王雅麗，虞莉娟，張華軍，張清勇，蘇義鑫

（武漢理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，武漢430070）

0 引 言

頻率估計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容，在通信、振動(dòng)控制、地震監(jiān)測等方面有廣泛的應(yīng)用［1-2］。在現(xiàn)代電力電子設(shè)備中，由于電網(wǎng)頻率和相位信息是功率開關(guān)管（IGBT、IGCT、GTO）開通和關(guān)斷的參考，一旦開通或關(guān)斷不準(zhǔn)確可能導(dǎo)致設(shè)備中出現(xiàn)環(huán)流，環(huán)流過大則會(huì)影響多臺(tái)設(shè)備之間的并聯(lián)效果，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)龤Чβ书_關(guān)管［3-4］，因此電網(wǎng)電壓信號(hào)的實(shí)時(shí)在線頻率估計(jì)是十分必要的。由于自適應(yīng)陷波器結(jié)構(gòu)簡單，具有尖銳的阻帶截止特性，且能夠根據(jù)外部環(huán)境的變化自動(dòng)調(diào)節(jié)陷波參數(shù)，因此被認(rèn)為是一種良好的頻率估計(jì)濾波器［5］。常用的頻率估計(jì)方法主要有傅里葉變換法［6-8］、最小誤差平方法［9］、小波變換［10］、最小二乘法［11］等，此類方法計(jì)算量較大，對(duì)算法實(shí)現(xiàn)的硬件載體要求較高。因此，針對(duì)頻率動(dòng)態(tài)變化的信號(hào)，可采用自適應(yīng)陷波器以獲得準(zhǔn)確的頻率信息［12］。同時(shí)為了估計(jì)信號(hào)中多個(gè)頻率信息，通常將多個(gè)單頻陷波系統(tǒng)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)多頻率估計(jì)［13］，但該方法的結(jié)構(gòu)和陷波器參數(shù)調(diào)整算法均較復(fù)雜，不易于工程實(shí)際中的應(yīng)用。

本文針對(duì)電力系統(tǒng)頻率估計(jì)問題，提出一種二階自適應(yīng)陷波器頻率估計(jì)方法，結(jié)合電網(wǎng)電壓信號(hào)基波和諧波的特性，以陷波器實(shí)時(shí)輸出平方值為陷波器參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)隨機(jī)優(yōu)化理論推導(dǎo)了陷波器參數(shù)在線迭代算法。通過仿真研究和實(shí)驗(yàn)測試，檢驗(yàn)了所提出的頻率估計(jì)算法的響應(yīng)速度和估計(jì)誤差。

1 二階陷波器原理

陷波器也叫帶阻濾波器，能保證在其它頻率成分不失真情況下，有效地濾除輸入信號(hào)中特定的頻率成分［14-17］。對(duì)于二階陷波器，應(yīng)滿足其傳遞函數(shù)的零點(diǎn)在單位圓上，以使陷波深度無窮大，同時(shí)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)應(yīng)匹配，以使除陷波頻率ω0外的其他頻率成分不受影響。因此，可在單位圓上角度為ω0處引入一對(duì)復(fù)共軛零點(diǎn)z1，2=e±jω0，且在零點(diǎn)徑向附近放置一對(duì)復(fù)共軛極點(diǎn)p1，2=re±jω0（ 0＜r＜1），以減小陷波帶寬，則二階陷波器的零極點(diǎn)位置配置原理如圖1所示。

圖1 零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置Fig．1 Position of zeros and poles

可得二階陷波器傳遞函數(shù)：

又由于：

因此，二階陷波器傳遞函數(shù)可化為：

二階陷波器結(jié)構(gòu)原理如圖2所示。

圖2 二階陷波器原理Fig．2 Principle of second-order notch filter

其中u（k）表示陷波器輸入信號(hào)，陷波器各級(jí)輸出信號(hào)分別用e1（k） 、e（k） 表示。

令a=-2cosw0，代入式（4）可得：

其中r稱為極半徑參數(shù)，且0＜r＜1，即極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。二階陷波器的幅值特性如圖3所示，由于零點(diǎn)在單位圓上，所以傳遞函數(shù)在ω=ω0處的凹口深度為無窮深，幾乎可以完全濾除特定的頻率成分。

