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        一道高考選擇題的思考與拓展

        2019-01-06 02:12:34左金輝沈文炳
        物理教學(xué)探討 2019年10期

        左金輝 沈文炳

        摘? 要:運(yùn)用能量守恒定律和微分知識(shí)拓展2015年全國高考試卷Ⅱ的理綜第21題,并運(yùn)用GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn)相應(yīng)的圖像,有助于學(xué)生從定性和定量的角度理解該試題的情境。

        關(guān)鍵詞:關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng);微分知識(shí);GeoGebra軟件

        中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? ? ?文章編號(hào):1003-6148(2019)10-0040-2

        2015年全國高考試卷Ⅱ的理綜部分第21題涉及到兩個(gè)物體的關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng),過程復(fù)雜,學(xué)生難以理解。本文嘗試從多角度分析和拓展試題,并借助GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn),有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜問題的理解能力。

        1? ? 從運(yùn)動(dòng)和能量角度分析試題

        例1 如圖1,滑塊a、b的質(zhì)量均為m,a套在固定直桿上,與光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接,由靜止開始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦,a、b可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度大小為g。則(? ? ?)

        A.a落地前,輕桿對(duì)b一直做正功

        B.a落地時(shí)速度大小為

        C.a下落過程中,其加速度大小始終不大于g

        D.a落地前,當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí),b對(duì)地面的壓力大小為mg

        解析 由于滑塊b向右先加速、后減速到零,輕桿對(duì)滑塊b的作用力先為推力、后為拉力,故輕桿對(duì)滑塊b先做正功、后做負(fù)功,選項(xiàng)A錯(cuò)誤。滑塊a下落過程,對(duì)滑塊a和b整體分析,滑塊b的初、末速度為零,滑塊a的末速度為v,滑塊a重力勢(shì)能的減少等于滑塊a動(dòng)能的增加,故mgh=mv2,即選項(xiàng)B正確。在輕桿對(duì)滑塊b的力由推力變?yōu)槔^程中,必有一個(gè)位置輕桿對(duì)滑塊b的作用力為零,此時(shí)滑塊a的加速度為g。當(dāng)滑塊a落地前瞬間,滑塊a的加速度為g。則滑塊a的加速度先增加到大于加速度g,然后減小到g。選項(xiàng)C錯(cuò)誤。當(dāng)滑塊b速度最大時(shí)機(jī)械能最大,此時(shí)滑塊a的機(jī)械能最小,輕桿對(duì)滑塊b的作用力為零,故滑塊b對(duì)地面的壓力大小為mg。

        2? ? 運(yùn)用數(shù)學(xué)和圖像拓展分析

        拓展1 滑塊b的最大速度為多大?

        解析 設(shè)輕桿長為L,初始輕桿與水平面夾角為θ0。輕桿與水平地面夾角為θ時(shí),滑塊a速度為v1,滑塊b速度為v2。由速度關(guān)聯(lián)有v1sinθ=v2cosθ。由機(jī)械能守恒定律有mgL(sinθ-sinθ)=mv+mv,得v2=sinθ,也可以表達(dá)成v2=。由于(sinθ0-sinθ)++=sinθ0,故當(dāng)sinθ0-sinθ=,即sinθ=sinθ0時(shí),滑塊b速度v2有最大值sinθ0。

        拓展2 滑塊a、b在運(yùn)動(dòng)過程中速度隨角度θ怎么變化?

        解析 由上述關(guān)系可以求出滑塊a的速度:

        v1=cosθ

        為了簡(jiǎn)單,令滑塊質(zhì)量m=0.1 kg、輕桿長度L=0.1 m、重力加速度g=10 m/s2、初始角度θ0=。作出滑塊a、b的速度與角度的關(guān)系圖像(如圖2),其中圖線1和圖線2分別為滑塊a和滑塊b的速度與角度的關(guān)系圖線。從圖像可以看出,滑塊a的速度從零逐漸加速到最大速度0.93 m/s;滑塊b速度先增大后減小,當(dāng)θ=0.62 rad,即θ=35.5°時(shí),最大速度為0.31 m/s。

        拓展3 滑塊a、b在運(yùn)動(dòng)過程中加速度隨θ怎么變化?

        解析 如圖3,以輕桿和地面接觸點(diǎn)為原點(diǎn)O,沿水平向右建立x軸,沿豎直向上建立y軸。滑塊a的坐標(biāo)為(0,y),其中y=Lsinθ?;瑝Kb的坐標(biāo)為(x,0),其中x=Lcosθ。則滑塊a、b的速度分別為=Lcosθ和=-Lsinθ。而由能量關(guān)系已求出v2=,故可求出2=(sinθ0-sinθ),=-cosθ?;瑝Ka和b的加速度分別為=L(-2sinθ+cosθ)和=-L(-2cosθ+sinθ)。則滑塊a和滑塊b的加速度分別為a1=g(3sin2θ-2sinθ0sinθ-1)和a2=gcosθ(3sinθ-2sinθ0)。作出其圖像如圖4所示,其中圖線1和圖線2分別表示滑塊a和滑塊b的加速度與角度的關(guān)系圖線?;瑝Ka一直向下加速,加速度從2.5 m/s2逐漸增大到12.5 m/s2,然后減小到10 m/s2。當(dāng)θ=35.5°時(shí),加速度為10 m/s2?;瑝Kb先向右加速,后向右減速,加速度大小從4.33 m/s2逐漸減小到0,然后反向增加到17.32 m/s2。當(dāng)θ=35.5°時(shí),加速度為0。

        拓展4? 輕桿的彈力隨θ怎么變化?

        解析 設(shè)輕桿對(duì)滑塊b的力為F,由Fcosθ=ma2,得F=(3sinθ-2sinθ0)mg。作出圖像如圖5所示。由圖線可知,輕桿的彈力從0.86 N逐漸減小為0,然后反向逐漸增大到1.73 N。當(dāng)θ=35.5°時(shí),彈力為0。

        3? ? 結(jié)束語

        本文通過機(jī)械能守恒定律和微分知識(shí)求解出兩個(gè)連接體的速度、加速度和力隨角度的變化過程,增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)試題的理解。由于高中數(shù)學(xué)已經(jīng)引入了微積分初步,應(yīng)用微積分知識(shí)和物理規(guī)律求解復(fù)雜問題的速度、加速度和力的變化成為可能。應(yīng)用GeoGebra軟件呈現(xiàn)復(fù)雜表達(dá)式,有助于學(xué)生直觀理解物體運(yùn)動(dòng)的宏觀和微觀過程。這都有利于幫助學(xué)生理解復(fù)雜問題,培養(yǎng)解決復(fù)雜問題的能力。

        (欄目編輯? ? 陳? 潔)

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