廣東省江門市新會第一中學(xué)(529100)洪偉榮

一、正態(tài)分布的傳統(tǒng)教學(xué)及其重要性

1.正態(tài)分布的傳統(tǒng)教學(xué)

正態(tài)分布在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)目標(biāo)是:通過對正態(tài)分布的探究,結(jié)合正態(tài)曲線,加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解,掌握正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用.傳統(tǒng)的教學(xué)一般致力于讓學(xué)生記住正態(tài)曲線的大致形狀及μ和σ的值對曲線位置與形狀的影響.不重視概念的探究和理解,特別是忽略了概念發(fā)生的過程,同時也不重視概念的應(yīng)用,直接拋出概念的結(jié)果,使“正態(tài)分布”留在學(xué)生的記憶中只是一個零碎的知識片段,割裂了知識之間的聯(lián)系.所以當(dāng)學(xué)生真正遇到問題時感覺束手無策.正態(tài)分布密度函數(shù)是比較復(fù)雜的,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中肯定有畏難情緒,這也是從HPM 視角來重新審視這一問題的必要性.統(tǒng)計知識的學(xué)習(xí)最終是要為人們制定決策提供依據(jù),正態(tài)分布的應(yīng)用同樣如此.

2.正態(tài)分布的重要性

隨著社會的發(fā)展,數(shù)據(jù)的收集變得越來越容易,隨著而來的問題是數(shù)據(jù)的分析和使用問題,統(tǒng)計與概率知識在今后的經(jīng)濟(jì)生活中將變得越來越重要.這在近年的數(shù)學(xué)高考全國卷中也有所體現(xiàn).正態(tài)分布是概率論中最重要的一種連續(xù)型分布,同時又是統(tǒng)計學(xué)的基石.而在高中,正態(tài)分布卻一直處于比較邊緣的地位沒有受到高中教師的重視.我們必須注意到近年全國I 卷理科數(shù)學(xué)分別在2014年的第18 題第(2)小問和2017年的第19 題整題都圍繞著正態(tài)分布進(jìn)行考查.特別是后者由于我們平時教學(xué)不重視導(dǎo)致這一題目的得分率相當(dāng)?shù)牡?這不得不引起我們高中數(shù)學(xué)教師的注意,我們亟需改變以往只讓學(xué)生粗略地了解正態(tài)分布這一概念的教學(xué)現(xiàn)狀,而應(yīng)該從一個全新的視角來開展我們的教學(xué),不但讓學(xué)生學(xué)“懂”,還要讓學(xué)生學(xué)“會”.

二、HPM 的概述

HPM 是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系國際小組的一個簡稱.自從1972年HPM 成立以來,數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系越來越受到數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注,特別是2005年我國在西北大學(xué)第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議的成功召開以來,數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)得到了越來越多專家的認(rèn)可,尤其是在概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史.著名的數(shù)學(xué)家陳省身說過:“了解歷史的變化是了解這門科學(xué)的一個步驟”,做為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)同樣如此.隨著HPM 研究的深入,相關(guān)的文獻(xiàn)己經(jīng)逐漸從開始時對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)必要性和可行性的探討轉(zhuǎn)向?qū)嵺`研究,越來越多的研究開始關(guān)注數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的研究方案,并開發(fā)出一些基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)案例.但研究者多數(shù)是高校的教師或研究生,一線高中數(shù)學(xué)教師開發(fā)HPM 案例還是不多見,基本上呈現(xiàn)“高評價,低應(yīng)用”的現(xiàn)狀.[1]

三、HPM 視角下的正態(tài)分布教學(xué)案例

1.概念引入

教師通過電腦展示利用Flash 軟件制作好的高爾頓板模擬實(shí)驗(yàn)(順便說明高爾頓板實(shí)驗(yàn)現(xiàn)在已經(jīng)被制作成一些游戲機(jī),引起學(xué)生的共鳴)、一次期中考全班、全年級總分的頻率分布直方圖、《必修3》100 位居民的月均用水量頻率分布直方圖(并回顧直方圖中每個小矩形面積的意義,及所有小矩形面積之和),進(jìn)一步展示當(dāng)樣本容量增加后得到的總體密度曲線,引入正態(tài)分布密度曲線.

2.擬合函數(shù)

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正態(tài)分布密度曲線這一條光滑的鐘型曲線,引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習(xí)的初等函數(shù)來擬合函數(shù).初步確定該曲線對應(yīng)的函數(shù)應(yīng)該是一個由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),且其對稱軸為x=μ,其開口大小與σ的值有關(guān)系;

(2)為什么要使用e作為底數(shù)呢? 教師著重強(qiáng)調(diào)e為底的指數(shù)式在積分或?qū)?shù)的運(yùn)算中的便捷性.

