(dāng)半徑表示為關(guān)于m的函數(shù)后,利用對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(- ∞,-1)∪(1,+∞),減區(qū)間為(-1,0)∪(0,1)求解是本題的一大亮點(diǎn)。

變式5：若圓C:(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線2ax+by+2=0 對(duì)稱,則由點(diǎn)(a,b)向圓C所作切線長(zhǎng)的最小值為( )。

A.1 B.2

C.5 D.7

提示：由題意可得,圓心坐標(biāo)為C(1,2),半徑r=1。因?yàn)閳AC:(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線2ax+by+2=0對(duì)稱,所以直線2ax+by+2=0 過(guò)圓心C(1,2),代入可得a+b=-1。又因?yàn)辄c(diǎn)(a,b)到圓心的距離為,所以由點(diǎn)(a,b)向圓作切線,其切線長(zhǎng)為,代入a= -1-b,可得。應(yīng)選D。

熱點(diǎn)6：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題

例6(2016年高考山東卷)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a＞0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)為2 2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )。

A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.相離

解：依據(jù)弦長(zhǎng)待定參數(shù),研究?jī)蓤A的圓心距與半徑之間的關(guān)系即可。由x2+y2-2ay=0(a＞0),可得x2+(y-a)2=a2(a＞0),所以圓M的圓心為(0,a),半徑r1=a。因?yàn)閳AM截直線x+y=0 所得線段的長(zhǎng)為,所以,解得a=2。又圓N的圓心為(1,1),半徑r2=1,所以|MN|=,可得r1+r2=3,r1-r2=1。由r1-r2＜|MN|＜r1+r2,可知圓M與圓N相交。應(yīng)選B。

評(píng)析：利用幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系,就是判斷圓心距與兩圓半徑的和與差的大小關(guān)系。

變式6：圓心在直線x-y-4=0上,并且經(jīng)過(guò)圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0交點(diǎn)的圓的方程為_____。

提示：設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-28λ-4=0,其圓心坐標(biāo)為,代入直線x-y-4=0,解得λ=-7。故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0。

熱點(diǎn)7：與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題

例7(2014年高考湖北卷)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)＞0,對(duì)任意a＞0,b＞0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b),例如,當(dāng)f(x)=1(x＞0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù)。

(1)當(dāng)f(x)=_____(x＞0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù)。

(2)當(dāng)f(x)=_____(x＞0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

(以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)

解：設(shè)點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),則A,B,C三點(diǎn)共線。

(1)由c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的條件,由此尋求函數(shù)表達(dá)式。依題意可得c=ab,由A,B,C三點(diǎn)共線可得,即。由a＞0,b＞0,可化簡(jiǎn)得,故可選擇函數(shù)f(x)=x(x＞0)。

(2)由Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的條件,由此尋求函數(shù)表達(dá)式。依題意可得,則。由a＞0,b＞0,可化簡(jiǎn)得,故可選擇函數(shù)f(x)=x(x＞0)。

評(píng)析：理解平均數(shù),幾何平均數(shù)以及調(diào)和平均數(shù)的含義是解答本題的關(guān)鍵。依據(jù)新定義和三點(diǎn)共線的條件,探究?jī)牲c(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,抽象概括出一般函數(shù)的表達(dá)式,這種逆向思維的解題方法,既考查軌跡的意義,又考查同學(xué)們綜合解決問(wèn)題的能力。

變式7：已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的 “對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對(duì)任意x∈I,兩點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱。若h(x)是g(x)= 4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的 “對(duì)稱函數(shù)”,且h(x)＞g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____。

提示：把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求解。函數(shù)g(x)的圖像表示圓的一部分,即x2+y2=4(y≥0)。 當(dāng)直線y=3x+b與半圓相切時(shí),滿足h(x)＞g(x)。根據(jù)圓心(0,0)到直線y=3x+b的距離等于圓的半徑可得,解得b=2 10或b=-2 10(舍去)。

要使h(x)＞g(x)恒成立,需滿足b＞2 10,故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2 10,+∞)。