陸騰云，盧文科，左 鋒，馮 陽，吳子恒

（東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海201620）

變壓器式傳感器作為一種互感式的傳感器，是一種機(jī)電轉(zhuǎn)換裝置。由于采用差動(dòng)形式來連接次級(jí)繞組，同時(shí)又與變壓器的制作有著相同的原理，因此被稱為差動(dòng)變壓器式傳感器[1]。差動(dòng)變壓器由鐵芯、初級(jí)繞組、次級(jí)繞組等組成，這些組成部分都容易受到溫度的影響，包括繞組的阻值以及鐵芯的磁性。

目前主要的溫度補(bǔ)償方法有硬件補(bǔ)償和軟件補(bǔ)償2種。傳統(tǒng)的傳感器多采用硬件補(bǔ)償?shù)霓k法，但該方法存在補(bǔ)償效果不好、成本過高、生產(chǎn)效果不穩(wěn)定、精度難以提高等缺點(diǎn)[2]，因此軟件補(bǔ)償成為當(dāng)前比較熱門的溫度補(bǔ)償方法。插值法、查表法、最小二乘法、曲線擬合法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等都是比較常用的軟件補(bǔ)償方法。在此，運(yùn)用粒子群算法（PSO）優(yōu)化最小二乘支持向量回歸（LSSVM）的模型（PSO-LSSVM），對(duì)差動(dòng)變壓器式位移傳感器的溫度漂移進(jìn)行補(bǔ)償，在得到溫度補(bǔ)償?shù)念A(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之后，與原本測(cè)得的數(shù)據(jù)相比較，歸納出相應(yīng)結(jié)論。

1 差動(dòng)變壓器式位移傳感器的工作原理

差動(dòng)變壓器式位移傳感器主要由1個(gè)線框和1個(gè)鐵芯組成。初級(jí)繞組由線框繞上一組初級(jí)線圈組成，為輸入線圈；次級(jí)繞組則是在同一線框上另外繞上兩組次級(jí)線圈而成，為輸出線圈。同時(shí)，在線圈的中心位置放入鐵芯，此鐵芯是用來將被測(cè)的位移量轉(zhuǎn)化為線圈互感量變化的重要裝置，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 螺線管式差動(dòng)變壓器結(jié)構(gòu)Fig.1 Solenoid differential transformer structure

圖中，當(dāng)鐵芯上下移動(dòng)時(shí)，就會(huì)使2個(gè)次級(jí)線圈中的互感量發(fā)生變化。在此，采用反向串聯(lián)的方式，因此當(dāng)2個(gè)次級(jí)線圈中的互感量發(fā)生變化時(shí)，其電動(dòng)勢(shì)的差即為文中所得到的輸出電壓。在忽略鐵芯損耗和導(dǎo)磁體磁阻以及線圈電容等的理想條件下，其等效電路如圖2所示。

圖2 差動(dòng)變壓器等效電路Fig.2 Differential transformer equivalent circuit

當(dāng)激勵(lì)電壓U˙加給初級(jí)線圈L1a時(shí)，根據(jù)電磁感應(yīng)的原理，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)U˙2a和U˙2b就會(huì)分別在2個(gè)次級(jí)線圈L2a和 L2b中產(chǎn)生[3]。

在文中所述的假設(shè)理想條件下，如果鐵芯此時(shí)的位置處于初始的平衡位置，一定存在兩線圈的互感系數(shù) M1-M2，那么必然存在U˙2a=U˙2b[4]。 由于文中采用2個(gè)次級(jí)線圈反向串聯(lián)的方式連接，于是輸出電壓U˙0=U˙2a-U˙2b=0，此時(shí)的差動(dòng)變壓器輸出為零。 當(dāng)鐵芯向上移動(dòng)時(shí)，次級(jí)線圈L2a中磁通將大于次級(jí)線圈L2b中的磁通，使得M1>M2，使次級(jí)線圈L2a中的電動(dòng)勢(shì)U˙2a增加，同時(shí)使次級(jí)線圈L2b中的電動(dòng)勢(shì)U˙2b減小。 反之，U˙2b增加，U˙2a則減小。 因?yàn)閁˙0=U˙2a-U˙2b，所以當(dāng)U˙2a，U˙2b隨著鐵芯的位移 X 變化時(shí)，U˙0也必將隨著X變化[5]。

