鐘 燕

計算學習是數(shù)學學習中學生較早接觸的內(nèi)容，在小學數(shù)學課程中占的比重比較大。20以內(nèi)加減法作為整個計算學習的基礎(chǔ)，有著舉足輕重的地位。其中20以內(nèi)的退位減法，是學生在學習過程中遇到的一個難點。如何借助多元表征，幫助學生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，同時形成有利于后續(xù)計算學習的結(jié)構(gòu)特征？我們以整個單元教學為研究內(nèi)容做了一些新的嘗試。

一、合理運用表征，突出“退一當十”的位值概念

我們現(xiàn)在使用的是十進制的計數(shù)制，在一年級上學期學生學習了20以內(nèi)數(shù)的認識，知道了一個十等于十個一；學習了20以內(nèi)的進位加法，對“滿十進一”有一定的了解，而20以內(nèi)退位減法的關(guān)鍵就是理解“退一當十”。

1.提供有結(jié)構(gòu)的材料，遷移同類算理。

基于學生的認知水平，北師大版教材中呈現(xiàn)了很多實物圖幫助學生理解退位減法。但是教材的圖中，“十”的計數(shù)單位不清晰。課堂中我們提供了以10為單位的有結(jié)構(gòu)的材料，如下圖：

有結(jié)構(gòu)的圖和沒有結(jié)構(gòu)的圖對于學生學習退位減法的效果是不一樣的。沒有結(jié)構(gòu)的材料只是讓學生根據(jù)減法運算的意義求得算式的值，而有結(jié)構(gòu)的材料有助于學生理解退位減法的算理，并且以10為單位的結(jié)構(gòu)有助于后續(xù)同類算理的遷移。

2.找準表征的切入點，便于學生運用。

各種表征都需要學生嘗試表達，學會運用。對于一年級的學生來說，認識一種新的表征或數(shù)學模型需要一個過程。在退位減法單元教學的新授課中，我們以被減數(shù)不變，減數(shù)變化展開教學。如12-3，12-4，12-5，在表征時都是先表示出12，這樣學生更容易找到表達的起點，并摸索到路徑先做什么，再做什么。被減數(shù)不變，不管是語言表征，還是圖形表征、操作表征等，在表征的初始階段都是一樣的。學生熟悉表達以后，方便運用和重復。另外，被減數(shù)不變，減數(shù)變化，更易于引起學生關(guān)注運算的發(fā)生。

二、逐級抽象表征，重視刻畫算理

在計算學習中，課堂上要完成習題，教師往往更在意學生計算的結(jié)果的正確。《數(shù)學課程標準（2011版）》把“運算能力”列入十大核心概念，強調(diào)了運算能力的重要性。所以初始階段，我們也需要重視學生對于運算算理的理解，發(fā)展學生的計算思維，從而為后續(xù)的計算學習打下扎實的基礎(chǔ)。

1.強化重點內(nèi)容。

現(xiàn)行教材更強調(diào)算用結(jié)合，算用結(jié)合的推行也確實有著非常積極的意義，但同時也發(fā)現(xiàn)課時容量往往偏大。如北師大版一年級下冊第一單元《20以內(nèi)退位減法》的第一課時“買鉛筆”。

這節(jié)課常用的流程是先呈現(xiàn)問題情境，學生解讀數(shù)學信息并提出數(shù)學問題，根據(jù)數(shù)學問題列出算式15－9＝；再討論交流15－9的多種算法；然后借助擺小棒、撥計數(shù)器等操作模型理解算理。這樣一個過程下來，只一道題預計教學時間就會超過20分鐘。在前一個環(huán)節(jié)沒有理解鞏固的情況下，匆忙進入下一個環(huán)節(jié)，計算教學容易存在蜻蜓點水走過場的現(xiàn)象。一年級學生本身注意力相對不集中，注意持續(xù)時間也相對較短。根據(jù)這些現(xiàn)狀，在《20以內(nèi)退位減法》的單元教學中，教師更需要每節(jié)課在最佳時間段強化重點學習內(nèi)容?；谶@樣的考慮，將單元新授內(nèi)容重新進行了厘定，如下表：

?

以上每課時的重點內(nèi)容集中在前20分鐘教學，后20分鐘進行相應的練習。如此便可以讓計算方法交流更充分，學生對于表征的理解更扎實。

2.同種表征適度反復。

在一個課時中，教師常會運用兩種或兩種以上表征來突顯算理。但是因為表征多樣以后，受時間和學生接受程度的限制，每一種表征在運用的時候，學生經(jīng)常性地處于一種模仿的階段，而缺少內(nèi)化的過程。這樣不利于學生充分掌握表征的運用方法，從而深入理解退位減法的算理。我們在設(shè)計單元教學的前面幾節(jié)課時，每節(jié)課都只側(cè)重一種表征方式。教學環(huán)節(jié)中有相似的流程，每一種方式的學習都主要經(jīng)歷了以下幾個階段：

如下，為計數(shù)器模型的教學片斷：

師：我們在計算12－3的時候怎么想？先怎么做，再怎么做？

生：先把12拿開，從10里拿出1個。

師：拿出1個之前先怎么樣？

生：先從12里減去2，因為要減去3，所以再從10里減去1，結(jié)果等于9。

師：非常棒，因為12的個位上是2，所以把3分成2和1，12先減去2等于10，10減1等于9。像這個過程，昨天我們是畫圖表示的。今天如果是用計數(shù)器撥出來的話，大家想先怎么樣？再怎么樣？

