薛衛(wèi)星，花向紅，李清泉，邱衛(wèi)寧

(1．武漢大學 測繪學院,湖北 武漢,430079；2.武漢大學 災害監(jiān)測與防治研究中心，湖北 武漢 430079；3.深圳大學 空間信息智能感知與服務深圳市重點實驗室，廣東 深圳 518060)

隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，室內(nèi)定位技術(shù)得到快速發(fā)展。在各種室內(nèi)定位技術(shù)中，基于RSS(基于接收信號強度定位技術(shù))[1]的定位方法因成本低廉、覆蓋面廣泛和無需添加任何硬件設(shè)備[2]等優(yōu)點，已經(jīng)成為室內(nèi)定位的主流定位方法。位置指紋數(shù)據(jù)庫的建立是Wi-Fi室內(nèi)導航定位系統(tǒng)的重要方面，主要有離線階段采集指紋參考點RSS樣本建立位置指紋數(shù)據(jù)庫和采用傳播模型法建立數(shù)據(jù)預測數(shù)據(jù)庫兩種方法。離線階段建立參考點RSS位置指紋數(shù)據(jù)庫采用幾何布網(wǎng)的方法，類似于控制網(wǎng)的建立與加密；傳播模型法建立數(shù)據(jù)預測數(shù)據(jù)庫則是采用一部分參考點的RSS樣本建立傳播模型，再用該傳播模型進行剩余參考點RSS樣本的預測，從而建立實測數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)相結(jié)合的指紋數(shù)據(jù)庫。

本文在RSS幾何空間特征點構(gòu)建指紋庫的精度分析和RSS歐氏空間信號特征點信號模型重構(gòu)的精度分析的基礎(chǔ)上，對不同類型的特征點賦予不同的權(quán)值，并利用低秩矩陣填充理論，提出了RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的重構(gòu)算法。給出了RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)的步驟，通過實驗說明了算法的可行性。

1 低秩矩陣填充理論

根據(jù)信號重構(gòu)的經(jīng)典定律奈奎斯特采樣定理[3]，利用信號采樣值信號重構(gòu)時，信號的采樣率至少應該達到信號帶寬的2倍以上，才能實現(xiàn)信號的逼真重構(gòu)。近些年來，Candes[4]與Donoho D L[5]等人相繼提出完善的壓縮傳感技術(shù)，逐漸成為圖像處理和信號處理等方面的研究熱點。壓縮傳感技術(shù)通過測量矩陣的轉(zhuǎn)換理論，將高維空間的稀疏信號進行壓縮進而投影到一個低維空間上；再通過該信號的稀疏性或可壓縮性，從而降低信號采樣的數(shù)據(jù)量，同時通過某些信號重構(gòu)的算法再準確地重新構(gòu)造出信號的真實分布情況。稀疏性是指矩陣中的大部分元素的數(shù)值為0，而數(shù)值不為0的元素的個數(shù)相對比較少[6-14]。

低秩矩陣填充理論是基于壓縮傳感技術(shù)的，主要解決如何在稀疏的誤差中恢復填充出低秩矩陣的問題。矩陣的低秩性是指矩陣的秩遠遠小于矩陣的行數(shù)和列數(shù)[15]。假設(shè)目標定位區(qū)域是一個m×n個指紋點進行數(shù)據(jù)采樣的矩形區(qū)域，則每個AP都將會形成一個信號強度m×n的采樣矩陣。傳統(tǒng)的位置指紋定位法是在每個指紋點上進行RSS數(shù)據(jù)采樣測量，但是這樣采樣的工作量很大；假設(shè)只采集一個小規(guī)模的采樣點子集，那么就需要用低秩矩陣填充理論來重新構(gòu)造出整個目標定位區(qū)域的二維矩陣。圓圈點上進行了實際數(shù)據(jù)采樣測量的位置指紋采樣點，其他區(qū)域需要我們用低秩矩陣填充理論來填充，如圖1所示。

圖1 采樣示意圖

把目標定位區(qū)域的某個AP源的信號強度RSS采樣數(shù)據(jù)定義為矩陣X，所有采樣格網(wǎng)點的個數(shù)N即該矩陣的元素個數(shù)N;但是在實際采樣時，只測量目標定位區(qū)域隨機選擇的s(s

因為希望實際采集數(shù)據(jù)的工作量降低，即指紋點越少越好，這就要用到仿射矩陣秩最小化的理論，即

s.t.A(X)=b.