2 PSO-SVM模型的溫度補(bǔ)償原理

2.1 粒子群PSO算法原理

粒子群算法是群智能算法的一種，它源于對(duì)鳥群社會(huì)系統(tǒng)的研究。鳥類被吸引飛向棲息地，這一行為存在3種原則，分別是：每個(gè)個(gè)體都需要飛離最近的個(gè)體避免碰撞；每個(gè)個(gè)體都需要飛向整個(gè)群體的中心位置；每個(gè)個(gè)體都需要飛向目標(biāo)棲息地。在這個(gè)過程中，一開始的每一個(gè)個(gè)體都是無特定目標(biāo)的飛行，直到其中的一個(gè)個(gè)體飛到了棲息地，那么此時(shí)的期望棲息比期望留在鳥群中具有較大的適應(yīng)值，其結(jié)果會(huì)是每一個(gè)個(gè)體飛向棲息地，從而形成一個(gè)鳥群，最終鳥群都會(huì)落在棲息地[6]。

對(duì)于粒子i在第j維空間中運(yùn)動(dòng)的速度及其位置，采用以下公式進(jìn)行更新：

其中：i=1，2，…，M

式中：M為種群的粒子總數(shù)；w為慣性權(quán)重因子，其取值是非負(fù)的，大小會(huì)影響整個(gè)種群尋找最優(yōu)解的能力，一般設(shè)定w為隨著進(jìn)化而線性減小；t為此時(shí)的迭代次數(shù)；xij（t），vij（t）分別為t時(shí)刻第i粒子在j維子空間中的位置和速度；c1，c2為加速因子，一般取值為 0～2；r1j（t），r2j（t）為 2 個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)，取值為 0～1；pij（t）為第j維子空間中第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)解；pgj（t）為整個(gè)種群子t時(shí)刻在第j維子空間中的全局最優(yōu)解。

式（1）的第2項(xiàng)將當(dāng)前粒子位置與其歷史最優(yōu)位置之差乘上1個(gè)隨機(jī)函數(shù)，是為了將粒子當(dāng)前位置向其歷史最優(yōu)位置做出一定的隨機(jī)調(diào)整；式（1）的第3項(xiàng)將當(dāng)前粒子位置與整個(gè)種群的歷史最優(yōu)位置之差乘上1個(gè)隨機(jī)函數(shù)，是為了將當(dāng)前粒子位置在向個(gè)體最優(yōu)位置做出調(diào)整的同時(shí)，向種群最優(yōu)位置做出一定的隨機(jī)調(diào)整。

在每一次的迭代過程當(dāng)中，需要根據(jù)整個(gè)種群的目標(biāo)函數(shù)的值，來確定當(dāng)前粒子的最優(yōu)位置pij（t）以及整個(gè)種群的最優(yōu)位置pgj（t）。 設(shè)f（x）為最小化的目標(biāo)函數(shù)，則

在迭代的過程中，根據(jù)式（1）和式（2）更新各個(gè)粒子的速度及位置，根據(jù)式（3）和式（4）確定粒子i當(dāng)前的最好位置及整個(gè)種群的群體最優(yōu)位置。一般來說，當(dāng)?shù)拇螖?shù)達(dá)到設(shè)定的條件，或者群體搜索到的群體最優(yōu)位置滿足預(yù)設(shè)條件時(shí)，迭代結(jié)束。

2.2 最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM）原理

支持向量機(jī)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它是將非線性變換映射到高維特征空間中去，從而在高維特征空間中尋找線性函數(shù)，來模擬低維空間中的非線性變換[7]。

支持向量機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。在特征空間中，通過線性回歸函數(shù)

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分類或者擬合。

圖3 支持向量機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.3 SVM structure

最小二乘支持向量機(jī)有別于標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)的地方，是用等式約束條件代替了標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)中的不等式約束條件，同時(shí)它的損失函數(shù)采用誤差的二范數(shù)來表示，其效果是調(diào)高整體的收斂速度。它的優(yōu)化問題為

