廣西省梧州高級(jí)中學(xué)(543002) 周勇 楊忠梅 楊春蘭

作為高中數(shù)學(xué)教師,根據(jù)自己有限的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)過程中,存在的最大障礙就是全面而深刻地正確理解抽象的函數(shù)對(duì)應(yīng)法則.理解函數(shù)y = f(x),首先需要將對(duì)應(yīng)法則f 理解為一部數(shù)值變換器,將定義域A 中的任意一個(gè)元素?cái)?shù)量值x0輸入到數(shù)值變換器f 中,通過對(duì)應(yīng)法則f 的作用下(注：在同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則作用下每一個(gè)不同取值的自變量x 的變換原理始終相同),輸出的結(jié)果就是函數(shù)值y0等于f(x0),不同的對(duì)應(yīng)法則就是不同的數(shù)值變換器,理解具體函數(shù)的重點(diǎn)就是要弄清具體對(duì)應(yīng)法則的變換原理,或者從計(jì)算機(jī)程序語言的角度去看待對(duì)應(yīng)法則,對(duì)應(yīng)法則會(huì)對(duì)其括號(hào)內(nèi)部的對(duì)象采取一視同仁的態(tài)度,對(duì)它們施加以相同的數(shù)值變換命令,故而代入法是求解函數(shù)解析式的最重要和最基本的常用方法,因此函數(shù)解析式求解的教學(xué)設(shè)計(jì)須以此為基礎(chǔ).下面進(jìn)行具體舉例說明.

方法1代入法

已知f(x)和g(x)的解析式,求解f[g(x)]和g[f(x)]的解析式常采用此方法,只要內(nèi)層的g(x)和f(x)整體視為原來的x 代入f(x)和g(x)解析式即可,代入法是函數(shù)解析式求法的基礎(chǔ),是后續(xù)方法的源泉,講解時(shí)一定要詳盡清楚.

例1已知函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=x2+3x+2,求解f(1),g(a),f(x+1),f[g(x)],g[f(x)]的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)本例是代入法的基礎(chǔ)題型,是幫助學(xué)生理解代入法原理的邏輯起點(diǎn),主要向?qū)W生傳授對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的簡單正確理解,使用了到整體代換的思想,對(duì)于多個(gè)對(duì)應(yīng)法則,可采用反向剝包菜(即從內(nèi)部通往外部一層層進(jìn)行處理).

方法2待定系數(shù)法

如果已知曉確定函數(shù)的類型,即已知f(x)是什么樣的函數(shù),然后假定設(shè)出此函數(shù)的一般形式,再利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)參數(shù)即可,求解過程中還是要注意理解使用代入法的原理(整體代換).

例2已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)由于已知函數(shù)形式特點(diǎn),故只需求出相關(guān)的參數(shù)即可,其本質(zhì)為代入法在具體形式函數(shù)中的應(yīng)用.

方法3方程法

例3已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x) = x+3,求f(x)的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)為便于理解可分別令x = t 和x = -t 得出關(guān)于f(t)和f(-t)的兩個(gè)方程,求得f(t)表達(dá)式,最后將t再重新轉(zhuǎn)化為x 即可,從中可以看出方程法本質(zhì)其實(shí)就是使用代入法進(jìn)行列方程組,再求解方程組而已.

方法4賦值法

對(duì)于抽象函數(shù)的問題可以采用此方法解決,對(duì)變量使用一般到特殊的變量賦值即可,即具體代入值.

例4若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽 且滿足f(0)=1,對(duì)任意的x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x)的表達(dá)式;

設(shè)計(jì)要點(diǎn)再次通過具體實(shí)例強(qiáng)化對(duì)代入法的理解,注意此題的y 不能理解為y =f(x),而應(yīng)理解為獨(dú)立變量.

由此, 學(xué)生已經(jīng)對(duì)代入法已經(jīng)有相當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)和理解了,會(huì)產(chǎn)生認(rèn)為代入法接近于是萬能解法的看法,適時(shí)來看一個(gè)代入法無法求解函數(shù)解析式的例子,講解過程中一定要注意對(duì)引導(dǎo)學(xué)生分析和理解實(shí)例中的解題思路.

例5已知函數(shù)f(x + 1) = x2+ 2x + 3, 求解函數(shù)y =f(x)的表達(dá)式.