圖3 二階陷波器幅值特性Fig．3 Amplitude characteristics of second-order notch filter

此外，凹口的尖銳程度是由傳遞函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)的接近程度 1-r大小決定，即凹口帶寬BW=π (1-r) ，可由品質(zhì)因數(shù)Q=f0／BW=2／ω0（1-r） 來表征。對(duì)于特定的頻率成分，極半徑參數(shù)r越大，則極點(diǎn)越靠近單位圓，頻率響應(yīng)曲線凹陷越深，陷波器凹口帶寬越小，品質(zhì)因數(shù)越大，陷波效果越好；反之，極半徑參數(shù)r越小，則極點(diǎn)離單位圓越遠(yuǎn)，頻率響應(yīng)曲線凹陷越淺，陷波器凹口帶寬變窄，品質(zhì)因數(shù)越小，陷波效果也越差。當(dāng)r=1時(shí)，陷波器成為只濾除頻率ω0的理想濾波器。圖4描繪了陷波頻率ω0=50 Hz時(shí)不同的極點(diǎn)半徑r造成的濾波器幅頻特性曲線。

圖4 不同r對(duì)應(yīng)的陷波器幅頻特性曲線Fig．4 Amplitude-frequency characteristic curve of the notch filter corresponding to r

從圖4中還可以發(fā)現(xiàn)，陷波器的帶阻頻率與歸一化頻率w0之間不同，這種原因在于歸一化頻率需要根據(jù)不同的采樣頻率來計(jì)算實(shí)際的帶阻頻率。陷波器帶阻角頻率ωstop=ω0×fs，帶阻頻率fstop=ωstop／2π 。 此外，r越大，則對(duì)陷波頻率以外的其他信號(hào)的衰減越小，在實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)實(shí)際的濾波效果選擇合適的r。

通過以上分析可知，a為與陷波頻率ω0有關(guān)的陷波器參數(shù)，因此可通過調(diào)節(jié)參數(shù)a對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行估計(jì)，即選取適當(dāng)?shù)臉O半徑r，固定陷波帶寬，通過自適應(yīng)調(diào)整陷波參數(shù)a，將諧波信號(hào)幾乎完全濾除，對(duì)基波信號(hào)頻率實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)在線估計(jì)。

2 交流電壓自適應(yīng)頻率估計(jì)

在電力系統(tǒng)中［18-19］，由于受到非線性負(fù)載的影響，穩(wěn)態(tài)的工頻供電電壓波形將偏離正弦波形而發(fā)生畸變，以若干個(gè)正弦波疊加的形式可將電網(wǎng)電壓信號(hào)表示為：

式中r（t）表示在電網(wǎng)電壓信號(hào)中占主要成分的基波信號(hào)；e（t）表示其他一些能量較小的信號(hào)，即諧波信號(hào)；且U1、φ1分別為基波電壓有效值和初相位，Un、φn分別為第n次諧波電壓有效值及初相位。

在用自適應(yīng)陷波器對(duì)電網(wǎng)電壓基波信號(hào)的頻率進(jìn)行估計(jì)時(shí)，其原理如圖5所示，可將含有n次諧波的電壓信號(hào)作為陷波器輸入信號(hào)，通過自適應(yīng)算法對(duì)基波頻率的梯度搜索及陷波器的濾波作用，可達(dá)到基波信號(hào)r（k）與諧波信號(hào)e（k）分離的目的，進(jìn)而對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行估計(jì)。由于在最小均方誤差準(zhǔn)則下，一旦陷波器沒有完全濾除基波信號(hào)，則陷波器輸出的諧波信號(hào)能量便會(huì)增加，對(duì)基波信號(hào)的頻率估計(jì)將不準(zhǔn)確，因此應(yīng)適當(dāng)選取陷波器的有關(guān)參數(shù)，盡可能將諧波信號(hào)完全濾除，提高頻率估計(jì)的準(zhǔn)確性。