約束條件為

通過對(duì)拉格朗日函數(shù)的引入，推導(dǎo)出回歸函數(shù)模型為

式中：c為懲罰因子；ai為拉格朗日乘子；ξi為松弛因子。在此所選取的核函數(shù)為RBF核，即為高斯型徑向基函數(shù)：

此外，對(duì)于懲罰因子c和核函數(shù)中的參數(shù)σ需要自行選取。

2.3 PS0-LSSVM模型原理

采用最小二乘向量機(jī)的技術(shù)建立差動(dòng)變壓器式傳感器的逆模型，要涉及到對(duì)于LSSVM的懲罰因子c和σ的選取。文中采用粒子群算法對(duì)2個(gè)參數(shù)進(jìn)行選取，提高了模型的抗干擾能力和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。

PSO-LVSSVM算法的流程如圖4所示。其中，樣本訓(xùn)練集L是由二維標(biāo)定試驗(yàn)得到的位移和溫度數(shù)據(jù)集。粒子適應(yīng)度函數(shù)表示為預(yù)測(cè)結(jié)果與期望輸出的均方誤差。根據(jù)式（3）和式（4）調(diào)整最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置，具體表示為對(duì)于每個(gè)粒子，如果它的適應(yīng)度函數(shù)值比單個(gè)粒子歷史最優(yōu)的適應(yīng)度函數(shù)值小，則更新當(dāng)前粒子最優(yōu)位置值；如果當(dāng)前粒子最優(yōu)位置值比歷史全局最優(yōu)的適應(yīng)度函數(shù)值小，則更新全局最優(yōu)位置值。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到設(shè)定值則算法結(jié)束。此時(shí)的值即為最優(yōu)解。由此便得到最優(yōu)的c和σ的取值，即得到最優(yōu)的最小二乘支持向量機(jī)模型。

圖4PSO-LSSVM算法流程Fig.4 PSO-LSSVM algorithm flow chart

3 二維標(biāo)定試驗(yàn)

二維標(biāo)定試驗(yàn)的目的，是測(cè)量出在不同溫度下，差動(dòng)變壓器式位移傳感器測(cè)得的數(shù)據(jù)。

步驟1 將差動(dòng)變壓器式位移傳感器模塊和溫度傳感器模塊組合在一起，調(diào)整恒溫箱的溫度并待其穩(wěn)定后調(diào)節(jié)測(cè)微頭；

步驟2 在同一溫度下，每0.5 mm記錄1次數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包括差動(dòng)變壓器式位移傳感器的電壓輸出UX和溫度傳感器的電壓輸出UT；

步驟3 改變恒溫箱的溫度，待溫度穩(wěn)定后，重復(fù)步驟2。如此操作若干次，記錄不同溫度下得到的各組數(shù)據(jù)[8]。二維標(biāo)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，作出差動(dòng)變壓器式位移傳感器的輸入輸出特性曲線，如圖5所示。

表1 二維標(biāo)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Two-dimensional calibration experimental data

圖5 溫度補(bǔ)償前傳感器的輸入輸出特性曲線Fig.5 Input and output characteristic curve of sensor before temperature compensation

由圖可見，傳感器的輸入輸出特性曲線隨著溫度的變化而變化，即不同的溫度對(duì)應(yīng)于不同的輸入輸出特性曲線。在此采用了靈敏度溫度系數(shù)和溫度附加誤差來衡量溫度對(duì)該傳感器的影響[9]。

靈敏度溫度系數(shù)αs表示靈敏度隨溫度漂移的速度，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

溫度附加誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：T2，T1分別為工作的上、下限溫度；Umax，Umin分別為同一位移量下，工作溫度在T1～T2變化時(shí)，該傳感器輸出電壓的最大值、最小值。

由表可知，在溫度從20.03℃到60.29℃變化的情況下，T2-T1=（60.29-20.03）℃=40.26℃，傳感器輸入位移X=7.0 mm時(shí)，其輸出量的變化量最大，即Umax=8.729 V，Umin=4.556 V，ΔUmax=4.173 V。據(jù)此，由式（10）和式（11），可得

由此可知，該傳感器受溫度的影響比較大，須要對(duì)其進(jìn)行溫度補(bǔ)償。

4 溫度補(bǔ)償

對(duì)于PSO-LSSVM溫度補(bǔ)償模型，先采集位移量和溫度的數(shù)據(jù)，之后經(jīng)過二維標(biāo)定試驗(yàn)，將數(shù)據(jù)傳輸進(jìn)PSO-LSSVM算法模型中，得到最終的位移預(yù)測(cè)值，從而實(shí)現(xiàn)溫度的補(bǔ)償[10]。其系統(tǒng)框圖如圖6所示。

