黃小平，鄭梅生

(南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

0 引言

為了滿足實際應(yīng)用的某些特定要求和具備優(yōu)良性能，同時考慮到便于加工和檢測、提高制造和測量的精度、減少成本、避免依賴高檔高精度加工設(shè)備等方面，工程中廣泛采用一類廓線形狀簡單的平面盤形凸輪(以下簡稱為簡單廓線凸輪)，其廓線是圓弧、直線、漸開線、橢圓、阿基米德螺線、對數(shù)螺旋等曲線或它們的組合[1～11]。其中，圓盤凸輪(又稱單圓弧盤形凸輪[12])的廓線是圓，形狀最簡單，制造和測量最容易。充分研究簡單廓線凸輪機構(gòu)的運動和動力特性，確定其適用場合，促進其更多應(yīng)用，具有顯著的學(xué)術(shù)意義和經(jīng)濟價值。

眾所周知，從動件的運動規(guī)律與凸輪的理論廓線(以下簡稱為凸輪廓線)相對應(yīng)。凸輪廓線種類不同，則從動件運動規(guī)律種類不同，從動件的速度最值、加速度最值、躍度最值和作用于凸輪上的阻力矩最值等隨之不同，從而凸輪機構(gòu)的工作性能不同。這些最值若以無量綱形式表示，即為從動件運動規(guī)律的特性值[13-14](以下簡稱為特性值)。這些特性值從不同角度反映從動件運動規(guī)律(凸輪廓線種類)對機構(gòu)動力學(xué)性能的影響，和壓力角、機械效率一起，構(gòu)成機構(gòu)動力學(xué)性能的多種評價指標，其數(shù)值大小是確定各種運動規(guī)律(凸輪廓線)適用于什么工作場合(低、中、高速度，輕、中、重載荷)的主要依據(jù)[13-15]。文獻[13-15]給出了常用運動規(guī)律，例如等速、等加速、等減速、簡諧等運動規(guī)律的特性值。而簡單廓線凸輪的特性值研究，經(jīng)國內(nèi)外資料檢索，幾乎還未開展，僅見有文獻[12]針對對心直動從動件圓盤凸輪的涉及從動件位移1、2階導(dǎo)數(shù)的近似分析和近似數(shù)據(jù)，因而這一大類凸輪機構(gòu)還沒像人們所熟知的采用各種常用運動規(guī)律的一大類凸輪機構(gòu)那樣，能從特性值方面進行動力學(xué)性能的評判，而確定其最適用場合。此外在現(xiàn)有文獻中，有關(guān)圓盤凸輪機構(gòu)設(shè)計方法的內(nèi)容也很少見到，這將影響該種機構(gòu)的良好設(shè)計和應(yīng)用。

作為改變此現(xiàn)狀的初步探索，本文研究尖底(或滾子)擺動從動件圓盤凸輪的運動學(xué)、壓力角、上述4個主要特性值以及設(shè)計方法，為豐富其設(shè)計校核和性能評價提供理論依據(jù)。

將滾子從動件的滾子中心視為尖底從動件的尖底，則滾子從動件的凸輪機構(gòu)即成為尖底從動件的凸輪機構(gòu)，因此文中僅研究后者。

1 機構(gòu)的構(gòu)形、坐標系及參數(shù)定義

將不同的圓盤凸輪轉(zhuǎn)向(順時針或反時針方向)與尖底擺動從動件相對于圓盤凸輪的不同初始位置進行組合，可形成該機構(gòu)的多種情況。通過將機構(gòu)整體在其所在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動某一角度、繞水平軸或豎直軸作180翻轉(zhuǎn)等變換，總可歸結(jié)為凸輪順時針轉(zhuǎn)動且從動件初始位置A0B0在機架OA0的上方(圖1(a))或下方(圖1(b))這兩種情形。

圖1 尖底擺動從動件圓盤凸輪

圖1中建立固聯(lián)于圓盤凸輪的右手直角坐標系Oxy，取原點O在凸輪軸心處，坐標軸x通過點O和凸輪圓心C，點C到O的方向為軸x的正向，軸x繞點O反時針轉(zhuǎn)過90得坐標軸y。

