蘇 玖

親愛的同學(xué)們，給你一道題，先做做看，嘗試改編一下，也可以參考后面的提示，相信你也可以舉一反三，通過解一道題，學(xué)會(huì)解一類題．

題目（2019全國(guó)Ⅰ卷第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)．（1）求A；（2）若+b=2c，求sinC．

（改編1）_______________________________________________

（改編2）_______________________________________________

（改編3）_______________________________________________

提示：近幾年全國(guó)卷和各地高考卷中的解答題常見以三角形為背景，重點(diǎn)考查正余弦定理和兩角和差三角公式的題目．這類問題是高考的重點(diǎn)題型之一．通過改變?cè)}中的條件，利用正余弦定理將其轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，再結(jié)合三角形的面積公式求出相關(guān)的角的大小，繼而求出有關(guān)三角函數(shù)式的值．

參考答案

（改編1）在△ABC中，S為其面積，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，滿足sin（B-C）=cosA，且B為銳角．

（1）求角C的大小；

（2）若S=2，求邊c的最小值．

（改編2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足

（1）求證：sinC=2sinAsinB；

（改編3）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足

（1）求證：tanA=9tanB；

（2）若△ABC的面積S=b2+c2-a2，求tanC的值．

解析

原題解析：（1）因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．

設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC．

所以，由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，所以，

又因?yàn)?＜A＜π，所以

改編1：（1）因?yàn)閟in（B-C）=cosA，A=π-（B+C），因此sin（B-C）=-cos（B+C），所以sinBcosC-cosBsinC=-cosBcosC+sinBsinC，

即sinB（sinC-cosC）-cosB（cosC-sinC）=0，即（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0．又因?yàn)锽為銳角，于是，sinB＞0，cosB＞0，所以，sinB+cosB＞0，所以sinC=cosC．因?yàn)閟inC≠0，所以cosC≠0，所以tanC=1．又因?yàn)閠anx在上，因此

改編2：（1）由正弦定理得，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAsinB，即sin（A+B）=2sinAsinB．又因?yàn)锳+B=π-C，所以sin（A+B）=sinC，所以sinC=2sinAsinB．

改編3：（1）由正弦定理得，即a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入已知得ksinAcosB-ksinBcos

即5sinAcosB-5sinBcosA=4sin（A+B），展開化簡(jiǎn)整理得sinAcosB=9sinBcosA，

又因?yàn)閏osAcosB≠0，所以tanA=9tanB．

解題回顧先利用正弦或余弦定理對(duì)已知邊角混合等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用兩角和差正余弦公式進(jìn)行求角或三角函數(shù)值，最后再求相關(guān)三角函數(shù)值．