圖6 差動(dòng)變壓器式位移傳感器溫度補(bǔ)償系統(tǒng)Fig.6 Differential transformer type displacement sensor temperature compensation system

在此采用MatLab進(jìn)行溫度補(bǔ)償模型仿真。因所用粒子群算法只需要優(yōu)化最小二乘向量機(jī)中的2個(gè)參數(shù)，故設(shè)置粒子群的維數(shù)為2。同時(shí)，設(shè)置迭代次數(shù)為 300，加速因子c1=1.8，c2=1.2。

先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，由于文中數(shù)據(jù)趨近于線性分布，而標(biāo)準(zhǔn)化處理相對(duì)來說更適用于高斯分布的數(shù)據(jù)，因此文中僅考慮對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理而不進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。參數(shù)初始化后，運(yùn)用PSOLSSVM模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，得到結(jié)果后反歸一化，便可以得到預(yù)測(cè)位移值。溫度補(bǔ)償后的預(yù)測(cè)位移值見表2。

表2 溫度補(bǔ)償后的預(yù)測(cè)位移值Tab.2 Predicted displacement value after temperature compensation

PSO優(yōu)化的LSSVM模型得到的懲罰因子，c=30.1296，核函數(shù)參數(shù)σ=0.0100，預(yù)測(cè)結(jié)果的均方誤差=0.0035。其適應(yīng)度曲線如圖7所示。

圖7 適應(yīng)度曲線Fig.7 Fitness curve

由圖可見，粒子群算法只需要迭代約20代就可以找到較優(yōu)的解；當(dāng)?shù)?00多代后便可以得到最小二乘向量機(jī)最優(yōu)的2個(gè)參數(shù)值。根據(jù)表2溫度補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的擬合效果，如圖8所示。

圖8 溫度補(bǔ)償后的擬合效果Fig.8 Fitting effect after temperature compensation

由圖8可見，經(jīng)過PSO-LSSVM算法補(bǔ)償，溫度對(duì)于傳感器的影響明顯變小，輸入輸出關(guān)系曲線基本保持在同一條曲線上，對(duì)于溫度升高后對(duì)輸出的影響有了明顯的改善。算法補(bǔ)償后的傳感器誤差分

析如下：

靈敏度溫度系數(shù)αs數(shù)學(xué)表達(dá)式為

溫度附加誤差δ的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：T2，T1分別為工作的上、下限溫度；X′max，X′min分別為同一位移下工作溫度在T1～T2變化時(shí)，該傳感器的預(yù)測(cè)最大位移值、預(yù)測(cè)最小位移值。

由表2可知，在溫度從20.03℃到60.29℃變化的情況下，T2-T1=40.26℃，該傳感器的輸入位移X=5.0 mm時(shí)，其預(yù)測(cè)位移值的變化量最大，即X′max=5.0115 mm，X′min=4.9110 mm，ΔX′max=0.1005 mm。 由式（14）和式（15），可得

由溫度補(bǔ)償前后的靈敏度溫度系數(shù)和溫度附加誤差作比較（即式（12）（13）與式（16）（17）比較）可知，αs由補(bǔ)償前的 1.19×10-2減小到了 4.98×10-4，即減小了2個(gè)數(shù)量級(jí)；δ由補(bǔ)償前的47.81%減小到了2.01%，即減小了1個(gè)數(shù)量級(jí)。由此表明，基于PSO-LSSVM模型的溫度補(bǔ)償是十分有效的，提高了差動(dòng)變壓器式位移傳感器的溫度穩(wěn)定性。

5 結(jié)語

針對(duì)差動(dòng)變壓器式位移傳感器的溫度漂移問題，一般來說，存在硬件補(bǔ)償方法和軟件補(bǔ)償方法[11]。在此采用了基于PSO-LSSVM模型的軟件補(bǔ)償方法；利用了PSO的尋優(yōu)能力對(duì)LSSVM算法中的懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)σ進(jìn)行優(yōu)化選取，在使用LSSVM算法前就能得到最優(yōu)的算法模型，提高了算法收斂的速度。由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，溫度補(bǔ)償后的靈敏度溫度系數(shù)與溫度附加誤差減小了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，說明PSO-LSSVM算法對(duì)于溫度補(bǔ)償有著很好的效果，而且避免了手動(dòng)選取參數(shù)的缺點(diǎn)。