設(shè)凸輪是原動件，順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為φ，推程開始時φ= 0，角速度ω為常數(shù)，其廓線半徑、偏心距(點C和O的距離)為r、b，廓線的最小向徑(即基圓半徑)、最大向徑為r0、rΦ，推程運動角、回程運動角為Φ、Φ'，廓線上的任意點B的直角坐標為(x, y)。

設(shè)從動件的長度、轉(zhuǎn)角、初位角、角行程為c、ψ、ψ0、ψx(即ψ的最大值ψmax)，角速度、角加速度、角躍度、角跳度為γ、λ、σ、β。

設(shè)機架的長度、初位角為a、φ0。

采用反轉(zhuǎn)法研究機構(gòu)運動，即給整個機構(gòu)一個繞點O且角速度為(-ω)的反轉(zhuǎn)運動，于是凸輪固定不動，從動件AB在跟隨機架OA反轉(zhuǎn)(這時機架相對凸輪轉(zhuǎn)過的角度即為原來凸輪相對機架轉(zhuǎn)過的角度φ)的同時，還相對機架以原來運動規(guī)律ψ= ψ(φ)運動。

簡記角φ的三角函數(shù)sinφ、cosφ為sφ、cφ(其他角的三角函數(shù)也這樣簡記)，反三角函數(shù)arccos、arctan為c-1、t-1。

對φ的1、2、3、4階導(dǎo)數(shù)d/dφ、d2/dφ2、d3/dφ3、d4/dφ4簡記為上標9、、、。

2 尺寸常數(shù)

由圖1的△OA0B0、△OAΦBΦ和余弦定理有：

(1)

其中：b>0，a>0，c>0，r>0。

眾所周知，機構(gòu)各構(gòu)件轉(zhuǎn)角之間關(guān)系只取決于各構(gòu)件相對長度。引入長度比例系數(shù)mb(稱為凸輪偏心率)、ma和mc：

(2)

則：

(3)

其中：mb>0，ma>0，mc>0。

顯然，機構(gòu)全部尺寸常數(shù)中4個獨立(例如r、b、a、c)，已知任意4個尺寸常數(shù)，可由式(1)-式(3)求出其他尺寸常數(shù)。

3 凸輪廓線方程

記φ= φ-φ0(圖1(a))，φ=φ+φ0(圖1(b))，ψ= ψ+ ψ0(圖1)，則：

φ=φ?φ0ψ=ψ+ψ0φ′=1ψ′=ψ′(ψ?φ)′=ψ′?1

(4)

式(4)中的第1和第5式的“?”號，其上方符號對應(yīng)圖1(a)機構(gòu)、下方符號對應(yīng)圖1(b)機構(gòu)，下同，不再贅述，但特別指出的除外。

在圖1四邊形OABC中，矢量a、c與x軸正向的夾角為φ、φ-ψ(圖1(a))或φ+ψ(圖1(b))。將矢量OB= a- c在x、y軸上投影，有x= acφ- ccφ±ψ，y= asφ- csφ±ψ，注意到φ?ψ=?(ψ?φ)，得凸輪廓線方程：

(5)

4 行程速比系數(shù)和從動件運動規(guī)律

顯然，圓盤凸輪機構(gòu)中從動件運動為“升-降”型，無休止(停留)階段。

凸輪是原動件，故機構(gòu)的行程速比系數(shù)K=從動件慢行程凸輪運動角/從動件快行程凸輪運動角。因Φ9= 2π- Φ，故若Φ<180，則從動件的推程是快行程，回程是慢行程，K= Φ9 /Φ= 2π/Φ- 1；若Φ>180，則從動件的推程是慢行程，回程是快行程，K=Φ/Φ9=1/(2π/Φ-1)。