為什么正態(tài)分布密度函數(shù)中的指數(shù)式要以e為底——數(shù)學(xué)家在大量的指、對數(shù)運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)以e為底的指數(shù)式在積分或?qū)?shù)的運(yùn)算中最為簡單,我們在學(xué)習(xí)選修2-2 導(dǎo)數(shù)與定積分地運(yùn)算中應(yīng)該能夠感知一二,如(ex)′=ex,(ax)′=axlna,前者比后者的運(yùn)算顯然更簡單,而如使用后者在導(dǎo)數(shù)和積分的運(yùn)算中同樣會出現(xiàn)e.所以以e為底既是“自然”的選擇,更是運(yùn)算的選擇.[3]

(3)展示10 馬克錢幣的圖片并介紹高斯與正態(tài)分布的數(shù)學(xué)歷史,強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中的歷史地位激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

早在1733年,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗在二項(xiàng)分布正態(tài)逼近的研究中,用n!的近似公式得到了正態(tài)分布,但其成果不夠完善,并沒有引起人們的重視;直到1809年德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時完善了正態(tài)分布理論,對正態(tài)分布的廣泛應(yīng)用奠定了扎實(shí)的理論基礎(chǔ),并贏得了人們的普遍關(guān)注和研究.其使用范圍也不斷擴(kuò)展,從天文學(xué)、測地學(xué)到生物學(xué)、社會科學(xué)……,至今正態(tài)分布被廣泛地用于生活、生產(chǎn)、教育以及科學(xué)研究的各個領(lǐng)域.高斯是一位偉大的數(shù)學(xué)家,有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù),其一生在數(shù)學(xué)研究方面碩果累累,他對數(shù)學(xué)工作精益求精,只有將問題研究通透了,他才發(fā)表,在正態(tài)分布的研究方面也體現(xiàn)了這一精神,為了紀(jì)念其貢獻(xiàn),德國10 馬克印有高斯的頭像,在其上還印有正態(tài)分布密度曲線,可見正態(tài)分布是多么重要的一個發(fā)現(xiàn).[2]

以此為基礎(chǔ)教師給出正態(tài)分布密度函數(shù).

3.函數(shù)的圖象及性質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生得到正態(tài)曲線有如下的特點(diǎn):

(1)f(x)＞0 恒成立,曲線位于x軸的上方,與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的,開口向下,它關(guān)于直線x=μ對稱;

(3)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

(4)曲線與x軸之間的面積為1;

利用計算機(jī)演示μ、σ的取值對鐘型曲線的位置、開口大小的影響,總結(jié)如下特點(diǎn):

(5)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,隨著μ的變化沿x軸平移;

(6)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體分布越分散;σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體分布越集中.

4.正態(tài)分布的初步應(yīng)用

(I)教師介紹正態(tài)分布在三個常用特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率取值P(μ-σ ＜X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ ＜X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ ＜X≤μ+3σ)≈0.9973 并介紹3σ原則及極大似然法;

(II)通過課堂練習(xí)熟悉正態(tài)分布:

例1給出下列正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式,請找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ:

例2在一次測試中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ ＞0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求:

(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率;

(2)P(X ＞4).

例3在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從一個正態(tài)分布,即X ～N(90,100).

(1)試求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率;

(2)若這次考試共有2 000 名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?

(III)介紹正態(tài)分布的常見應(yīng)用,感受其強(qiáng)大的普適性,并讓學(xué)生完成例4 體會正態(tài)分布的應(yīng)用.

正態(tài)分布的應(yīng)用——研究表明,一個隨機(jī)變量如果是受到眾多的、獨(dú)立的、不分主次的隨機(jī)因素的影響,那么它就服從或近似服從正態(tài)分布.如:長度測量的誤差,射擊時彈著點(diǎn)與靶心間的距離,一定條件下生長的同種植物的高度,正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如尺寸、重量等),某一地區(qū)同齡人的身高、體重、肺活量等等.[4]實(shí)例(例4):公共汽車車門的高度設(shè)計——某型號的公共汽車車門的高度要求按成年男子與車門頂碰頭的概率不高于0.135%來設(shè)計.假設(shè)男子身高X ～N(170,49),問車門高度應(yīng)設(shè)計為多高?(單位:cm)

5.課堂小結(jié)

四、HPM 的意義

1.從教師層面來說,教師統(tǒng)過HPM 的研究可以了解更多的數(shù)學(xué)文化,增強(qiáng)自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng),借鑒歷史便于找到突破教學(xué)難點(diǎn)的方法.

2.從學(xué)生層面來說,學(xué)生通過HPM 下的教學(xué),可以拓展學(xué)生的視野,幫助學(xué)生理解所學(xué)的知識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,幫助學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.

3.從教學(xué)層面上來說,HPM 為我們的教學(xué)研究和實(shí)踐提供了一個新的視角.2019 高考數(shù)學(xué)全國卷進(jìn)一步增強(qiáng)了數(shù)學(xué)文化的考察力度,數(shù)學(xué)史不再是課堂的潤滑劑,已是高考的考察內(nèi)容,是在數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)“立德樹人”很好的素材.

五、HPM 下的教學(xué)案例開發(fā)方法初探

1.教師是教學(xué)史融入教學(xué)過程的主體,教師要對相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容的史料及文獻(xiàn)進(jìn)行搜集、閱讀、整理,并考慮將其融入到適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中;

2.要充分發(fā)揮學(xué)生的主動性,現(xiàn)在學(xué)生查找資料的能力并不亞于老師,在學(xué)生查找資料、選擇資料的過程中也是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過程;但學(xué)生在課堂展示相關(guān)史料必須經(jīng)過加工和教師的斟酌,以提高針對性和效率;

3.HPM 要服務(wù)于教學(xué),增強(qiáng)教學(xué)的效果,促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)知識的學(xué)習(xí),不能為講數(shù)學(xué)史而講數(shù)學(xué)史,應(yīng)將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)過程當(dāng)中,解決教學(xué)的難點(diǎn),解決學(xué)生的困惑,要有的放矢,不應(yīng)泛泛而談,促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的完成.