高 磊，花勝強(qiáng)，陳 意，鄭健兵

（南瑞集團(tuán)公司（國網(wǎng)電力科學(xué)研究院），江蘇 南京 211106）

基于回歸建模的統(tǒng)計(jì)方法是目前大壩變形監(jiān)測分析的主要手段之一，而因子空間和樣本質(zhì)量決定了回歸統(tǒng)計(jì)的精度上限，選用合適的回歸模型和算法只能逼近該上限。通常，在對(duì)大壩變形進(jìn)行分析時(shí)會(huì)選取多個(gè)回歸因子，如多個(gè)承前時(shí)段內(nèi)水頭的1—4次方值及溫度值，多個(gè)周期的溫度諧波因子，以及多種函數(shù)的時(shí)效因子。但是由此也衍生了一系列問題，首先，高維度下數(shù)據(jù)處理的時(shí)空復(fù)雜度劇增；其次，非相關(guān)因子及因子間互相關(guān)性會(huì)嚴(yán)重干擾回歸分析的精度，降低模型的泛化能力和可解釋性；最后，不同因子的采樣周期差異、數(shù)據(jù)的非標(biāo)準(zhǔn)化表示等都會(huì)影響模型的可信度。因此，如何處理和抽取合理的回歸因子，對(duì)基于統(tǒng)計(jì)方法的大壩變形監(jiān)測分析具有決定性的意義[1-3]。

1 行業(yè)現(xiàn)狀

目前業(yè)界內(nèi)變形分析的因子抽取，普遍是基于主成分分析、獨(dú)立成分分析、典型相關(guān)性分析及偏最小二乘回歸分析的原理進(jìn)行抽取和變換的，其主要缺點(diǎn)包括[4-7]：主成分分析、獨(dú)立成分分析側(cè)重于因子側(cè)的最大化信息表述和抽取，典型相關(guān)性分析側(cè)重于效應(yīng)量和因子的相關(guān)性最大化，都不夠全面；典型相關(guān)性分析和偏最小二乘回歸分析都只能考察變量的線性相關(guān)性，對(duì)于非線性系統(tǒng)則容易失真；數(shù)據(jù)的預(yù)處理也極為重要，如果對(duì)未經(jīng)降噪、去量綱、時(shí)序?qū)R等預(yù)處理的因子樣本直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，那分析結(jié)論的精度通常是不可接受的。

通過以上可以看出，行業(yè)內(nèi)目前普遍采用的因子抽取和變換方法都存在著一定的不足和缺陷，影響了大壩安全分析后續(xù)工作的進(jìn)一步展開。

2 技術(shù)方案

為克服以上這些問題，首先通過降噪、歸一化和測次對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，為后續(xù)的因子抽取提供可信的樣本基礎(chǔ)；其次，通過綜合最大化因子的方差及變形效應(yīng)量和因子的相關(guān)性，而不是單純的因子主成分分析，使得因子的抽取更為合理；最后，使用基于互信息而非協(xié)方差的相關(guān)性檢驗(yàn)，避免了僅能衡量線性相關(guān)的局限性，進(jìn)一步提高因子抽取的精度，為后續(xù)大壩安全監(jiān)測的成因分析和回歸預(yù)測，提供了更為全面和精密的基礎(chǔ)，詳細(xì)技術(shù)方案流程如下：

2.1 基于3σ準(zhǔn)則的降噪和歸一法的去量綱處理[8-11]

原始觀察樣本中的粗差對(duì)于后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析可能會(huì)有極大的影響，甚至使得分析失效，例如因子歸一化、某些分類和回歸算法對(duì)于離群點(diǎn)類的粗差比較敏感，因此應(yīng)首先去除離群點(diǎn)，本方法采用3σ準(zhǔn)則過濾離群點(diǎn)。

根據(jù)每個(gè)因子的原始樣本序列，計(jì)算出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，然后遍歷序列的每一個(gè)原始測值V，如果滿足：|V-μ|≥3σ，即判定該值為離群點(diǎn)，予以剔除。

接下來對(duì)每個(gè)因子進(jìn)行歸一化以去掉量綱。對(duì)于某因子的測值序列，進(jìn)行變換如下：V’=（V-Vmin）/（Vmax-Vmin），其中，V’為變換后的新測值，V為原始測值，Vmin為本序列中原始測值中的最小值，Vmax為本序列中原始測值中的最大值。

2.2 基于時(shí)效的測次對(duì)齊

實(shí)際大壩安全監(jiān)測中，變形效應(yīng)量和各個(gè)環(huán)境因子難以保證完全同步測量，存在測量時(shí)序錯(cuò)位的問題。因此，尋找并匹配變形效應(yīng)量和各個(gè)因子的測值，從而組成一個(gè)完整的測次，使得該測次內(nèi)所有變量的時(shí)間差都在有效的時(shí)間間隔內(nèi)，并使得總時(shí)間跨度最小，這樣可以得到較佳的樣本質(zhì)量。

2.3 基于主成分和互相關(guān)最優(yōu)的因子抽取[12-18]

互信息是兩個(gè)變量間相關(guān)性的度量，表示兩個(gè)變量間共有信息量的程度，不同于協(xié)方差，互信息可以衡量各種關(guān)系的相關(guān)性。兩個(gè)變量X和Y的互信息I（X；Y）如下：