將圖1的四邊形OABC中的矢量等式r= b+ a- c的兩邊作自身的點積(數(shù)量積)有：rr= bb+ aa+ cc+ 2(ba- bc- ac)，即r2= b2+ a2+ c2+ 2(bacφ- bccφ?ψ- accψ)，[(b2+ a2+ c2- r2)/ 2+ bacφ] /c= acψ+ bcψ?φ，

[(mb2+ ma2+ mc2- 1)/2+ mbmacφ]/mc= macψ+mbcψ?φ= macψ+ mb(cφcψsφsψ)

(a)

記：

(6)

則：

Dsψ+ Ecψ= F，

(7)

從文獻[13-14]知：

(8)

記P= sψ/mb，Q= sψ?φ/ma，R= sφ/mc，則：

P9= cψψ9/mb，P"= (cψψ- sψψ92)/mb，P= (cψψ- 3sψψ9ψ- cψψ93)/mb，

Q9= cψ?φ(ψ9?1)/ma，Q"= [cψ?φψ"- sψ?φ(ψ9?1)2]/ma，Q= [cψ?φψ- 3sψ?φ(ψ9?1)ψ- cψ?φ(ψ9?1)3]/ma，

R9= cφ/mc，R"= - sφ/mc，R= - cφ/mc。

由式(a)有cψ/mb+ cψ?φ/ma= [(mb2+ ma2+ mc2- 1)/(2mbma)+ cφ]/mc，對φ求導(dǎo)得sψψ9/mb+ sψ?φ(ψ9?1)/ma= sφ/mc。

即(sψ/mb+ sψ?φ/ma)ψ9=sψ?φ/ma+ sφ/mc，(P+ Q)ψ9=Q+ R，該式對φ求1、2、3階導(dǎo)數(shù)得：

其中：

- 2[cψψ9/mb+ cψ?φ(ψ9?1)/ma]ψ- (cψψ- sψψ92)ψ9/mb- [cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2](ψ9?1)/ma=

- (3cψψ- sψψ92)ψ9/mb- [3cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2](ψ9?1)/ma，

- 3[cψψ9/mb+ cψ?φ(ψ9?1)/ma]ψ- 3{(cψψ- sψψ92)/mb+ [cψ?φψ- sψ?φ(ψ9?1)2]/ma}ψ- (cψψ- 3sψψ9ψ- cψψ93)ψ9/mb-[cψ?φψ- 3sψ?φ(ψ9?1)ψ- cψ?φ(ψ9?1)3](ψ9?1)/ma=

- (4cψψ9ψ+ 3cψψ2- 6sψψ92ψ- cψψ94)/mb- [4cψ?φ(ψ9?1)ψ+ 3cψ?φψ2- 6sψ?φ(ψ9?1)2ψ- cψ?φ(ψ9?1)4]/ma

故得：

(9)

式(6)、式(7)、式(9)即為從動件運動規(guī)律。另外簡記：

(10)

從式(2)-式(4)、式(6)、式(7)、式(9)、式(10)知ψ、ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9由常數(shù)mb、ma、mc和變量φ決定，都無量綱。

5 壓力角

壓力角是機構(gòu)傳動質(zhì)量的重要指標，在設(shè)計中必不可少，下面研究圖1機構(gòu)的壓力角α。

5.1 壓力角計算式

(11)

5.2 壓力角最大值及出現(xiàn)位置

由式(11)第2式知，α的最大值αmax=max{90- δmin，δmax- 90}，其中δmin、δmax是δ的最小值、最大值。若簡記

α1=δmax-90° α2=90°-δminφ1=±φ0φ2=180°±φ0

(12)

則：

αmax=max{α1，α2}

(13)

由式(4)第1式、式(11)、式(12)、以及圖1的△OA1B1、△OA2B2知，當φ為φ1、φ2時，φ為0、180，δ為δmax、δmin，α為α1、α2，注意到式(13)即知φ1、φ2是αmax可能出現(xiàn)位置。

由式(12)、式(11)有：

(14)

φ1、φ2由式(12)第3、4式和式(12)第1式確定，α1、α2由式(14)確定。

5.3 壓力角約束

保證機構(gòu)良好傳動需滿足的條件為：

αmax≤[α]