圖5 自適應(yīng)陷波器原理Fig．5 Principle ofadaptive notch filter

建立如下參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

式中e（k）是輸入信號(hào)u k()經(jīng)過陷波器H z()后輸出的誤差信號(hào)，則目標(biāo)函數(shù)梯度為：

又由陷波器傳遞函數(shù)可得：

則 de k()／da為：

因此目標(biāo)函數(shù)梯度g k()為：

根據(jù)梯度搜索迭代公式，參數(shù)a的迭代公式為：

若令α=2μ，則：

式中α為迭代步長，也稱學(xué)習(xí)速率，且α＞0，影響系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度。α越小，即學(xué)習(xí)速率越慢，輸出信號(hào)失調(diào)越小，但響應(yīng)速度變慢；反之，α越大，即學(xué)習(xí)速率越快，會(huì)導(dǎo)致較快的響應(yīng)速度，但輸出信號(hào)的失調(diào)也變大，可能導(dǎo)致算法無法收斂［20］。在工程應(yīng)用中需根據(jù)實(shí)際情況折中考慮，做出最佳選擇。

3 仿真研究

為了對(duì)所提出的頻率估計(jì)方法展開更進(jìn)一步的分析、驗(yàn)證，首先在基波頻率固定的情況下對(duì)電壓信號(hào)進(jìn)行跟蹤實(shí)驗(yàn)研究。以電網(wǎng)單相電壓信號(hào)頻率估計(jì)為例，取采樣頻率fs=10 000 Hz，極半徑參數(shù)r=0．99。將待估計(jì)頻率ω0=50 Hz的基波信號(hào)注入3次，5次和7次諧波，其幅值分別為基波幅值20%，13%和11%的信號(hào)作為輸入信號(hào)，如圖6所示。即采樣得到的電壓信號(hào)為：

圖6 輸入信號(hào)u t()曲線Fig．6 Curve of the input signal u t()

表1為取待估計(jì)頻率f0=50 Hz，當(dāng)初始帶阻頻率從f=50．1 z至f=60 z變化，步長α分別為 0．5×10-10、 1．0×1010、 1．3×10-10、 1．5×10-10、 2．0×10-10時(shí)，針對(duì)提出的頻率估計(jì)方法從響應(yīng)時(shí)間與估計(jì)誤差兩方面進(jìn)行對(duì)比的結(jié)果。從表中可以看出，當(dāng)初始帶阻頻率相同時(shí)，隨迭代步長的增大，自適應(yīng)陷波系統(tǒng)的超調(diào)量逐漸增大，陷波參數(shù)曲線的響應(yīng)速度越來越快，但頻率估計(jì)精度將隨之小幅降低。當(dāng)步長相同時(shí)，陷波參數(shù)曲線的估計(jì)誤差與初始帶阻頻率無關(guān)，表明該方法具有較好的頻率估計(jì)穩(wěn)定性能，但當(dāng)初始頻率f與待估計(jì)頻率f0非常接近時(shí)，由于初始梯度較大，會(huì)引起陷波參數(shù)曲線較大的振蕩，響應(yīng)時(shí)間增大；若初始頻率f與待估計(jì)頻率f0相差較大，則亦會(huì)增大梯度搜索時(shí)間，即響應(yīng)時(shí)間增長。綜上，應(yīng)選擇合適的初始頻率同時(shí)滿足較小的響應(yīng)時(shí)間和較小的估計(jì)誤差。

表1 初始頻率f和步長均不同條件下陷波參數(shù)曲線響應(yīng)時(shí)間與估計(jì)誤差對(duì)比Tab．1Comparison of the response time and the estimation error of notch parameter curve under different conditions of initial frequency and step length

根據(jù)表1分析，且為適應(yīng)更寬范圍的頻率波動(dòng)，仿真測試中陷波器的初始帶阻頻率設(shè)置為60 Hz，即參數(shù)的初始值為：a=-2cos( 2π×60／10 000)。