(1)

s.t.A(X)=b.

(2)

如何使得(2)的解是(1)的解，Recht B等,給出了以下條件[16]：

假設(shè)1≤r≤m≤n，秩為r的矩陣X0滿足參數(shù)為μ的并且只與矩陣X0的奇異值向量相關(guān)的強非相干條件，如果觀測元素位置是隨機均勻分布的s個采樣點，那么存在一個正的常數(shù)C，使當

s≥Cμ4n(logn)2,

(3)

時，矩陣X0至少以1-n-3概率收斂為以上優(yōu)化問題的唯一確定解。所以，采用核范數(shù)最小化的理論將原始的組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為用這種凸松弛的優(yōu)化問題，能夠以非常高的概率來精確地填充出矩陣b的所有元素。

然后，結(jié)合奇異值分解的算法和矩陣填充的貪婪追蹤算法[17]介紹低秩矩陣填充的具體方法。首先，將矩陣X通過奇異值分解[18]分為如式(4)所示的3個矩陣：

X=UΣVT.

(4)

其中，U是一個m×m的正交矩陣，Σ=diag(σ1,…，σr)是一個m×n的半正定對角矩陣，VT是矩陣V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，是n×n階的正交矩陣。令L=UΣ1/2，R=VΣ1/2，則式(4)可以分解為X=UΣVT=LRT，代入式(1)得：

min rank(LRT),

s.t.A(LRT)=b.

(5)

設(shè)r0為矩陣X秩的預估計值，矩陣L的階為m×r0，矩陣R的階為n×r0。考慮的矩陣L和R的具有多解性，采用Frobenius范數(shù)[19]最小化來優(yōu)化控制，即：

s.t.A(LRT)=b.

(6)

另外，由于RSS采樣數(shù)據(jù)中可能含有誤差以及定位區(qū)域中的矩陣可能不完全符合低秩性，將最小化模型約束條件變換成為非約束模型：

(7)

然后，需要通過交替迭代過程推導出矩陣L和R：首先，通過虛擬AP技術(shù)的傳播模型法列方程，利用最小二乘法計算出矩陣X的初始值X0，進而推算出其秩的預估值r0和矩陣X的可能分解矩陣，隨機選取矩陣X的一組分解矩陣作為矩陣L和R的初始值；其次，固定矩陣L，利用最小二乘法優(yōu)化矩陣R；然后，更新并固定矩陣R，同樣利用最小二乘法優(yōu)化矩陣L；多次重復以上交替迭代過程，直至按式(7)計算的目標函數(shù)收斂，并達到設(shè)定的函數(shù)誤差閾值：最后迭代的結(jié)果與倒數(shù)第二次迭代的結(jié)果之差除以最后迭代的結(jié)果的數(shù)值的絕對值小于等于0.000 1。

2 RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的重構(gòu)

在RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)的過程中，用到RSS的歐氏空間信號特征點和幾何空間特征點兩種特性的點。RSS的歐氏空間信號特征點需要根據(jù)室內(nèi)空間的具體情況確定，RSS的幾何空間特征點需要在少量RSS數(shù)據(jù)采集的基礎(chǔ)上，利用低秩矩陣填充理論計算出其所有的幾何空間特征點。

幾何空間特征點填充后，采樣點的原始數(shù)據(jù)和重構(gòu)數(shù)據(jù)會產(chǎn)生一定的誤差，計算出該誤差。數(shù)據(jù)選擇時，已經(jīng)有數(shù)據(jù)采樣的幾何空間特征點的數(shù)據(jù)采用原始采樣數(shù)據(jù)，新填充的數(shù)據(jù)則根據(jù)所計算出的誤差賦予相應的權(quán)值。然后，利用RSS的歐氏空間信號特征點、由采樣數(shù)據(jù)的幾何空間特征點和加權(quán)的新填充的幾何空間特征點進行RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的重構(gòu)。模型重構(gòu)的具體流程如圖2所示。