(15)

其中[α]是許用壓力角。δmax、δmin的最大可取值區(qū)間是[0,180]，由式(12)前2式知α1、α2的最大可取值區(qū)間是[-90,90]，由式(13)、式(15)有

sαmax=max{sα1，sα2}≤s[α]，即sα1≤s[α]和sα2≤s[α]

(16)

式(14)第1式代入sα1≤s[α]有(ma+ mb)2≤mc2+ 2mcs[α]+ 1；式(14)第2式代入sα2≤s[α]有(ma- mb)2≥mc2- 2mcs[α]+ 1。于是得：

(ma+ mb)2- (mc+ s[α])2≤c[α]2≤(ma- mb)2- (mc- s[α])2

(17)

式(17)即是圖1機構(gòu)壓力角約束的表達式。

6 特性值

文獻[13-14]指出：直動從動件凸輪機構(gòu)在一個行程(推程或回程)中的無量綱速度、無量綱加速度、無量綱躍度、無量綱轉(zhuǎn)矩的計算式依次為s9Θ /h、sΘ2/h、sΘ3/h、s9sΘ3/h2，這里的s9、s、s為從動件的類速度、類加速度、類躍度，Θ、h為凸輪運動角、從動件行程；這4個無量綱物理量分別正比于從動件系統(tǒng)的動量、慣性力、慣性力的變化率、凸輪上平衡從動件系統(tǒng)的慣性力所需輸入轉(zhuǎn)矩；稱這些物理量各自的最小值和最大值，以及各自絕對值的最大值(分別稱為最大無量綱速度、最大無量綱加速度、最大無量綱躍度、最大無量綱轉(zhuǎn)矩)為特性值；特性值是評價從動件運動規(guī)律的優(yōu)劣和適用場合的動力學(xué)特性指標，其絕對值都越小越好。對擺動從動件，上面的線量要換成角量。

圓盤凸輪機構(gòu)的一個運動循環(huán)由首尾相接的一個推程和一個回程所組成。在圖1所示機構(gòu)的推程和回程，從動件角行程ψx相等但凸輪運動角不等(Φ≠Φ9)，故其無量綱角速度Γ、無量綱角加速度Λ、無量綱角躍度Σ、無量綱轉(zhuǎn)矩T的公式要按推程和回程分別寫出，為:

(18)

由節(jié)2和節(jié)4易知Γ、Λ、Σ、T由常量mb、ma、mc和變量φ決定。Φ、Φ9、ψx都為正值，而ψ9、ψ、ψ、μ在一個運動循環(huán)中都既有正值也有負值(參見圖2)，再從式(18)知Γ、Λ、Σ、T在一個運動循環(huán)中的最小值為負、最大值為正。

(19)

7 解析法設(shè)計計算流程

首先給定r、mb、Φ、ψx、[α]值，其次按以下公式和順序作設(shè)計計算：

1) 在滿足ma>0、mc>0、(ma+ mb)2- (mc+ s[α])2≤c[α]2≤(ma- mb)2-(mc- s[α])2等約束下，聯(lián)立式(3)的4個等式即

(例如，設(shè)mb= 0.3，Φ= 175，ψx= 15，[α]= 40，利用軟件Excel的規(guī)劃求解功能，可這樣求得ma= 2.508，mc= 2.194，φ0= 56.0，ψ0= 15.3。

2) 計算b= mbr，a= mar，c= mcr。以φ為自變量，按式(6)和式(7)計算D、E、F、ψ，按式(5)計算x、y，按式(9)和式(10)計算ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9，按式(11)計算δ、α，按節(jié)6末尾所述方法計算Γm、Λm、Σm、Tm等。

8 計算實例

為驗證本文導(dǎo)出公式的正確性并獲得有設(shè)計指導(dǎo)意義的結(jié)論，取若干組mb和ma值，按節(jié)7的步驟做計算繪圖，得從動件運動線圖(見圖2，其中ψ的單位為弧度，ψ9、ψ、ψ、ψ、μ、μ9均無量綱)以及圖1所示機構(gòu)的特性值(見表1，其中Γm、Λm、Σ：m、Tm均無量綱)。

