馬 艷， 申學(xué)鵬， 趙飛燕

(寧夏師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院， 納米結(jié)構(gòu)及功能材料工程技術(shù)研究中心， 寧夏 固原 756000)

0 引 言

超聲波能夠驅(qū)使液體中的氣泡做劇烈的收縮振動(dòng)， 當(dāng)氣泡被周期性壓縮時(shí)， 能夠產(chǎn)生一系利的空化效應(yīng)， 包括機(jī)械效應(yīng)、 化學(xué)效應(yīng)、 熱效應(yīng)和聲致發(fā)光效應(yīng)等[1-9]. 實(shí)驗(yàn)表明：液體中的氣泡在聲場作用下， 除了在聲波的作用下會(huì)出現(xiàn)收縮振動(dòng)外， 還會(huì)在聲場力的作用下朝著聲壓波腹或波節(jié)中運(yùn)動(dòng)， 這些運(yùn)動(dòng)的氣泡聚集在聲壓波腹處形成纖維狀的分支， 這樣的結(jié)構(gòu)對(duì)含氣泡的聲化學(xué)和聲機(jī)械設(shè)備等是一個(gè)很重要的因素[10]， 這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象說明， 液體中的氣泡在聲場作用下的運(yùn)動(dòng)是超聲空化現(xiàn)象的一個(gè)重要問題， 聲場中氣泡的平動(dòng)現(xiàn)象會(huì)對(duì)氣泡的空化現(xiàn)象產(chǎn)生什么樣的影響， 有限空間中不同位置處氣泡的運(yùn)動(dòng)情況及空化情況等問題的研究將為超聲空化的應(yīng)用提供重要的理論依據(jù).

近年來， 很多作者對(duì)于單個(gè)氣泡在聲場受到的聲場力和單個(gè)氣泡的平動(dòng)進(jìn)行了一系列研究[11-19]， Akhatov研究了強(qiáng)聲場中單個(gè)靜止氣泡受到的主Bjerknes力， 并對(duì)主Bjerknes力對(duì)單個(gè)非線性振動(dòng)氣泡的位置穩(wěn)定性的影響做了討論[17]， 沈壯志研究了駐波聲場中空化泡的運(yùn)動(dòng)特性， 模擬了駐波場中各位置處空化泡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[18]， Doinikov研究了弱聲場中單個(gè)球形大氣泡在趨于共振頻率的驅(qū)動(dòng)聲場中的平動(dòng)現(xiàn)象， 為聲場中不規(guī)則氣泡的運(yùn)動(dòng)提供了理論解釋[19]等等. 然而在以往的報(bào)道中， 關(guān)于強(qiáng)聲場中平動(dòng)氣泡的空化特征卻鮮有見到， 實(shí)際液體中， 空化氣泡的收縮振動(dòng)是伴隨著氣泡在聲場力作用下的平動(dòng)現(xiàn)象的， 而強(qiáng)聲場中氣泡的平動(dòng)對(duì)氣泡徑向振動(dòng)及氣泡的空化的影響不能忽略不計(jì). 本文在Doinikov關(guān)于氣泡平動(dòng)的理論模型上研究了單個(gè)空化氣泡在強(qiáng)聲場中的運(yùn)動(dòng)、 不同位置處運(yùn)動(dòng)氣泡受到主Bjerknes力及運(yùn)動(dòng)氣泡在塌縮破裂時(shí)的空化動(dòng)力學(xué)特征， 對(duì)實(shí)際液體中空化氣泡的運(yùn)動(dòng)及超聲反應(yīng)器中的空化現(xiàn)象及超聲醫(yī)療方面的應(yīng)用給出了理論指導(dǎo).

1 運(yùn)動(dòng)空化氣泡的動(dòng)力學(xué)方程及所受聲場力

假設(shè)液體中的球形氣泡在聲場的作用下振動(dòng)， 假設(shè)聲波只沿x方向傳播， 驅(qū)動(dòng)聲場可表示為

Pdr=-Pasinωtcoskd,(1)

式中：ω為驅(qū)動(dòng)聲場角頻率；Pa為驅(qū)動(dòng)聲壓振幅；k為波數(shù)；d為氣泡中心距最近波腹的距離. 假設(shè)氣泡在整個(gè)振動(dòng)過程中仍保持球形， 單個(gè)球形氣泡在聲場中的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)耦合方程[19]可以表示為