其中，p（x，y）是X和Y的聯(lián)合概率分布函數(shù)，而p（x）和p（y）分別是X和Y的邊緣概率分布函數(shù)。

令單位向量u為因子矩陣X的第一主成分的轉(zhuǎn)換系數(shù)，則目標(biāo)是要主成分Xu的方差Var（Xu）、變形效應(yīng)量Y與主成分Xu的相關(guān)性綜合最大，考慮二者的協(xié)方差Cov（Y，Xu）：

即轉(zhuǎn)化為求二者的協(xié)方差最大，其中Corr（Y，Xu）為二者的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。此外，協(xié)方差計(jì)算的是兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度，非線性的相關(guān)性通過協(xié)方差難以挖掘出來。考慮到互信息系數(shù)能表征兩個(gè)變量間的非線性相關(guān)性，本文使用互信息I來表征其相關(guān)性，所以目標(biāo)函數(shù)形式化表述為：

引入拉格朗日乘子，得到Γ=I（Y，Xu）-λ（uTu-1）/2，兩邊對(duì)u做偏導(dǎo)，即可轉(zhuǎn)為對(duì)互信息矩陣的本征值和本征向量的求解問題，根據(jù)本征值的降序排列，可得到對(duì)應(yīng)的本征向量集合，此即為因子的各個(gè)主成分轉(zhuǎn)換向量。

2.4 降維并形成最終因子抽取的系數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣

對(duì)于第k個(gè)主成分轉(zhuǎn)換向量，定義其主成分貢獻(xiàn)率為δk：

式中，λk為第k個(gè)主成分轉(zhuǎn)換向量對(duì)應(yīng)的本征值，n為因子的總數(shù)，也是主成分轉(zhuǎn)換向量的總數(shù)。

根據(jù)λk由高到低的順序，依次累加其對(duì)應(yīng)的δk，當(dāng)總和占全部δk總和的98%以上時(shí)候，即停止選擇，則之前所有入選的對(duì)應(yīng)的δk主成分轉(zhuǎn)換向量集合，即為最終的因子抽取的轉(zhuǎn)換矩陣。

3 算例

以瀾滄江某混凝土壩2000—2015年自動(dòng)化沉降觀測資料為例，分別建立原始全回歸模型，偏最小二乘回歸模型和基于本方法改進(jìn)的全回歸模型。影響沉降的因子包括庫水位H、氣溫T、時(shí)效t等，本次實(shí)例選取因子為當(dāng)日、前兩日、前3～5日、前5～10日的平均水位H、平均水位的平方值H2、平均水位的立方值H3、平均水位的四次方值H4、氣溫T、時(shí)效的自然對(duì)數(shù)值ln（t），來組成原始因子矩陣，以matlab程序作為開發(fā)環(huán)境和宿主程序，擬合結(jié)果如下：運(yùn)行全回歸擬合，得復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.923 3，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.613 3；運(yùn)行偏最小二乘回歸擬合，得復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.798 1，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.702 4。運(yùn)行基于本方法改進(jìn)的全回歸模型，得復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.808 3，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.673 4。

進(jìn)一步分析模型可以發(fā)現(xiàn)，全回歸分析雖然針對(duì)樣本的擬合精度最高，但是從物理成因上無法解釋，如水位因子的系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)值過大，這些都違反了大壩性狀分析基礎(chǔ)成因理論，純粹為擬合方程，不能用于實(shí)際分析和預(yù)測；偏最小二乘回歸和本方法改進(jìn)的回歸模型都較好的克服了上述缺陷，模型系數(shù)相對(duì)合理，也符合實(shí)際，但是本模型無論是在擬合階段，還是在后續(xù)的驗(yàn)證階段，都能取得相對(duì)偏最小二乘回歸較優(yōu)的擬合精度，體現(xiàn)出了其穩(wěn)健性好，魯棒性強(qiáng)，對(duì)客觀實(shí)際描述更為恰當(dāng)。

雖然本實(shí)例采用的驗(yàn)證方法比較簡單，因子的選擇和建模結(jié)果的理論分析也有較大的改善空間，但也能從某個(gè)方面顯示出本方法的實(shí)用性，隨著分析研究的不斷深入，希望本方法能對(duì)研究和分析水工建筑物實(shí)際性態(tài)狀況起到良好的輔助作用。

4 總結(jié)

本文提出了一種大壩變形分析中因子抽取和轉(zhuǎn)換的方法。首先，基于3σ準(zhǔn)則和歸一法對(duì)因子進(jìn)行降噪和去量綱處理；其次，基于指定的有效時(shí)間間隔進(jìn)行各個(gè)因子的測次對(duì)齊；再次，基于變形效應(yīng)量和因子的主成分的互信息最大原則，依次抽取因子的主成分向量；最后，按照主成分貢獻(xiàn)率從大到小的規(guī)則對(duì)主成分向量排序，并按照98%的主成分貢獻(xiàn)率總和標(biāo)準(zhǔn)抽取并組合得到最終的因子轉(zhuǎn)換矩陣。通過算例驗(yàn)證表明，本方法提取后的因子空間對(duì)于后續(xù)大壩安全監(jiān)測的成因分析和回歸預(yù)測，提供了更為全面和精密的基礎(chǔ)。