范 凱 ， 劉 斌， 宋叔尼， 范圓圓

(1. 太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030024； 2. 東北大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

擬拋物型方程是一類(lèi)含時(shí)間和空間的混合偏導(dǎo)數(shù)的高階偏微分方程， 出現(xiàn)在數(shù)學(xué)和物理的許多領(lǐng)域， 比如， 流體穿過(guò)縫隙巖石的滲透理論、 粘土的加固理論、 二階流體的剪切變流、 熱力學(xué)和小振幅的長(zhǎng)波傳播[1-4]. 廣義的Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+f(u)x=0,(1)

就是一個(gè)重要的擬拋物型方程， 其中，α>0，γ∈R,u=u(x,t)表示流體在水平方向x上的速度，f(u)∈C2-非線(xiàn)性泛函. 若在方程(1)中取f(u)x=θuux+βuxxx， 就可以得到了一個(gè)廣義的Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine-Burgers(BBMPB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux+βuxxx=0,(2)

在方程(2)中取α=β=0， 就可以得到廣義的Benjamin-Bona-Mahoney(BBM)方程

ut-uxxt+γux+θuux=0,(3)

式中：γ,θ為常數(shù)， 且θ≠0， 這就是眾所周知的非線(xiàn)性色散系統(tǒng)長(zhǎng)波傳播的模型方程. 方程(2)包括幾種類(lèi)型的BBM方程， 方程(3)行波解的獲得方法可參看文獻(xiàn)[5-7]. 本文使用擴(kuò)展G′/G-展開(kāi)法研究BBMPB方程， 獲得一些新的精確行波解， 延伸前人的工作.

在方程(2)取β=0， 得到一個(gè)廣義的 Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(OBBMB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux=0.(4)

方程(4)這個(gè)非線(xiàn)性擬拋物方程描述沿x軸傳播的表面波， 其中，θuux表示粘性項(xiàng)[8-9]. 精確行波解的獲得有助于更好地理解非線(xiàn)性偏微分方程所描述物理現(xiàn)象. 隨著基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的非線(xiàn)性科學(xué)的快速發(fā)展， 許多有效尋找非線(xiàn)性偏微分方程精確行波解的方法被提出， 例如齊次平衡法[10]、 sine-cosine方法[11]、 tanh函數(shù)法[12]、 擴(kuò)展的tanh函數(shù)法[13-15]、 Exp-函數(shù)展開(kāi)法[16]、(G′/G)-函數(shù)展開(kāi)法[17-18]等. 本文使用簡(jiǎn)潔的擴(kuò)展G′/G-展開(kāi)法[19-20]獲得方程(4)的新行波精確解.

1 擴(kuò)展的G′/G-函數(shù)展開(kāi)法

考慮一個(gè)以u(píng)(x,t)為未知函數(shù)的一般形式的非線(xiàn)性偏微分方程

P(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0.(5)

下標(biāo)t和x表示u(x,t)對(duì)t和x的偏導(dǎo)數(shù).

擴(kuò)展的G′/G-函數(shù)展開(kāi)法求解非線(xiàn)性偏微分方程的步驟如下：

1) 做行波變化u(x,t)=U(ξ),ξ=x-vt， 把偏微分方程P(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0轉(zhuǎn)化為常微分方程

P(U,-vU′,U′,v2U″,-vU″,U″,…)=0.(6)

如果得到的方程(6)每一項(xiàng)都含有ξ的導(dǎo)數(shù)， 則可把這個(gè)方程先關(guān)于ξ積分， 令積分常數(shù)為零得到一個(gè)更為簡(jiǎn)單的方程.

2)假設(shè)方程(6)的行波解可擬設(shè)為如下形式:

(7)

式中：ai(i=0,1,…,m)和bi(i=1,2,…,m)都是待定常數(shù). 參數(shù)m一般都為正整數(shù)， 平衡方程(6)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線(xiàn)性項(xiàng)的冪次可以確定m的值.G=G(ξ)滿(mǎn)足如下常微分方程

G″+λG′+μG=0,(8)

式中：λ和μ是將被確定的常數(shù).

3) 把式(7)代入式(6)， 收集(G′/G)各冪次的系數(shù)并令為0， 得到ai,bi,λ,μ,v的一個(gè)超定代數(shù)方程組.

4) 使用maple17求解這個(gè)超定代數(shù)方程組， 把a(bǔ)i,bi,λ,μ,v和G′/G的結(jié)果代入式(7)， 得到擬設(shè)形式的行波解.

