張人會 陳學(xué)炳 郭廣強 李仁年

(1.蘭州理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院， 蘭州 730050； 2.甘肅省流體機械及系統(tǒng)重點實驗室， 蘭州 730050)

0 引言

離心泵水力性能的優(yōu)化實質(zhì)是對其內(nèi)流動的優(yōu)化控制，由于離心泵內(nèi)部流動的復(fù)雜性及內(nèi)部流動與其水力性能之間的復(fù)雜隱式關(guān)系，離心泵水力性能的優(yōu)化設(shè)計研究進展緩慢[1-5]。目前葉輪機械優(yōu)化設(shè)計方法主要有響應(yīng)面法、遺傳算法、伴隨方法、不完全敏感性法等[6-9]。響應(yīng)面法與遺傳算法屬于非梯度方法，全局最優(yōu)，但隨設(shè)計參數(shù)的增多，計算量劇增；伴隨方法求解精度高、計算量小，但是伴隨方程的推導(dǎo)及求解較為復(fù)雜。采用代理模型能夠快速確定設(shè)計參數(shù)對流場的擾動響應(yīng)，精確地進行流場的預(yù)估，有效避免大規(guī)模的流場計算，便于實現(xiàn)流場的快速優(yōu)化。

本征正交分解(Proper orthogonal decomposition, POD)法是一種功能強大的數(shù)據(jù)分析方法[10]，其通過對數(shù)據(jù)系統(tǒng)的奇異值分解確定系統(tǒng)的POD基，在給定系統(tǒng)空間內(nèi)具有最佳的表達能力。段焰輝等[11]在無粘跨音速情況下，使用本征正交分解法對機翼翼型流場進行了分析。文獻[12-15]在Gappy POD翼型反設(shè)計方法的基礎(chǔ)上提出校正迭代法，以此提高反設(shè)計精度，并將其與代理模型應(yīng)用于流場的預(yù)測，得出基模態(tài)數(shù)與預(yù)測精度的關(guān)系。羅佳奇等[16]基于POD方法對跨音速葉片的流場進行分析，提出POD-RBF(本征正交分解-徑向基函數(shù))混合代理模型，并成功應(yīng)用于跨音速流場的分析。文獻[17-18]將本征正交分解法應(yīng)用于離心泵的反設(shè)計研究，同時將其應(yīng)用于液環(huán)泵單流道流場重構(gòu)研究。

本文提出基于POD-RBF混合代理模型方法的離心泵葉輪內(nèi)流場重構(gòu)研究，并對離心泵葉輪內(nèi)流場結(jié)構(gòu)及模態(tài)特征進行流場基模態(tài)分析。

1 POD內(nèi)流場重構(gòu)及模態(tài)分析理論

1.1 Gappy POD本征正交分解法

SIROVICH[19]最早提出了Snapshot POD方法，該方法將自相關(guān)矩陣的階數(shù)降低至與快照個數(shù)相等，大大改善了求解特征值的效率和穩(wěn)定性問題，為POD方法在流體力學(xué)中的應(yīng)用提供了便利。Gappy POD 是Snapshot POD方法的一種變形，常被用于缺失數(shù)據(jù)的填補。

樣本快照集表示為

U=[U1u2]T

(1)

在矢量集U1中，所有元素都是已知的，矢量u2的表達式為

u2=[u21u22]

(2)

u21為已知數(shù)據(jù)，u22為缺失數(shù)據(jù)，需要完成對缺失元素的填補。

矢量集U1可表示為

(3)

其中

Φ=[Φ1Φ2]

(4)

式中Φ——POD基n——樣本數(shù)

aj——基系數(shù)

其可通過快照集U的奇異值分解計算得到

(5)

式中，Φ1、Φ2是對應(yīng)于u21、u22兩部分的POD基，bij與βj為POD基系數(shù)，下角標(biāo)m為葉型參數(shù)的個數(shù)，下角標(biāo)z為重構(gòu)截面網(wǎng)格節(jié)點個數(shù)。對矢量u22可進行填補，即

(6)

系數(shù)βj可通過最小二乘法得到，即

Mβ=f

(7)

1.2 POD-RBF混合代理模型

在早期的Gappy POD的應(yīng)用中，經(jīng)常采用最小二乘法來確定POD基系數(shù)，這是一種線性回歸方法，在非線性系統(tǒng)響應(yīng)問題中精度較低。為了提高POD基系數(shù)的響應(yīng)精度，采用非線性且響應(yīng)精度高的徑向基函數(shù)(Radial basis function, RBF)[20]來預(yù)測目標(biāo)樣本的正交基系數(shù)。

由樣本快照集的奇異值分解可得

U=QΣVT=QΦ

(8)

式中Q——各樣本對應(yīng)的基系數(shù)