式中：R表示氣泡的半徑；ρ表示液體的密度；c表示液體中的聲速；x表示氣泡的中心的位置；Fex為運(yùn)動(dòng)氣泡受到的外力[19]，Ps可表示為

式中：μ表示液體的粘滯阻力系數(shù)；σ表示表面張力系數(shù)；γ為氣泡內(nèi)部氣體的絕熱指數(shù). 方程(2)， (3)為考慮了氣泡平動(dòng)后單個(gè)球形氣泡的動(dòng)力學(xué)方程組， 當(dāng)不考慮氣泡的平動(dòng)影響時(shí)， 方程(2)就回到了經(jīng)典的Keller-Miksis方程.

球形氣泡受到的主Bjerknes力[17]可以表示為

FPB=-〈PdrV(t)〉,(5)

式中：Pdr為氣泡所在位置處聲壓梯度， 聯(lián)立式(1)和式(5)， 可得運(yùn)動(dòng)的球形氣泡在聲場中的主Bjerknes力

(6)

2 運(yùn)動(dòng)空化氣泡的動(dòng)力學(xué)研究

數(shù)值計(jì)算參數(shù)為：驅(qū)動(dòng)壓力振幅Pa= 1.35×105Pa， 驅(qū)動(dòng)頻率f=20 kHz， 表面張力系數(shù)σ=0.072 5 N/m， 粘滯系數(shù)μ=0.001 kg/(m·s)， 液體密度ρ=1 000 kg/m3， 液體中的聲速c=1 490 m/s， 絕熱系數(shù)γ=1.4.

2.1 氣泡位置對(duì)運(yùn)動(dòng)氣泡的空化動(dòng)力學(xué)的影響

圖 1 數(shù)值模擬了在驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz下， 一個(gè)初始半徑為9 μm的運(yùn)動(dòng)氣泡的振動(dòng)最大半徑隨氣泡在聲場中位置的變化關(guān)系， 本文模擬的氣泡位置變換范圍在一個(gè)波長范圍以內(nèi)， 如圖 1 所示， 不同位置處氣泡的振動(dòng)是關(guān)于1/4波長對(duì)稱的， 在靠近波腹位置， 氣泡的振動(dòng)最為激烈， 氣泡的半徑能夠擴(kuò)張到初始半徑的6.5倍左右， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 當(dāng)氣泡的初始位置遠(yuǎn)離波腹時(shí)， 氣泡的振動(dòng)變得平緩， 當(dāng)氣泡的位置在靠近其最近的波腹距離為1/4波長處， 氣泡的最大振動(dòng)半徑是初始?xì)馀莸?倍左右， 空化現(xiàn)象不會(huì)發(fā)生.

圖 1 氣泡振動(dòng)最大半徑隨氣泡位置變化曲線Fig.1 The relationship of the best radius of a bubble with position

圖 2 是運(yùn)動(dòng)氣泡在距聲壓波腹1/50聲波長位置處氣泡的徑向振動(dòng)的數(shù)值模擬， 數(shù)值模擬結(jié)果表明：運(yùn)動(dòng)氣泡在一個(gè)聲周期內(nèi)， 氣泡擴(kuò)張最大半徑57.51 μm. 圖 3 是一個(gè)聲周期內(nèi)距離聲壓波腹1/50聲波長位置處氣泡內(nèi)部的溫度變化， 數(shù)值模擬結(jié)果表明， 初始半徑為9 μm的運(yùn)動(dòng)球形氣泡在距聲壓波腹1/50聲波長的位置處， 一個(gè)聲周期內(nèi)， 泡內(nèi)的最高溫度為1 571 K， 出現(xiàn)在氣泡擴(kuò)張到最大半徑后第一次反彈收縮至最小半徑時(shí). 上述結(jié)果表明：在驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz 的驅(qū)動(dòng)聲場中， 距離波腹1/50聲波長處初始半徑為9 μm的球形氣泡在聲波的作用下會(huì)朝著聲壓波腹處移動(dòng)， 并且能夠發(fā)生空化現(xiàn)象， 在這種情況下， 氣泡的收縮振動(dòng)和氣泡的平動(dòng)是同時(shí)發(fā)生， 并且是相互耦合的， 因此， 氣泡的平動(dòng)會(huì)對(duì)氣泡的徑向振動(dòng)產(chǎn)生影響， 減弱氣泡的徑向振動(dòng)， 因此考慮運(yùn)動(dòng)的氣泡空化現(xiàn)象更接近真實(shí)液體中氣泡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖 2 距聲壓波腹1/50處氣泡的徑向振動(dòng)Fig.2 The radial oscillation of a bubble with the position of 1/50 depart from pressure antinodes