二階常微分方程(8)的通解形式(第一形式)整理如下

如果C1,C2滿(mǎn)足相應(yīng)的比例關(guān)系， 這些解可以化為更簡(jiǎn)便的形式(第二形式)如下

2 擴(kuò)展的G′/G-函數(shù)展開(kāi)法求解OBBMB和BBMPB方程

2.1 Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程

OBBMB方程如下

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux=0,(11)

式中：α為一個(gè)正數(shù)；θ為非零實(shí)數(shù). 應(yīng)用變換U(t,x)=U(z),z=x-vt， 把方程(11)轉(zhuǎn)化為如下常微分方程

(12)

用平衡原理， 平衡U″和U2， 得到m=2， 所以方程(12)的解可擬設(shè)為

(13)

把式(13)代入式(12)， 收集G′/G各冪次的系數(shù)， 并都令為0， 得到一個(gè)超定代數(shù)方程組

用maple17求解這個(gè)超定代數(shù)方程組， 得到

把式(14)的結(jié)果和二階常微分方程(8)的解(第一形式)代入式(13)， 得到3種行波解,

1) 當(dāng)λ2-4μ>0時(shí)， 得到雙曲行波解

使用二階常微分方程(8)的解(第二形式)， 雙曲行波解U1(ξ)變?yōu)槿缦滦问?/p>

當(dāng)|C2/C1|<1,ξ0=tanh-1(C2/C1).

當(dāng)|C2/C1|>1,ξ0=coth-1(C2/C1).

2) 當(dāng)λ2-4μ<0時(shí)， 得到三角函數(shù)解

3) 當(dāng)λ2-4μ=0時(shí)， 得到有理函數(shù)解

其中，ξ=x-vt，C1,C2是任意常數(shù).

2.2 Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine-Burgers方程

BBMPB方程如下

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux+βuxxx=0,(15)

式中：α是一個(gè)正數(shù)；θ,β為非零實(shí)數(shù). 應(yīng)用變換U(t,x)=U(z),z=x-vt， 把方程(15)轉(zhuǎn)化為如下常微分方程

用平衡原理， 平衡U″和U2， 得到m=2， 所以方程(16)的解可擬設(shè)為

(17)

類(lèi)似OBBMB方程的求解， 使用Maple17， 得到

把式(18)的結(jié)果和二階常微分方程(8)的解(第一形式)代入式(17)得到3種行波解

1) 當(dāng)λ2-4μ>0時(shí)， 得到雙曲行波解

2) 當(dāng)λ2-4μ<0時(shí)， 得到三角函數(shù)解

3) 當(dāng)λ2-4μ=0時(shí)， 得到有理函數(shù)解

其中，ξ=x-vt，C1,C2是任意常數(shù). 容易發(fā)現(xiàn)， 如果令BBMPB方程的精確解中的參數(shù)β為0， 這些解就變成了OBBMB方程的解， 這也佐證了本文解得正確性.

3 精確解的物理結(jié)果

本節(jié)對(duì)參數(shù)賦值， 給出了非線(xiàn)性擬拋物方程部分精確解的圖示. 非線(xiàn)性擬拋物方程精確解的獲得， 不僅有其物理意義， 也有助于這類(lèi)方程數(shù)值解準(zhǔn)確性的核對(duì)和穩(wěn)定性的分析.

圖 1 當(dāng)時(shí)，OBBMB方程解 u1(x,t)的三維圖Fig.1 3D plot of OBBMB equation u1(x,t) when

圖 2 當(dāng)時(shí)，OBBMB方程解 u2(x,t)的三維圖Fig.2 3D plot of OBBMB equation u2(x,t) when

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用擴(kuò)展的G′/G-函數(shù)展開(kāi)法求解OBBMB和BBMPB方程， 分別得到它們含兩個(gè)參數(shù)的3種類(lèi)型的精確行波解， 通過(guò)對(duì)比兩個(gè)方程和它們解， 驗(yàn)證了它們的正確性， 其中雙曲函數(shù)類(lèi)型的行波解在文獻(xiàn)[15]中有類(lèi)似的結(jié)果， 但三角函數(shù)類(lèi)和有理函數(shù)類(lèi)行波解是本文用擴(kuò)展的G′/G-函數(shù)展開(kāi)法求所得到的新類(lèi)型的解， 并對(duì)部分解做三維圖示， 簡(jiǎn)單解析了它們的物理結(jié)果. 本文所給的方法， 在maple的幫助下， 求解過(guò)程簡(jiǎn)單、 直接. OBBMB和BBMPB方程精確解的獲得， 為該類(lèi)型方程數(shù)值解的研究提供了一定的參考. 所滿(mǎn)足的常微分方程還可以進(jìn)一步優(yōu)化， 以便我們得到更多的新的精確解， 有關(guān)這方面的研究結(jié)果， 我們將在其它文章中給出.