圖2 RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)算法流程

3 實驗及結(jié)果分析

3.1 實驗方案

圖3 實驗點位分布示意圖

為了考察基于信號的歐氏空間信號特征點和幾何空間特征點的RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的定位效果，在武漢大學測繪學院101機房進行了模型定位實驗，如圖3所示。圖3中，機房101有6個AP，定位區(qū)域為3.9 m×5.2 m，相鄰兩個采樣點間的距離為0.65 m(即最小格網(wǎng)為0.65 m×0.65 m的方形區(qū)域)，○代表數(shù)據(jù)采樣的網(wǎng)格點，共有63個采樣網(wǎng)格點。實驗時，采用1S的采樣率，每個時段采集數(shù)據(jù)3 min。由于不同手機接收AP信號強度具有差異性，故實驗中所有數(shù)據(jù)的采集均采用同一個手機進行。

實驗中，采用1.3 m×1.3 m的格網(wǎng)點作為位置指紋定位法的指紋參考點，用于構(gòu)建指紋定位離線階段的指紋數(shù)據(jù)庫；根據(jù)信號重構(gòu)的奈奎斯特采樣定理，采用0.65 m×0.65 m的格網(wǎng)點作為信號模型重構(gòu)的參考真實值。

3.2 歐氏空間信號特征點信號的模型重構(gòu)

根據(jù)信號重構(gòu)的奈奎斯特采樣定理，將0.65 m×0.65 m格網(wǎng)點作為信號模型重構(gòu)的參考真實值，以AP1為例，其形成的原始信號強度分布圖顯示在圖4(a)中。

圖4 信號強度分布圖

從圖4中可以看出，每個AP的RSS分布圖中都存在信號強度突變點，也就是說，試驗采樣數(shù)據(jù)中可能含有粗差。因此，首先需要結(jié)合實驗具體情況剔除這些粗差采樣點，主要指非邊界處的信號強度突變點，而邊界處的信號強度突變點則更可能是由Wi-Fi信號的多徑傳播造成的。具體粗差采樣點的剔除情況見表1。剔除粗差采樣點后，以AP1為例，RSS信號分布圖如圖4(b)所示。

表1 不同AP的粗差剔除數(shù)目及其數(shù)據(jù)刪除率

從圖4(b)中可以看出，剔除極少數(shù)的粗差采樣點后，RSS信號分布圖的質(zhì)量得到優(yōu)化；然后，從圖4(b)中選取RSS的歐氏空間信號特征點，根據(jù)每個AP信號分布圖各自的特點，選取的歐氏空間信號特征點的個數(shù)不同，具體數(shù)目情況和占總點數(shù)的百分比見表2；最后，用選取的特征點來重新構(gòu)造信號模型，重構(gòu)結(jié)果如圖4(c)所示。

從圖4c中可以看出，只需利用總數(shù)據(jù)25%左右的RSS歐氏空間信號特征點的數(shù)據(jù)，就可以基本勾勒出RSS的信號分布圖。但是，由于只選取了RSS歐氏空間信號特征點的部分數(shù)據(jù)，沒有加入RSS的幾何控制點(即RSS幾何空間信號特征點)的數(shù)據(jù)，所以勾勒出RSS的信號分布圖并不能與參考真實值的RSS信號分布圖完全吻合。

表2 不同AP選取的歐氏空間信號特征點數(shù)目及其比例

3.3 幾何空間特征點構(gòu)建指紋數(shù)據(jù)庫

在室內(nèi)位置指紋定位離線構(gòu)建指紋數(shù)據(jù)庫階段，采用1.3 m×1.3 m的格網(wǎng)點，其指紋參考點的信號強度分布圖如圖5(a)所示。從圖5(a)與圖4(b)的對比中，可以看出：由1.3 m×1.3 m格網(wǎng)采樣數(shù)據(jù)所形成信號強度分布圖與0.65 m×0.65 m格網(wǎng)形成信號強度分布圖的輪廓大致相同；但是1.3 m×1.3 m格網(wǎng)勾勒出RSS信號分布圖的很多細部RSS重構(gòu)值并不理想，與0.65 m×0.65 m格網(wǎng)的采樣值相差較大。所以，僅僅采用RSS的信號幾何空間特征點進行RSS信號強度分布圖重構(gòu)的效果是不太理想的。