由以上分析可知步長α對(duì)自適應(yīng)陷波器的頻率估計(jì)性能有重要影響，通過式（13）的迭代計(jì)算，可得圖7所示在不同步長情況下參數(shù)a收斂曲線。綜合比較系統(tǒng)可知，當(dāng)步長α=1．3×10-10時(shí)，陷波參數(shù)a經(jīng)過約800次算法迭代收斂于最優(yōu)值，即收斂時(shí)間ts=0．08 s，相較于其他步長收斂速度更快，且控制精度較高。由此驗(yàn)證了式（13）所示算法具有全局收斂能力，可以應(yīng)用于工程實(shí)際。

取步長α=1．3×10-10，可得圖8所示陷波器輸出誤差信號(hào)曲線，電壓基波信號(hào)經(jīng)過陷波器帶阻頻率逐步調(diào)整后，誤差信號(hào)隨之逐漸減小，當(dāng)陷波參數(shù)a收斂于理論最優(yōu)值時(shí)，輸出誤差信號(hào)也趨于穩(wěn)定，為3次、5次和7次諧波信號(hào)疊加。將輸入信號(hào)與陷波器輸出誤差信號(hào)線性疊加，即可準(zhǔn)確提取圖9所示待估計(jì)頻率的電壓基波信號(hào)，進(jìn)而獲得基波信號(hào)頻率，從而驗(yàn)證了式（13）中提出的自適應(yīng)迭代算法的有效性。

圖7 參數(shù)a收斂曲線Fig．7 Convergence curve of the parameter a

圖8 輸出信號(hào)e t()曲線Fig．8 Curve of the output signal e t()

圖9 自適應(yīng)陷波系統(tǒng)輸出的電壓基波信號(hào)Fig．9 Fundamental waveform signal output by the adaptive notch system

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提頻率估計(jì)方法的有效性及工程應(yīng)用的可靠性，將此方法應(yīng)用于對(duì)實(shí)際電網(wǎng)電壓基波信號(hào)的頻率估計(jì)。實(shí)驗(yàn)利用圖10所示的LV25-P／SP5電壓互感器對(duì)輸電線路上單相電壓信號(hào)進(jìn)行采集，采樣頻率fs=10 000 Hz，得到的電壓信號(hào)曲線如圖11所示，可以看出采集的相電壓含有很小的諧波畸變信號(hào)。另取極半徑參數(shù)r=0．99，陷波器的初始帶阻頻率為60 Hz。

圖10 電壓互感器Fig．10 Voltage transformer

圖11 輸入信號(hào)u t()曲線Fig．11 Curve of the input signal u（t）

將采集到的電網(wǎng)電壓信號(hào)輸入自適應(yīng)陷波系統(tǒng)，經(jīng)過自適應(yīng)算法調(diào)整，得到圖12所示的參數(shù)a收斂曲線及圖13所示的陷波器輸出誤差信號(hào)曲線，最終系統(tǒng)將輸出穩(wěn)定的電壓基波信號(hào)曲線，即諧波干擾信號(hào)被完全濾除，準(zhǔn)確提取出了工頻ω0=50Hz的基波信號(hào)。

圖13 輸出信號(hào)e t()曲線Fig．13 Curve of the output signal e t()

5 結(jié)束語

提出一種新的基于自適應(yīng)陷波器的簡單頻率估計(jì)方法，運(yùn)用隨機(jī)優(yōu)化的方法對(duì)自適應(yīng)陷波器的參數(shù)進(jìn)行配置，使陷波器檢測得到的基波信號(hào)頻率不斷逼近待估計(jì)信號(hào)頻率，實(shí)現(xiàn)基波信號(hào)的準(zhǔn)確提取。將此方法應(yīng)用于頻率恒定信號(hào)的跟蹤，對(duì)含諧波的電網(wǎng)電壓基波信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)，響應(yīng)速度較快，穩(wěn)定性較高。通過Simulink仿真分析及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的驗(yàn)證，進(jìn)一步說明了此方法的收斂性、有效性以及實(shí)時(shí)性，可應(yīng)用于工程實(shí)際。