圖 3 距聲壓波腹1/50處氣泡內(nèi)部溫度變化Fig.3 The inside temperature of a bubble with the position sof 1/50 depart from pressure antinodesii

2.2 氣泡位置對(duì)氣泡平動(dòng)速度的影響

單個(gè)球形氣泡在聲場作用下， 會(huì)向著波腹或者波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 為了研究不同初始位置氣泡的運(yùn)動(dòng)， 本文數(shù)值模擬了驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz的聲場下， 一個(gè)初始半徑為9 μm 的球形氣泡的平動(dòng)速度及其影響因素.

圖 4 不同位置處氣泡的平動(dòng)速度Fig.4 The translation velocity of different position depart from pressure antinodes

圖 4(a)～(d)分別是氣泡距聲壓波腹距離為0， 4， 8， 18 mm位置處氣泡的平動(dòng)速度， 數(shù)值模擬結(jié)果表明， 當(dāng)氣泡初始位置在聲壓波腹時(shí)， 氣泡無平動(dòng)， 其在聲場作用下做劇烈的收縮振動(dòng)， 發(fā)生空化現(xiàn)象. 當(dāng)氣泡初始位置遠(yuǎn)離聲壓波腹時(shí)， 氣泡除了做收縮振動(dòng)之外， 還出現(xiàn)了平動(dòng)， 其平動(dòng)速度隨著離聲壓波腹位置距離的增大而逐漸增加， 當(dāng)氣泡初始位置位于距聲壓波腹4 mm時(shí)， 也就是距聲壓波腹接近1/16聲波長時(shí)， 氣泡的平動(dòng)速度增大， 可以達(dá)到78.86 m/s， 當(dāng)氣泡的初始位置遠(yuǎn)離1/16聲波長時(shí)， 氣泡的平動(dòng)速度逐漸減小， 圖略， 當(dāng)氣泡的初始位置處于距離聲壓波腹1/8波長附近時(shí)， 氣泡的平動(dòng)速度減小到3.67 m/s， 當(dāng)氣泡初始位置離聲壓波腹超過1/8聲波長時(shí)， 氣泡的平動(dòng)速度迅速減小， 當(dāng)氣泡離聲壓波腹的距離接近1/4聲波長， 也就是靠近聲壓波節(jié)時(shí)， 氣泡平動(dòng)速度非常小， 如圖4(d)所示. 這種現(xiàn)象的原因是：氣泡在聲波的作用下會(huì)朝著聲壓波腹或波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)氣泡初始位置位于聲壓波腹處時(shí)， 氣泡只做收縮振動(dòng)， 不會(huì)再朝著另一個(gè)聲壓波腹或波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 而當(dāng)氣泡的初始位置遠(yuǎn)離聲壓波腹時(shí)， 氣泡除了做收縮振動(dòng)之外， 在聲場的作用下將會(huì)向著距離最近的聲壓波腹或者波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 而且數(shù)值模擬結(jié)果也表明， 氣泡的平動(dòng)速度快慢有一個(gè)區(qū)間范圍， 在距聲壓波腹1/16波長附近的氣泡其平動(dòng)速度最大， 能夠迅速朝著其最近的聲壓波腹或聲波波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)氣泡初始位置距聲壓波腹趨于1/4聲波長時(shí)， 氣泡的平動(dòng)速度非常緩慢， 因?yàn)榇藭r(shí)氣泡已經(jīng)靠近了聲波波節(jié)， 所以其運(yùn)動(dòng)速度趨于0， 在波節(jié)位置處來回振蕩.