Σ——對角矩陣

V——右奇異矩陣

不同的樣本葉型參數(shù)分別對應(yīng)不同的正交基系數(shù)，可建立樣本矢量與其基系數(shù)的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(Radial basis function neural network, RBFNN)

(9)

其中qkj為第k個POD基系數(shù)向量的第j個分量，Wij為RBFNN模型系數(shù)，xi為各樣本葉型控制參數(shù)。φ(xi,xj)為徑向基函數(shù)，采用高斯型徑向基函數(shù)，其表達式為

φ(xi,xj)=e-σ‖xi-xj‖2

(10)

式中σ為正實數(shù)，0≤σ≤1。

由式(8)可得樣本集的正交基矢量，由徑向基網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)xi及其輸出qkj可反解其RBFNN模型系數(shù)Wij，然后依據(jù)該RBFNN模型可預(yù)測目標(biāo)葉型xo所對應(yīng)的POD基系數(shù)qo，并由式(8)重構(gòu)目標(biāo)葉型所對應(yīng)的葉輪內(nèi)流場。

1.3 葉輪內(nèi)流場的基模態(tài)分析

采用POD方法進行樣本流場模態(tài)的提取，每個快照均由葉輪中間截面網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)和相應(yīng)的流場信息構(gòu)成，第i個樣本矢量可表示為(xi,1,xi,2,…,xi,M×N|yi,1,yi,2,…,yi,M×N|vi,1,vi,2,…,vi,M×N)。其中(x，y)為網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)，v為流場參數(shù)，M×N為網(wǎng)格節(jié)點數(shù)。

(11)

2 離心泵葉輪內(nèi)流場重構(gòu)及其模態(tài)分析

圖1 葉片型線參數(shù)化控制Fig.1 Parametric control of blade shape

2.1 內(nèi)流場重構(gòu)及其誤差分析

依據(jù)初始葉片型線基礎(chǔ)上擾動所得各樣本葉輪內(nèi)流場的CFD計算結(jié)果，對初始葉型的葉輪內(nèi)流場進行POD重構(gòu)分析，并將流場的POD重構(gòu)結(jié)果與其CFD結(jié)果進行誤差分析。樣本矢量由葉片型線的控制參數(shù)和葉輪內(nèi)流場參數(shù)構(gòu)成，第i個樣本矢量可以表示為(αi,1,αi,2,…,αi,m|vi,1,vi,2,…,vi,53×41)，其中α是葉型參數(shù)，單個流道取53×41的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)，由此可得樣本集為

(12)

其中vo,i是目標(biāo)葉型αo,i所對應(yīng)的流場參數(shù)。

8個葉輪葉片型線各不相同，無法實現(xiàn)同一網(wǎng)格下的流場重構(gòu)，由于各葉輪內(nèi)流道幾何相似，進行流場的重構(gòu)時需要根據(jù)對應(yīng)的相似節(jié)點進行流場樣本集的構(gòu)建，并進行流場預(yù)測。采用網(wǎng)格變形技術(shù)重構(gòu)其結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，將其單個流道網(wǎng)格統(tǒng)一為53×41的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，按照相似的網(wǎng)格節(jié)點進行流場的插值，得到各相似坐標(biāo)點的樣本矢量集。

定義沿著圓周角γ及半徑r方向的無量綱坐標(biāo)δi,j和ηi,j，其中δi,j滿足公式

γi,j=γi,1+δi,j(γi,41-γi,1)

(13)

式中，γi,j為節(jié)點(i，j)所對應(yīng)的圓周角坐標(biāo)，類似地可定義r方向的無量綱坐標(biāo)ηi,j。由均勻分布的無量綱坐標(biāo)及葉片邊界上的節(jié)點分布即可求解葉輪內(nèi)任意相似節(jié)點的坐標(biāo)。

通過POD-RBF混合代理模型對目標(biāo)葉型對應(yīng)的內(nèi)流場進行重構(gòu)，并將預(yù)測流場與CFD計算結(jié)果進行對比，如圖2～6所示。

圖2 CFD計算全流道壓力分布Fig.2 Pressure distributions of whole channel of CFD

圖3 CFD與POD重構(gòu)的壓力分布Fig.3 Pressure distributions of CFD and POD

(14)

其中fi,POD、fi,CFD分別為各網(wǎng)格節(jié)點的POD及CFD流場參數(shù)，K為葉輪中間截面網(wǎng)格節(jié)點總數(shù)。