生：12的個位上先減2，十位上還剩1個珠子。

師：這十位上的珠子怎么辦？

生：十位上的1個珠子，相當于個位上的10個珠子。

要求：大家自己撥一撥，再同桌一起撥一撥。請一位學生上講臺邊講邊撥。

（教師根據(jù)學生撥的過程，在圖中示范畫。之后請學生在練習紙上把撥的過程畫一畫，再反饋交流）

從上述片斷中可以看到，12－3的“平十法”主要借助計數(shù)器模型，使得學生在同一水平層次上有一個反復的過程。適度反復能夠讓學生有重復表達的機會，從而使學生在腦中形成表象，實現(xiàn)面向全體學生的意義理解和思維深度。

3.逐級提高表征的抽象化水平。

在學習20以內(nèi)退位減法中，運用的表征形式主要有動作表征（擺小棒、圈圖形、撥計數(shù)器）、表象表征（回憶操作過程，用圖式表示）、語義表征（說算理）、符號表征（用分解算式表示）等。從課時來看，每節(jié)課中都運用到動作表征、表象表征、語義表征、符號表征。使用順序上不盡相同，也會有重復，但基本上遵循從簡到難的過程。從單元序列來看，小棒、計數(shù)器和數(shù)線三種主要模型的運用依據(jù)由直觀逐步走向抽象的順序。結(jié)合使用，逐級提高，豐富并發(fā)展了學生對于算理的理解，同時也使得學生的思維更加的多元。

三、貫通多種表征，形成符合學生認知的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)

表征素材是決定學生數(shù)學學習活動質(zhì)量、影響課堂學習效率的重要因素，也是貫穿學習活動的線索。但是表征本身作為一種意義理解的輔助形式，并不具備很大的學習意義。本單元貫通多種表征，形成相應的結(jié)構(gòu)特征，使其具有更大的學習價值，并為后續(xù)同類知識的學習起強大的支撐作用。

1.思維在前，促進表征的結(jié)構(gòu)化生成。

思維的產(chǎn)生不可能僅僅依賴于表征，所以在每一個具體的表征方式之前，都需要學生有獨立的思考。如在單元第一課時探索12-3=9的算理環(huán)節(jié)：

思考：為什么12－3＝9是對的？是怎么解出來的？

提出操作要求：下面請同學們從學具袋中拿出12根小棒，看哪位同學最快。

師：想一想，12－9你是怎么做的？（先想不動）12根里拿掉3根，你準備怎么拿？

思考在前，學生可以產(chǎn)生各種不同的方法，不受制約。同時，思考后的動手表征可以促進學生對于方法的理解，固化思維方式。動作帶動思維，可以讓思維更深刻；思維引領(lǐng)操作，可以促進表征的結(jié)構(gòu)化生成。

2.同一種思考方式，縱向聯(lián)結(jié)多種表征。

每一種表征方式雖然有各自的外在表現(xiàn)形式和特點，但多種表征方式之間的內(nèi)在并不是割裂的。就20以內(nèi)退位減法而言，如13－5主要有三種思考方式：一是想加算減，想 5+（8）＝13，所以 13－5＝8；二是“平十法”，先把 5 分成 3 和 2，用 13－3＝10，10－2＝8，所以 13－5＝8；三是“破十法”，13 分成 10 和 3，10－5＝5，5+3＝8，所以 13－5＝8。想加算減，更多的依存加減運算的互逆關(guān)系。而后兩種方式，每一種思考方式都在不同的課時中借助了不同的數(shù)學模型和表征方式。同一種方式的不同表征，抽象程度逐級提升，而表征之間其實又有緊密的聯(lián)系。實現(xiàn)表征之間的內(nèi)在溝通，可以促進學生認識計算方法的本質(zhì)。所以在設(shè)計單元第五課時的時候，對前面幾節(jié)課的學習內(nèi)容進行了梳理，感受用圖形、計數(shù)器、數(shù)線、算式都可以來解決退位減法，并能聯(lián)系多種表征，溝通20以內(nèi)退位減法的算理與算法。課堂伊始，拋出一個問題“想一想15－7怎么算，你有什么好辦法？”喚醒學生前期積累的活動經(jīng)驗。教師引領(lǐng)學生在自我嘗試、集體交流互動中，把多種表征融會貫通，并以直觀、排版清晰的板書統(tǒng)領(lǐng)整節(jié)課。如下圖：

縱向聯(lián)結(jié)多種表征，可以為學生初步建立一個意義豐富的核心知識的認知單元，在這個認知單元的基礎(chǔ)上，再學習其他的計算內(nèi)容可以正向遷移，從而不必再進行認知的重構(gòu)。對于學生的后續(xù)學習具有長期的意義。

計算教學中，多元表征能夠幫助學生從具體到抽象地認識運算的本質(zhì)。學生嘗試表征，嘗試分享自己的表征信息的同時，也促成了自我反思、自我調(diào)整，在互相學習、自我內(nèi)化的過程中完善自己的內(nèi)部表征，從而有效地把握計算學習的關(guān)系結(jié)構(gòu)模式。多元表征所產(chǎn)生的形象直觀的思維方式和簡潔有效的思維結(jié)構(gòu)，使得學生在學習新的同類型知識時，能夠快速地激活原有的知識塊，提高學習效率。