3 運(yùn)動(dòng)氣泡受到的主Bjerknes力及其對(duì)氣泡動(dòng)力學(xué)的影響

3.1 初始半徑對(duì)運(yùn)動(dòng)氣泡受到的主Bjerknes力的影響

氣泡在聲場作用下， 會(huì)向著波腹或者波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 氣泡受到驅(qū)動(dòng)聲場的作用力就稱為主Bjerknes力[17]， 圖 5 是初始半徑分別為2, 9, 12 μm 的球形氣泡受到的主Bjerknes力與氣泡初始位置的關(guān)系. 通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.35×105Pa， 驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz 時(shí)， 距離聲壓波腹為1/4波長范圍內(nèi)初始半徑為2， 9和12 μm的運(yùn)動(dòng)的球形氣泡在聲場中受到的主Bjerknes力都為負(fù)， 根據(jù)文獻(xiàn)[17-18]的結(jié)論， 在這個(gè)范圍內(nèi)的氣泡都會(huì)向著最近的波腹運(yùn)動(dòng)， 氣泡初始半徑越大， 其受到的主Bjerknes力越大， 也就是說在距聲壓波腹1/4波長范圍內(nèi)較大的大氣泡會(huì)更快地運(yùn)動(dòng)至聲壓波腹處.

圖 5 不同尺寸的氣泡受到的主Bjerknes力與氣泡位置的關(guān)系Fig.5 The curve of the primary Bjerknes force and position with different initial radius of a bubble

3.2 聲場參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)氣泡的影響

聲場參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)氣泡的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)產(chǎn)生很大影響， 為了研究不同聲場下氣泡的動(dòng)力學(xué)特性， 本文數(shù)值模擬了同樣尺寸的氣泡在不同驅(qū)動(dòng)聲壓和不同驅(qū)動(dòng)頻率下受到的主Bjerknes力， 用來研究氣泡的動(dòng)力學(xué)特性及運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).

圖 6 是驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz， 驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.15×105， 1.25×105和1.35×105Pa下的初始半徑為9 μm運(yùn)動(dòng)的球形氣泡受到的主Bjerknes力， 數(shù)值模擬結(jié)果表明：同樣驅(qū)動(dòng)頻率、 不同聲壓振幅下， 同樣尺寸的球形氣泡在距離波腹1/4波長范圍內(nèi)， 受到的主Bjerknes力都為負(fù)， 這表明氣泡會(huì)在聲場力的作用下朝著最近的波腹運(yùn)動(dòng).

圖 6 不同驅(qū)動(dòng)壓力下主Bjerknes力與氣泡位置的關(guān)系Fig.6 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure

除此之外， 在上述條件下， 氣泡受到的主Bjerknes力和聲壓振幅成正比， 聲壓振幅越大， 氣泡受到的主Bjerknes力越大. 這說明：低頻強(qiáng)聲場中(Pa>1×105Pa)， 距離聲壓波腹1/4波長范圍內(nèi)小的球形氣泡(R0<10 μm)在聲場作用下會(huì)朝著最近的波腹運(yùn)動(dòng)， 并且聲場越強(qiáng)， 氣泡運(yùn)動(dòng)的速度越快.

圖 7 不同驅(qū)動(dòng)頻率下主Bjerknes力與氣泡位置的關(guān)系Fig.7 The curve of the primary Bjerknes force and position with different driving pressure a

圖 7 是驅(qū)動(dòng)聲壓振幅為1.35×105Pa， 初始半徑為9 μm的球形氣泡在驅(qū)動(dòng)頻率為20， 40和80 kHz 的聲場中受到的主Bjerknes力隨氣泡位置的變化曲線， 為了進(jìn)行比較， 本文分別數(shù)值模擬了距離聲波(驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz)波腹1/4波長范圍內(nèi)的氣泡受到的主Bjerknes力， 距離聲波(驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz)波腹1/2波長范圍內(nèi)的氣泡受到的主Bjerknes力， 距離聲波(驅(qū)動(dòng)頻率為80 kHz)波腹1個(gè)波長范圍內(nèi)的氣泡受到的主Bjerknes力. 數(shù)值模擬結(jié)果表明： 對(duì)于80 kHz的聲波而言， 當(dāng)氣泡初始位置距聲壓波腹為0～4.65mm(0～1/4聲波長)時(shí)， 氣泡受到的主Bjerknes力負(fù)， 這表明這些位置處除了靠近波節(jié)位置外， 其余位置處的氣泡會(huì)朝著聲壓波腹運(yùn)動(dòng)， 這個(gè)區(qū)域的氣泡在前面的分析中能夠發(fā)生空化現(xiàn)象； 當(dāng)氣泡初始位置距離聲壓波腹為4.65～9.25 mm(1/4～1/2聲波長)時(shí)， 氣泡受到的主Bjerknes力大于零， 這意味著這個(gè)區(qū)域內(nèi)的氣泡將向著距其最近的波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 根據(jù)前面的分析， 波節(jié)處的氣泡不會(huì)發(fā)生空化現(xiàn)象； 當(dāng)氣泡初始位置距離聲壓波腹為9.25～14.00 mm(1/2～3/4聲波長)時(shí)， 氣泡受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了波節(jié)附近的氣泡之外， 其余位置處的氣泡會(huì)向著距其最近的波腹運(yùn)動(dòng)， 這個(gè)區(qū)域內(nèi)的氣泡也會(huì)發(fā)生空化現(xiàn)象； 當(dāng)氣泡初始位置距離聲壓波腹為14～18.60 mm(3/4～1個(gè)聲波長)時(shí)， 氣泡受到的主Bjerknes力為正， 氣泡會(huì)朝著距其最近的波節(jié)運(yùn)動(dòng)， 不會(huì)發(fā)生空化現(xiàn)象.