圖4 壓力誤差分布Fig.4 Distributions of pressure errors

圖5 CFD與POD重構(gòu)的速度分布Fig.5 Velocity distributions of CFD and POD

圖2是CFD計算全流道中間截面壓力分布情況，可以看出由于隔舌動靜干涉的影響，隔舌附近葉輪內(nèi)壓力較高。圖3是葉輪中間截面壓力場的POD預(yù)測結(jié)果與CFD計算情況的對比，由圖可以看出POD預(yù)測結(jié)果與CFD計算基本一致，從葉輪進口到葉輪出口壓力逐漸增大。圖4是壓力預(yù)測誤差分布情況，是由POD預(yù)測壓力場減去CFD計算流場得到。從圖中可以看出，葉輪靠近蝸殼隔舌部位有較高的局部誤差，約10 000 Pa，整體來看葉輪內(nèi)流場壓力預(yù)測誤差基本在1 000～3 000 Pa，誤差較小。根據(jù)式(14)計算可得均方根誤差為0.84%。

圖6 速度誤差分布Fig.6 Distributions of velocity errors

圖5為葉輪中間截面相對速度的POD預(yù)測與CFD計算結(jié)果的對比，由圖可以看出，POD-RBF混合代理模型法可以精確預(yù)測目標(biāo)葉輪相對速度場的分布情況。圖6為預(yù)測速度場與CFD計算速度場間的對比誤差分布，可以看出預(yù)測誤差基本在0.5 m/s以內(nèi)。同樣在DELL T620、24核、64 GB內(nèi)存的工作站上進行運算， CFD計算泵內(nèi)流場需要2 h才能完成，而由POD-RBF方法重構(gòu)葉輪內(nèi)流場所需要的預(yù)測時間大約為30 s，僅為 CFD計算所需時間的1/240，可以實現(xiàn)離心泵內(nèi)流場的快速精確預(yù)估。

2.2 內(nèi)流場模態(tài)分析

依據(jù)1.3節(jié)流場基模態(tài)分析方法，將由網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)及流場參數(shù)構(gòu)成的快照集減去平均快照集，并進行奇異值分解，最后疊加平均快照集，得到基模態(tài)流場，如圖7～10所示。

圖7 各階POD模態(tài)對應(yīng)的壓力特征值Fig.7 Pressure eigenvalue of POD modal

圖8 基模態(tài)壓力流場Fig.8 Pressure field of base modal

圖9 各階POD基模態(tài)對應(yīng)的速度特征值Fig.9 Velocity eigenvalue of POD modal

圖10 基模態(tài)速度流場Fig.10 Velocity field of base modal

圖7、9分別為壓力場與速度場的各個基模態(tài)特征值分布，由圖可以看出隨著基模態(tài)階數(shù)的增多，其所包含的特征越少，前6階壓力與速度的基模態(tài)分別包含了其97.7%、94.9%的流場能量。圖8及圖10分別是基模態(tài)壓力場與基模態(tài)速度場，從中可以看出，第1階POD基模態(tài)流場與樣本平均流場的差異最顯著，說明其包含的流場變化特征最多，第5階基模態(tài)流場與平均流場基本一致。由圖8可以看出，壓力第1階基模態(tài)反映其進口到出口壓力遞增以及葉片壓力面出口高壓區(qū)的流場特征，壓力第2階基模態(tài)能夠反映葉輪出口與隔舌的干擾引起的高壓區(qū)特征。由圖10可以看出，速度的第1階基模態(tài)能夠反映葉片壓力面的低速區(qū)、葉片進口背面的低速區(qū)、葉片壓力面出口低速區(qū)及葉輪出口與隔舌的干擾作用引起的高速區(qū)流場特征，第2階基模態(tài)反映出葉片出口壓力面附近的高速區(qū)特征，其余的速度場特征相比于第1階基模態(tài)明顯減弱。

3 結(jié)論

(1)提出了采用POD-RBF混合代理模型方法對離心泵葉輪內(nèi)流場進行重構(gòu)分析。從對離心泵葉輪內(nèi)流場的重構(gòu)分析結(jié)果來看，POD-RBF方法能夠精確重構(gòu)出其壓力場與速度場分布的結(jié)構(gòu)特征，壓力預(yù)測均方根誤差為0.84%，速度預(yù)測誤差基本在0.5 m/s以內(nèi)。

(2)對樣本集進行POD基模態(tài)分析，前6階基模態(tài)基本包含所有流場能量，1階基模態(tài)流場與樣本平均流場差異最顯著，說明其包含的流場變化特征最多，5階基模態(tài)流場與平均流場基本一致。采用POD基模態(tài)分析可以精確地預(yù)測葉輪內(nèi)流場的流動特征。

(3)提出的POD-RBF方法能夠快速精確地對低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵葉輪內(nèi)流場進行重構(gòu)，流場預(yù)估所需時間約為CFD計算的1/240，并可精確捕捉到內(nèi)流場的分布特征，其預(yù)測精度高、計算量小，可以作為代理模型用于流體機械優(yōu)化設(shè)計中流場的預(yù)估。