從1.3 m×1.3 m格網(wǎng)點的信號強度分布圖中，隨機均勻選取RSS的幾何空間特征點(10個)，保證每行每列都有采樣數(shù)據(jù)。首先，利用這些選取的數(shù)據(jù)直接生成信號強度分布模型，如圖5(b)所示。然后，利用低秩矩陣填充理論和虛擬AP技術(shù)重新構(gòu)造信號強度分布模型，RSS信號強度分布圖重構(gòu)結(jié)果如圖5(c)所示。

圖5 信號強度分布圖對比

從圖5(c)與圖5(a)、圖5(b)的比較中可以看出：圖5(c)與圖5(a)的相似度大于圖5(b)與圖5(a)的相似度，所以利用低秩矩陣填充理論生成的RSS信號強度分布模型比利用原始選取的RSS幾何空間特征點生成的信號強度分布模型的精度高。另外，圖5(c)中某些AP的RSS信號分布圖中有個別的突變點，說明利用低秩矩陣填充理論生成的RSS數(shù)據(jù)對選取的RSS幾何空間特征點數(shù)據(jù)有一定的依賴性。所以，在進行RSS幾何空間特征點的數(shù)據(jù)選取時，既要保證RSS的突變點的剔除，又要保證選取數(shù)據(jù)的隨機性。

3.4 RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)結(jié)果的分析與比較

為了便于分析比較，首先將RSS幾何空間特征點和RSS歐氏空間信號特征點的詳細采樣情況列在表3中。然后，利用這些特征點生成原始RSS所有特征點生成的信號強度分布模型，如圖6(a)所示。最后，再將加權(quán)后的RSS幾何填充數(shù)據(jù)、RSS幾何空間特征點和RSS歐氏空間信號特征點結(jié)合，生成RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)的信號強度分布模型，如圖6(b)所示。

表3 不同AP特征點數(shù)目及其比例

圖6 原始RSS所有特征點和RSS室內(nèi)定位重構(gòu)信號強度分布

從圖4(b)、圖5(a)、圖6(a)和圖6(b)的相互比較中，可以看出：圖6(b)與圖5(c)的相似度高于圖6(a)與圖4(b)的相似度，明顯高于圖5(a)與圖4(b)的相似度。所以，利用低秩矩陣填充理論和虛擬AP技術(shù)生成的RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型重構(gòu)的信號強度分布模型的定位精度較高。

最后，計算RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的定位誤差。本次實驗中，經(jīng)典指紋定位算法與RSS經(jīng)驗模型的數(shù)據(jù)采樣量如表4所示。每個AP有63(7×9)個數(shù)據(jù)，除去少數(shù)突變點，基本保證每個AP都有60個左右的數(shù)據(jù)量，共有360個左右。定位精度分析時，用重構(gòu)的RSS與實際采樣的RSS來根據(jù)傳播模型計算他們之間的距離差值，從而計算出該經(jīng)驗模型的定位誤差，具體誤差分析如表5所示。

從表4和表5中可以看出，在數(shù)據(jù)采樣量略高于位置指紋(約為1.37倍)的情況下，利用RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的定位精度顯著高于位置指紋的定位精度(約為2倍)，特別是0.5 m以內(nèi)的定位精度。所以，在考慮RSS歐氏空間信號特征點的基礎(chǔ)上，利用低秩矩陣填充理論重構(gòu)出RSS室內(nèi)定位信號的經(jīng)驗模型具有一定的應用前景。

表4 指紋定位算法與RSS經(jīng)驗模型的數(shù)據(jù)采樣量

表5 RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的定位誤差分析 %

4 結(jié) 語

本文在詳細介紹低秩矩陣填充理論的基礎(chǔ)上，提出了RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的重構(gòu)算法。借鑒地形圖中地類特征點和地類特征線概念，提出RSS歐氏空間信號特征點、特征線的概念，并在RSS幾何空間特征點構(gòu)建指紋庫的精度分析和RSS歐氏空間信號特征點信號模型重構(gòu)的精度分析基礎(chǔ)上，對不同類型的特征點賦予不同的權(quán)值，用于RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的重構(gòu)。并通過與經(jīng)典指紋位置定位算法的實驗對比分析中，說明了RSS室內(nèi)定位信號經(jīng)驗模型的精度和可行性。