當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率為40 kHz 時(shí)， 氣泡在距離聲壓波腹為0～9.4 mm的位置處， 其受到的主Bjerknes力小于零， 表明除了靠近波節(jié)位置處的氣泡之外， 其位置處的氣泡都會(huì)朝著聲壓波腹處運(yùn)動(dòng)， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 靠近9.4 mm處的氣泡根據(jù)前面的分析， 會(huì)在波節(jié)處來回振蕩， 這些氣泡不發(fā)生空化現(xiàn)象； 當(dāng)氣泡在距離聲壓波腹為9.4～18.6 mm(1/4～1/2聲波長)的位置處， 氣泡受到的主Bjerknes力為正， 表明這些位置處的氣泡在聲場的作用下會(huì)朝著聲波波節(jié)處運(yùn)動(dòng)， 不會(huì)發(fā)生空化現(xiàn)象.

當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率為20 kHz 時(shí)， 氣泡受到的主Bjerknes力也遵循上述的規(guī)律， 其運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)分析見3.1節(jié). 綜上所述， 聲場驅(qū)動(dòng)頻率越大， 向聲壓波腹處運(yùn)動(dòng)的氣泡所處的范圍越小， 能夠發(fā)生空化的氣泡數(shù)量越少， 因此在上述研究條件下， 對(duì)于考慮了平動(dòng)的氣泡而言， 低頻超聲更利于其空化.

4 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)證明， 當(dāng)液體處于聲場中， 液體中的氣泡會(huì)向著聲壓波腹或波節(jié)處運(yùn)動(dòng)， 因此聲場中氣泡的空化應(yīng)該考慮氣泡發(fā)生的平動(dòng)對(duì)其造成的影響， 本文研究了強(qiáng)聲場(Pa>1×105Pa)中運(yùn)動(dòng)球形氣泡的動(dòng)力學(xué)特性， 研究結(jié)果表明：強(qiáng)聲場中氣泡的平動(dòng)會(huì)影響空化氣泡的動(dòng)力學(xué)特性， 使得氣泡空化時(shí)最大擴(kuò)張半徑和泡內(nèi)溫度均小于同樣條件下的靜止氣泡； 在波腹位置處的氣泡不發(fā)生平動(dòng)， 氣泡的平動(dòng)速度隨著氣泡遠(yuǎn)離聲壓波腹而逐漸增加， 當(dāng)氣泡位置位于距聲壓波腹1/16聲波長附近位置處， 氣泡的平動(dòng)速度最大， 會(huì)迅速向波腹運(yùn)動(dòng)， 發(fā)生空化現(xiàn)象， 當(dāng)氣泡的位置距聲壓波腹距離趨于1/4波長處時(shí)， 氣泡會(huì)在波節(jié)處振蕩， 不發(fā)生空化現(xiàn)象； 驅(qū)動(dòng)聲壓振幅越大， 氣泡受到的主Bjerknes力越大， 氣泡越容易向聲壓波腹處運(yùn)動(dòng)而發(fā)生空化； 低頻強(qiáng)聲場中， 能夠發(fā)生空化的氣泡更多， 所處的范圍更大， 相較高頻聲場更易發(fā)生空化.