圖2 從動件運動線圖

長度比例系數(shù)特性值mbmamcΓmΛmΣmTm0.11.51.21.585.5217.24.300.21.51.21.626.1621.44.960.31.51.21.686.7328.15.960.13.02.41.605.5417.24.120.23.02.41.636.2418.74.420.33.02.41.637.0829.35.15

9 結(jié)論分析

1) 與采用各種常用運動規(guī)律的凸輪機構(gòu)的設(shè)計不同，尖底擺動從動件圓盤凸輪機構(gòu)的一些未知參數(shù)需要在滿足尺寸參數(shù)和壓力角的約束下通過求解非線性方程組來確定(見節(jié)7的步驟1))。

2) αmax、Γm、Λm、Σm、Tm等這些表征機構(gòu)動力學(xué)性能的指標，僅由機構(gòu)長度尺寸的相對值(本文中為mb、ma、mc)決定(節(jié)5.2和節(jié)6)。

3) 凸輪偏心率mb越大，則ψ、ψ、ψ、μ的最大絕對值越大(圖2和表1)，γ、λ、σ、β的最大絕對值越大(式(8)和式(18))，Γm、Λm、Σm、Tm的值越大(式(19))，從而機構(gòu)動力學(xué)性能越差。因此mb值不宜過大。

4) 在相同尺寸情況下，圖1(a)、圖1(b)兩機構(gòu)的運動線圖之間具有對稱性(見圖2(c)和圖2(d))：ψ對φ的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)ψ、ψ、ψ曲線以及μ曲線都對稱于豎直線φ=180，奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)ψ、ψ曲線以及μ曲線都對稱于φ軸上的點φ=180。利用這些對稱性，若已知其中一機構(gòu)的運動線圖，極易得到另一機構(gòu)的運動線圖。

5) 由于圓盤凸輪的廓線是完整的單一圓周，故從動件轉(zhuǎn)角ψ對凸輪轉(zhuǎn)角φ的任意階導(dǎo)數(shù)的曲線均連續(xù)且光滑(參見圖2)，即機構(gòu)無任意階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)而發(fā)生的沖擊，性能上必優(yōu)于大多數(shù)的從動件常用運動規(guī)律，例如等加速等減速、負等躍度、正等躍度、擺線等運動規(guī)律(因從動件位移對凸輪位移的某低階或高階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)而存在沖擊)。再由圓盤凸輪的廓線極易制造和檢測的特點即知，在從動件運動是“升-降”型、對從動件運動規(guī)律無特別要求、考慮制造和動力學(xué)兩方面的綜合表現(xiàn)的情況下，圓盤凸輪機構(gòu)是最好的凸輪機構(gòu)，可用于高速場合，值得重視和盡量采用。

10 結(jié)語

相對現(xiàn)有文獻，本文的主要特點是：1) 首次研究了偏置直動從動件圓盤凸輪的特性值問題，為其他簡單廓線凸輪機構(gòu)的特性值研究提供了借鑒；2) 運用恰當?shù)姆椒ê捅磉_技巧，推導(dǎo)出該機構(gòu)從動件位移的0-4階導(dǎo)數(shù)的精確且簡潔的公式，解決了確定該凸輪機構(gòu)特性值需要從動件位移的3、4階高階導(dǎo)數(shù)公式的關(guān)鍵難題；3) 給出該機構(gòu)4個主要特性值的公式。據(jù)其數(shù)值計算結(jié)果，可判斷該機構(gòu)與特性值有關(guān)的動力學(xué)性能的優(yōu)劣和適用場合；4) 得出該機構(gòu)特性值只和各構(gòu)件的相對長度有關(guān)，以及該機構(gòu)可用于高速的結(jié)論；5) 詳細研究了機構(gòu)壓力角，給出在滿足壓力角和尺寸的約束下通過求解非線性方程組來確定機構(gòu)尺寸的一種方法和實例。