(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 ，江西 上饒 334001)

本文研究了下面由M.Boulanouar在文獻(xiàn)[1-2]中提出的一類種群細(xì)胞模型:

(1)

其中r(u,v,v′)表示細(xì)胞從v′到v改變時的轉(zhuǎn)變速率,σ(u,v)為總轉(zhuǎn)變截面,且滿足

邊界條件可表示為:

(2)

這里常數(shù)α,β≥0表示每一細(xì)胞分裂的平均數(shù)。其余符號定義和意義詳見文[3-4]。

近年來，對方程(1)的研究工作較少，其中文獻(xiàn)[1-2]在L1空間和邊界條件，即式(2)中α=0的條件下,研究得到了該模型相應(yīng)的遷移算子生成正不可約C0半群和該模型相應(yīng)的遷移方程的解在一致算子拓?fù)湟饬x下的漸近行為等結(jié)果;文獻(xiàn)[3]證明了這類模型生成半群的Dyson-phillips展式的9階余項R9(t)在L1空間上是弱緊的和在Lp(1

1 準(zhǔn)備知識

它們分別按范數(shù)

和

構(gòu)成Banach空間，且定義Y=L2(J,h(v)dv)為跡空間，其范數(shù):

邊界空間為：

X0=L2({0}×(a,b);h(v)dv)；X1=L2({0}×(a,b);h(v)dv)

下面定義邊界算子H為：

且φ0=φ(0,v)，φ1=φ(1,v)。設(shè)Streaming算子T和碰撞算子K及遷移算子A如下:

D(T)={φ∈W|φ0=Hφ1}

A=T+K，D(A)=D(T)

其中h(v)為有界可測函數(shù)，且滿足

假設(shè)

其中α(·)∈L([0,1],du)，f(·),g(·)∈L2([a,b],dv)。

令σ0=essinf{σ(u,v)}。對φ∈X,λ∈C,ψ∈D(T)，考慮方程

(λ-T)ψ=φ

(3)

則?λ:Reλ>-σ0，方程(3)的形式解為：

(4)

取u=1，則(4)式為：

(5)

根據(jù)(4)式和(5)式引入如下算子：

則?λ:Reλ>-σ0，算子Pλ,Qλ,Dλ和Eλ都是有界正的[3]，從而(5)式和(4)式分別為：

ψ1=PλHψ1+Dλφ

(6)

ψ=QλHψ1+Eλφ

(7)

令

則當(dāng)Reλ>λ0時，有

‖PλH‖<1

(8)

從而算子(I-PλH)-1存在，所以(6)式和(7)式可表示為：

ψ1=(I-PλH)-1Dλφ

(9)

ψ=QλH(I-PλH)-1Dλφ+Eλφ

(10)

故由(9)式和(10)式可得：

(11)

(12)

2 主要結(jié)果

先引入本文主要結(jié)果證明所依據(jù)的主要引理。

引理1[5]設(shè)T是Hilbert空間X上半群U(t)的生成元,且為一耗散算子,K和K*為X上的有界算子,若存在m∈N和η>ω(U)滿足:

(λI-T)-1[K(λI-T)-1]是緊的?λ:Reλ≥η，

則R1(t)(?t>0)在X上是緊的。

引理2[6-7]設(shè)(Ω,Σ,u)正可測空間，S,T是(Ω,u)上的有界算子，若T是(弱)緊算子，且0≤S≤T，則S是(弱)緊算子。

設(shè)

假設(shè)(O)成立,設(shè)邊界算子

定理1若算子K為緊算子，則(λI-T)-1K是緊的 ?λ:Reλ≥λ0。

證明：已知由(8)式知：當(dāng)Reλ>λ0時，有‖PλH‖<1 ,則 存在常數(shù)C>0,使得‖PλH‖≤c<1

?λ:Reλ≥λ0。

定理2若算子K為緊算子，則遷移半群的Dyson-phillips展式的n階余項Rn(t)(n≥1)是緊的且半群U(t)和V(t)具有相同的本質(zhì)譜和一致的本質(zhì)譜型。

證明：令算子T產(chǎn)生的半群為U(t)，ω表示U(t)的型，則由半群理論知：

由定理1的證明知： (λI-T)-1K為一正算子，則對任意0

(13)

對任意t∈[0,+),ε>0，有

(14)