對(duì)于上述函數(shù)f(x+1) = x2+ 2x +3, 我們?cè)诶斫馍洗嬖诘淖畲罄щy在于不知道對(duì)應(yīng)法則f 這個(gè)數(shù)值變換器的運(yùn)行原理, 例如對(duì)于函數(shù)g(x) = x2+ 2x + 3 和h(x+1) = (x+1)2+2(x+1)+3,我們可以分析出,兩個(gè)函數(shù)g(x)和h(x+1),它們的對(duì)應(yīng)法則g 和h 這兩個(gè)數(shù)值變換器的運(yùn)行原理是相同的,都是將小括號(hào)內(nèi)部的被作用對(duì)象x 和x+1 先進(jìn)行平方運(yùn)算,再加上它的2 倍,最后再加上常數(shù)3,這三個(gè)部分?jǐn)?shù)值的和就是最終的作用結(jié)果.在此分析過程中,我們?nèi)魧⑦@三個(gè)函數(shù)f(x+1) = x2+2x+3,g(x)=x2+2x+3,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 進(jìn)行對(duì)比,可發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)法則g 和h 這兩個(gè)數(shù)值變換器的運(yùn)行原理能夠很容易得出的原因,在于它們的解析式在左右兩側(cè)的形式是統(tǒng)一的,即g(x)=x2+2x+3 中左右兩側(cè)都是使用x 表達(dá)式的形式,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 中左右兩側(cè)都是使用x+1 表達(dá)式的形式,所以相對(duì)于f(x+1)=x2+2x+3我們是較為容易分析出對(duì)應(yīng)法則g 和h 這兩個(gè)數(shù)值變換器的運(yùn)行原理.但對(duì)于f(x+1) = x2+2x+3,我們無法分析出對(duì)應(yīng)法則f 這個(gè)數(shù)值變換器的運(yùn)行原理,主要原因就在于它解析式在左右兩側(cè)的形式是分裂的,故只需要我們將其劃歸到統(tǒng)一狀態(tài)即可,方法有二種：第一種是遷就等式的左側(cè),將等式右側(cè)統(tǒng)一為左側(cè)形式,即將x2+2x+3 配湊修改為x+1 的形式;第二種是遷就等式的右側(cè),將等式左側(cè)統(tǒng)一為右側(cè)形式,即將對(duì)應(yīng)法則內(nèi)部的x+1 修改寫成單獨(dú)的x 形式,但x+1 不明顯等于x,考慮到函數(shù)的自變量可以使用不同的字母進(jìn)行表示(為幫助學(xué)生理解,可向?qū)W生解釋說明概念理解要抓住物質(zhì)內(nèi)容大于形式,類比于雖在學(xué)校里使用的正式姓名和在家里家人使用的親切乳名但都表示同一個(gè)人),故可將對(duì)應(yīng)法則內(nèi)部的x+1 令其先等于t,將其進(jìn)行換元,改變自變量的符號(hào)表示,最后換回x 即可達(dá)到最初求解解析式的目標(biāo),最后從解題結(jié)果上可以看到兩種方法殊途同歸.

方法5配湊法

此方法是整體代換思想的具體體現(xiàn),即把括號(hào)里看成一個(gè)整體,把等式的右邊化成含有這個(gè)整體的表達(dá)式即可,該方法在很多情況下不及換元法方便快捷.

解析由f(x+1) = x2+2x+3 = (x+1)2+2,觀察等式左右兩側(cè),使用整體代入可得f(x)=x2+2.

方法6換元法

此方法用于不宜配湊或很難配湊出的情況,可把括號(hào)里的式子改換成t,并將等式的右邊用t 形式表示出來,即求出f(t)的表達(dá)式,最后再把t 換成x 即可,在此過程中應(yīng)注意t的取值范圍.

解析設(shè)t = x+1, 則x = t-1, 則等式f(x+1) =x2+ 2x + 3 兩側(cè)中的x 全部更換為t 可得f(t) =(t-1)2+2(t-1)+3=t2-2t+1+2t-2+3=t2+2,所以f(x)=x2+2.

設(shè)計(jì)要點(diǎn)將配湊法和換元法放在最后,是基于幫助學(xué)生全面而深刻理解函數(shù)對(duì)應(yīng)法則,激發(fā)學(xué)生弄清運(yùn)行原理.

至此,函數(shù)解析式的求解方法已經(jīng)全部向?qū)W生介紹完畢,在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中,以代入法的講解為主線,進(jìn)行了有所側(cè)重的講解,并對(duì)代入法無法解決的最后一道例題進(jìn)行了詳細(xì)分析和求法解釋說明,幫助學(xué)生正確理解了函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則這一數(shù)值變換器,樹立了認(rèn)識(shí)具體函數(shù)的重難點(diǎn)在于徹底弄清對(duì)應(yīng)法則的運(yùn)行原理的規(guī)律意識(shí),取得了良好的教學(xué)效果.